2024年高新區學考第一次模擬測試

九年級數學試題2024.04

本試題分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分、第1卷共2頁，滿分為40

分；第II卷共4頁，滿分為110分，本試題共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘，

答卷前，考生務必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的考點、姓名、準考證號、座號填寫在

答題卡上和試卷規定的位置上、考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回，本考試不允許使

用計算器。

第I卷（選擇題共40分）

注意事項：第1卷為選擇題，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標

號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答案寫在試卷上無效.

一.選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.下列是描述小明和小穎在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是（）

A.L..............B.C.D.

2."燕山雪花大如席，片片吹落軒轅臺."這是詩仙李白眼里的雪花，單個雪花的重量其實很

輕，只有0.00003kg左右，0.00003用科學記數法可表示為（）

A.3X105B.3X104C.0.3X104D.0.3X105

3.如圖，平行于主光軸MN的光線AB和CD經過凹透鏡的折射后，折射光線BE、DF的反向

延長線交于主光軸MN上一點P.若NABE=160°,ZCDF=150°,

A.200B.30°C.50°D.70°

4.下列式子計算正確的是（)

A.m+m=m2B.(-3m)2=6m2C.(m+2n)2=m2+4nD.(m+3n)(m-3n)=m2-9n2

5.如圖，在平面內將三角形標志繞其中心旋轉180后得到的圖案（）

仝B.A

三角彤京出

AC.

6.解分式方程去分母后得到的方程正確的是（

A.l-（2-x）=-2xB.（2-x）+l=2xC.（x—2）-l=2xD.（x—2）+l=2x

7.若0<m<n,則直線y=-5x+m直線y=-x+n的交點（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限（x-2）D.第四象限

8.某口袋中有10個球，其中自球x個個，球球2r個，其余為黑球，甲從袋中任任意摸出一個球，

若為綠球獲勝，甲摸出的球放回袋中，乙從袋中摸出一個球,著為黑球則乙獲勝勝，要使游戲

對甲、乙雙方公平，則x應該是（）

A.3B.4C.lD.2

9.如圖.在平行四邊形ABCD中，CD=4,ZB=60°,BE:EC=2:1,依據尺規作圖的痕痕跡,則平行

1

四邊形ABCD的面積為（）

D

BAE、、、、C

A.12B.12V2C.12V3D.12V5

10.二次函數y=ax2+bx+c（a,b,c是常數,a=0）的自變量x與函數值y的部分對應值如表:

X???-2-1012

y=ax^bx+c???tm-2-2n

且當x=q時，與其對應的函數值y>0,有下列結論:①abc<0;②m=n;③-2和3是關于x的方程

ax2+bx+c=t的兩個根;④a<*其中正確結論的個數是（）

A.lB.2C.3D.4

第II卷（非選擇題共110分）

注意事項：

1.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位

置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改

液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效.

2.填空題請直接填寫答案，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

二.填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

11.計算（x+3）（x-2）=0

12.為了估計魚塘中魚的數量，養魚者先從魚塘中捕獲50條魚，在每一條魚身上做好標記后

把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈魚，通過多次實驗后發現捕撈的魚中有作記號的頻率穩

定在5%左右，則魚塘中估計有魚_____條.

13.已知一元二次方程x2-5x+2m=0有一個根為2,則另一根為.

14.如圖，將長為6,寬為4的長方形ABCD先向右平移2,再向下平移1,得到長方形A'B'CD',

則陰影部分的面積為.

（第14題圖）（第15題圖）（第16題圖）

15.甲、乙兩個工程組同時挖掘成渝高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段

時間后，乙組因維修設備而停工，申組革獨完成了剩下的任務，甲、乙兩組挖掘的長度之和

y（m）與甲組挖掘時間x（天）之間的關系如圖所示，則甲組挖掘的總長度比乙組挖掘的總長

度多m.

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E為AB上一點，連接DE,將團ADE沿DE折疊，點A

2

落在Ai處，連接AiC,若F、G分別為AiC、BC的中點，則FG的最小值為。

三.解答題：（本大題共10個小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（本題滿分6分）TFM：（-2024）°+V4-4sin30°+1-51.

X-12X-1

F—F的正整數解.

(2+x<-X+6

19.（本題滿分6分）如圖，點E、F分別在平行四邊形ABCD的邊AD和BC上，且AE=CF.求

證：ZBAF=ZDCE.

20.（本題滿分8分）桔棉俗稱"吊桿""稱桿"（如圖1）,是我國古代農用工具，始見于《墨子?備

城門》，是一種利用杠桿原理的取水機械，如圖2所示的是桔棉示意圖，OM是垂直于水平

地面的支撐桿，OM=3米，AB是杠桿，且AB=6米，OA:OB=2:1.當點A位于最高點時，Z

AOM=127°.

