空間距離知識點歸納1．點到平面的距離：已知點是平面外的任意一點，過點作，垂足為，則唯一，則是點到平面的距離。即一點到它在一個平面內的的距離叫做這一點到這個平面的距離。2．異面直線的公垂線：和兩條異面直線都的直線叫做異面直線的公垂線。3．公垂線唯一：任意兩條異面直線有條公垂線，但和兩條異面直線都垂直的直線有條。4．兩條異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線的部分，叫做兩條異面直線的公垂線段；兩條異面直線的公垂線段的長度叫做兩條異面直線間的距離。5．直線到與它平行平面的距離：一條直線上的任一點到的距離,叫做這條直線到平面的距離(轉化為點面距離)7．兩個平行平面的公垂線、公垂線段：（1）兩個平面的公垂線：叫做兩個平面的公垂線。（2）兩個平面的公垂線段：公垂線的部分，叫做兩個平面的公垂線段。（3）兩個平行平面的公垂線段都。8．兩個平行平面的距離：兩個平行平面的長度叫做兩個平行平面的距離。9．在各和距離中，點與點、點與直線、點到平面的距離、兩條異面直線間的距離是基礎，求其它幾種距離一般化歸為求這四種距離，點到平面的距離有時用“體積法”來求。10．用向量法求距離的公式：⑴異面直線之間的距離：，其中⑵直線與平面之間的距離：，其中是平面的法向量⑶兩平行平面之間的距離：，其中是平面的法向量⑷點A到平面的距離：，其中，是平面的法向量另法：點平面則⑸點A到直線的距離：，其中，是直線的方向向量⑹兩平行直線之間的距離：，其中，是的方向向量題型講解：一、點到直線的距離例1、如圖在正方體中，是側面內一動點，若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡所在曲線是A、直線B、圓C、雙曲線D、拋物線例2、如圖，定點和都在平面內，定點是內異于和和的動點，且，那么動點在平面內的軌跡是A、一條線段，但要去掉兩個點B、一個圓，但要去掉兩個點C、一個橢圓，但要去掉兩個點D、半圓，但要去掉兩個點二、異面直線間的距離例3、如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，交于交于，交于交于（1）求證：是異面直線與的公垂線（2）求異面直線與的間的距離例4、在四面體中，分別是的中點（1）證明：所在直線是異面直線的公垂線（2）求異面直線間的距離。三、點到面的距離例5、正方體的棱長為1，是底面的中心，則到平面的距離為。例6、如圖，在長方體中，在上，且，在上，且（1）求點到直線的距離（2）求點到平面的距離。四、線到面、面到面的距離例7、在長方體中，（1）求證：平面平面（2）求面和平面間的距離。例8、如圖，四棱柱的底面為正方形，側棱與底面邊長均為，且，則側棱和截面的距離是。練習1．ABCD是邊長為2的正方形，以BD為棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中點，則異面直線AE、BC的距離為A、 B、 C、 D、1解析：易證CE是異面直線AE與BC的公垂線段，其長為所求易證CE=1∴選D。答案：D2．在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一點P到A、B、C的距離都是14，則P到α的距離是A、13 B、11 C、9 D、7解析：作PO⊥α于點O，連結OA、OB、OC，∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC∴O是△ABC的外心∴OA===5∴PO==11為所求∴選B答案：B3．在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是A、a B、a C、a D、a解析：A到面MBD的距離由等積變形可得。VA—MBD=VB—AMD，易求d=a答案：D4．平面α內的∠MON=60°，PO是α的斜線，PO=3，∠POM=∠PON=4５°，那么點P到平面α的距離是A、 B、 C、 D、解析：cos∠POM=cos∠POH·cos∠MOH，∴=cos∠POH∴cos∠POH=∴sin∠POH=∴PH=PO·sin∠POH=3×=答案：A5．正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，E是CC1的中點，則E到A1B的距離是A、a B、a C、a D、a解析：連結A1E、BE，過E作EH⊥A1B于H，在△A1BE中易求EH=a答案：D6．A、B是直線l上的兩點，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC與BD成60°的角，則C、D兩點間的距離是_______。解析：CD=答案：5或7．設PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分別與α成45°和30°角，PA=2，則PA與BC的距離是_____________；點P到BC的距離是_____________。解析：作AD⊥BC于點D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD∴AD是PA與BC的公垂線易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，連結PD，則PD⊥BC，P到BC的距離PD=答案：8．已知l1、l2是兩條異面直線，α、β、γ是三個互相平行的平面，l1、l2分別交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1與α成30°角，則β與γ的距離是__________；DE=__________。解析：由直線與平面所成角的定義及平行平面距離定義易得β與γ間距離為6由面面平行的性質定理可得=，∴=，即=∴DE=25答案：6259．已知正方體ABCD—A1B1C1D1的邊長為a，E、F分別是棱A1B1、CD的中點。（1）證明：截面C1EAF⊥平面ABC1（2）求點B到截面C1EAF的距離。（1）證明：連結EF、AC1和BC1，易知四邊形EB1CF是平行四邊形，從而EF∥B1C，直線B1C⊥BC1且B1C⊥AB，則直線B1C⊥平面ABC1，得EF⊥平面ABC1而EF平面C1EAF，得平面C1EAF⊥平面ABC1（2）解：在平面ABC1內，過B作BH，使BH⊥AC1，H為垂足，則BH的長就是點B到平面C1EAF的距離，在直角三角形中，BH===10