（1）求點A位于最高點時到地面的距離；

（2）點A從最高點逆時針旋轉54.5。到達最低點A1時，求此時水桶B上升的高度.（考數據:

sin37°^0.6,sinl7.5°=0.3,tan37°七0.8）

3

21.（本題滿分8分）某校初三年級一共有1200名學生，某一次體育測試后，彭老師為了了

解本校初三學生體考成績的大致情況，隨機抽取了男、女各40名考生的體考成績，并將數

據進行整理分析，給出了下面部分信息：

數據分為A,B,C,D四個等級分別是：

A:49WxW50,B:45WxW49,C:40Wx/45,D:0WxW40.

40名男生成績的條形統計圖以及40名女生成績的扇形統計圖如圖.40名男生和40名女生

成績的平均數，中位數，眾數如下：

性別平均數中位數眾數

男生48a47

女生48.54847.5

男生成績在B組的考生的分數為

45,45,46,46,46.5,46.5,47,47,47,47,47,47,48,48,48.5;根據以上信息，解

答下列問題：

（1）填空a=,女生成績為B等對應的扇形的圓心角為并補全條形統計圖.

⑵根據以上數據，你認為在此次測試中，男生成績好還是女生成績好？請說明理由；

⑶請估計該年級所有參加體考的學生中，成績為A等級的考生人數.

22.（本題滿分8分）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點，過點C作圓。的切線交

AB的延長線于點P,連接CA,CO,CB.

（1）若NABC=2NBCP,求NP的度數；

（2）在（1）的條件下，若AB=4,求圖中陰影部分的面積（結果保留n和根號）.

4

23.（本題滿分10分）學校在某商場購買甲、乙兩種不同類型的足球，相關信息如下表:

甲種足球乙種足球

購買費用：2000元購買費用：1400元

單價：x用個單價：（升20）元/個

數量：_______________一個數量:___________________個

⑴在上表中用含x的代數式分別表示購買甲、乙兩種足球的數量；

⑵若本次購買甲種足球的數量是購買乙種足球數量的2倍，求甲、乙兩種足球在此商場的銷

售單價；

⑶為滿足學生需求，這所學校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個.恰逢該商場對兩種足

球的銷售單價進行調整，甲種足球的銷售單價比上次購買時提高了10%,乙種足球的銷售單

價比上次購買時降低了10%.如果此次購買甲、乙兩種足球的總費用不超過2950元，求這

所學校最多可以購買乙種足球的數量.

24.（本題滿分10分）

【綜合與實踐】：

"怎樣把一塊三角形的木板加工成一個面積最大的正方形桌面？"某小組同學對此展開了思考.

II

10

【特例感知】：

（1）若木板的形狀是如圖（甲）所示的直角三角形，SAABc=1.5m2,AB=1.5m,根據"相似三角形

對應的高的比等于相似比"求得此時正方形DEFG的邊長.

【問題解決】：

若木板是面積仍然為L5m2的銳角三角形ABC,按照如圖（乙）所示的方式加工，記所得的

正方形DEFG的面積為S,如何求S的最大值呢？某學習小組做了如下思考：

設DE=x,AC=a,AC邊上的高BH=h,貝！ISmBc=：ah,工h=，

2a

由回BDEs團BAC得：篝能從而可以求得x=急"

若內接正方形面積S最大，即求x的最大值.因為S=1.5為定值，因此只需要分母最小即可.

5

(2)小組同學借鑒研究函數的經驗，令丫=2+1!=2+?=2，g>0).探索函數丫=2+^的圖象和性質:

①下表列出了y與a的幾組對應值，其中m=.

a???11113234

4322

y用m4苗44???

②在如圖(丙)所示的平面直角坐標系中畫出該函數的大致圖象；

③結合表格觀察函數y=a+?圖象，以下說法正確的是.

A.當a>l時，y隨a的增大而增大.

B.該函數的圖象可能與坐標軸相交.

C.該函數圖象關于直線y=a對稱.

D.當該函數取最小值時，所對應的自變量a的取值范圍在1~2之間.

25.(本題滿分12分)

問題發現：_

⑴如圖1,已知正方形ABCD和正方形AEFG,直接寫出CF與DG之間的數量關系：

拓展探究：

⑵將正方形AEFG繞點A順時針旋轉到圖2所示的位置，連接DG、CF,試猜想CF與DG之

間的數量關系，并說明理由。

類比遷移：

⑶如圖3,已知菱形ABCD和菱形AEFG,ZDAB=60°,將菱形AEFG繞點A順時針旋轉a(0°<a<90"),

連接DG、CF,請在備用圖中畫出草圖，判定CF與DG之間的數量關系是否隨著a的變化而

變化，并說明理由.

6

26.(本題滿分12分)如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-l,0),B(3,

0)兩點，與y軸相交于點C(0,-3),P是第四象限內這個二次函數的圖象上一個動點，

設點P的橫坐標為m,過點P作PH_Lx軸于點H,與BC交于點M.

(1)求這個二次函數的表達式；

⑵將線段CA繞點C順時針旋轉90。，點A的對應點為/V,判斷點A'是否落在拋物線上，并

說明理由；

⑶求PM+2BH的最大值；

⑷如果回PMC是等腰三角形，直接寫出點P的橫坐標m的值.

7

答案

一.選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

1.下列是描述小明和小穎在同一盞路燈下影子的圖片，其中合理的是（D）

2."燕山雪花大如席，片片吹落軒轅臺."這是詩仙李白眼里的雪花，單個雪花的重量其實很

輕，只有0.00003kg左右，0.00003用科學記數法可表示為（A）

A.3X105B.3X104C.0.3X104D.0.3xl0-5

3.如圖，平行于主光軸MN的光線AB和CD經過凹透鏡的折射后，折射光線BE、DF的反向

延長線交于主光軸MN上一點P.若NABE=160。，ZCDF=150°,則NEPF的度數是（C）

A.200B.30°C.50°D.70°

4.下列式子計算正確的是（D）

A.m+m=m2B.(-3m)2=6m2C.(m+2n)2=m2+4n2D.(m+3n)(m-3n)=m2-9n2

5.如圖，在平面內將三角形標志繞其中心旋轉180后得到的圖案（D）

4B.AC.V三用形除忠

6.解分式方程L七三去分母后得到的方程正確的是（

A.l-（2-x）=-2xB.（2-x）+l=2xC.（x—2）-l=2xD.（x-2）+l=2x

7.若0<m<n,則直線y=-5x+m直線y=-x+n的交點（B）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限（x-2）D.第四象限

8.某口袋中有10個球，其中自球x個個，球球2r個，其余為黑球，甲從袋中任任意摸出一個球，

若為綠球獲勝，甲摸出的球放回袋中，乙從袋中摸出一個球,著為黑球則乙獲勝勝，要使游戲

對甲、乙雙方公平，則x應該是（D）

A.3B.4C.lD.2

9.如圖.在平行四邊形ABCD中，CD=4,ZB=60°,BE:EC=2:1,依據尺規作圖的痕痕跡,則平行

四邊形ABCD的面積為（）

A.12B.12V2C.12V3D.12V5

8

10.二次函數y=ax2+bx+c（a,b,c是常數,a70）的自變量x與函數值y的部分對應值如表:

X???-2一I0I2…

y-ax1+bx+c???tm-2-2n???

且當x=-1時，與其對應的函數值y>0,有下列結論:①abc<0;②m=n;③-2和3是關于x的方程

ax2+bx+c=t的兩個根;④a</其中正確結論的個數是（B）

A.lB.2C.3D.4

第II卷（非選擇題共110分）

注意事項：

1.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應的位

置，不能寫在試卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改

液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效.

2.填空題請直接填寫答案，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

二.填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

.計算（x+3）（x-2）=xHx—6,

12.為了估計魚塘中魚的數量，養魚者先從魚塘中捕獲50條魚，在每一條魚身上做好標記后

把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈魚，通過多次實驗后發現捕撈的魚中有作記號的頻率穩

定在5%左右，則魚塘中估計有魚1000條.

13.已知一元二次方程x2-5x+2m=0有一個根為2,則另一根為3.

14.如圖，將長為6,寬為4的長方形ABCD先向右平移2,再向下平移1,得到長方形A'B'CD',

則陰影部分的面積為12.

（第14題圖）（第15題圖）（第16題圖）

15.甲、乙兩個工程組同時挖掘成渝高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段

時間后，乙組因維修設備而停工，申組革獨完成了剩下的任務，甲、乙兩組挖掘的長度之和

y（m）與甲組挖掘時間x（天）之間的關系如圖所示，則甲組挖掘的總長度比乙組挖掘的總長

度多60m.

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E為AB上一點，連接DE,將國ADE沿DE折疊，點A

落在飛處，連接AiC,若F、G分別為AiC、BC的中點，則FG的最小值為1。

三.解答題：（本大題共10個小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.(本題滿分6分)：(-2024)°+V4-4sin30°+1-51.

=1+2—2+5

=6

9

（izl<2xT①

18.（本題滿分6分）求不等式組2-3-的正整數解.

[2+x<-x+6②

解：解不等式①得：x2-l

解不等式②得：x<2

不等式組的解集為：-lWx<2

不等式組的正整數解是1

19.（本題滿分6分）如圖，點E、F分別在平行四邊形ABCD的邊AD和BC上，且AE=CF.求

證：ZBAF=ZDCE.

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

.\AB=CD,ZB=ZD,AD=BC

VAE=CF

DE=BF

.?.回ABFg回CDE(SAS)

.,.ZBAF=ZDCE

20.（本題滿分8分）桔棉俗稱"吊桿""稱桿"（如圖1）,是我國古代農用工具，始見于《墨子?備

城門》，是一種利用杠桿原理的取水機械，如圖2所示的是桔棉示意圖，OM是垂直于水平

地面的支撐桿，OM=3米，AB是杠桿，且AB=6米，OA:OB=2:1.當點A位于最高點時，Z

AOM=127°.

（1）求點A位于最高點時到地面的距離；

（2）點A從最高點逆時針旋轉54.5。到達最低點A1時，求此時水桶B上升的高度.（考數據:

sin37°^0.6,sinl7.5°=0.3,tan37°七0.8）

地面

圖1圖2

10

解：（1）過0作EF_LOM于0,過A作AG_LEF于G

圖2

TAB=6米，0A:0B=2:l

；.OA=4米，OB=2米

,:ZAOM=127°,ZEOM=90°

.,.ZAOE=127°-90°=37

在RtaAOG中,AG=AOXsin37°—4x0.6=24（米）

點A位于最高點時到地面的距離為2.4+3=5.4（米）

答：點A位于最高點時到地面的距離為5.4米；

（2）過O作EF_LOM,過B作BC回EF于C,過Bi作BQ_LEF于D

VZAOE=37°

.\ZBOC=ZAOE=37°,ZBiOD=ZAiOE=17.5°

VOBi=OB=2（米）

在RtaOBC中，BC=sinZOCBXOB=sin37°XOB=0.6x2=1.2（米）

在Rt回OBiD中，BiD=sinl7.5XOBi=0.3x2=0.6（米）

ABC+BiD=1.2+0.6=1.8（米）

此時水桶B上升的高度為1.8米.

21.（本題滿分8分）某校初三年級一共有1200名學生，某一次體育測試后，彭老師為了了

解本校初三學生體考成績的大致情況，隨機抽取了男、女各40名考生的體考成績，并將數

據進行整理分析，給出了下面部分信息：

數據分為A,B,C,D四個等級分別是：

A:49WxW50,B:45/xW49,C:40WxW45,D:0WxW40.

40名男生成績的條形統計圖以及40名女生成績的扇形統計圖如圖.40名男生和40名女生

成績的平均數，中位數，眾數如下：

購取的初二到大休匕次紈*期僅計

眾數|

性別平均數中位數

男生48a47

女生48.548475

男生成績在B組的考生的分數為

45,45,46,46,46.5,46.5,47,47,47,47,47,47,48,48,48.5;根據以上信息，解

答下列問題：

（1）填空a=，女生成績為B等對應的扇形的圓心角為并補全條形統計圖.

11

⑵根據以上數據，你認為在此次測試中，男生成績好還是女生成績好？請說明理由;

⑶請估計該年級所有參加體考的學生中，成績為A等級的考生人數.

解：⑴46.25162°

⑵女生的成績較好，理由：女生的平均數、眾數都比男生好

抽取的初三男生體考成績條形統計

（3）1200X—=480（人）

40

答：估計該年級所有參加體考的學生中，成績為A等級的考生人數為480人.

22.（本題滿分8分）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點，過點C作圓O的切線交

AB的延長線于點P,連接CA,CO,CB.

⑴若NABC=2NBCP,求NP的度數；

⑵在（1）的條件下，若AB=4,求圖中陰影部分的面積（結果保留71和根號）.

解：（1）：AB是半圓0的直徑

.?.ZACB=90°

VCP是半圓O的切線

.?.OC±PC

.,.ZOCP=90°

/.ZACB=ZOCP

.\ZACO=ZBCP

VZABC=2ZBCP

/.ZABC=2ZACO

VOA=OC

/.ZACO=ZA

/.ZABC=2ZA

VZABC+ZA=90o

12

.\ZA=30o,ZABC=60°

.,.ZACO=ZBCP=30°

.?.ZP=ZABC-ZBCP=60°-30o=30°

(2)由(1)知NA=30°

VZACB=90"

/.BC=|AB=2,AC=V3BC=2V3

.,.SAABC=|BC?AC=2V3

?**S半圓=2n

陰影部分的面積是(2n-2V3)

23.(本題滿分10分)學校在某商場購買甲、乙兩種不同類型的足球，相關信息如下表:

甲種足球乙種足球

購買費用：2000元購買費用：1400元

單價：x用個單價：(H20)元/個

數量：___________________個數量:個

(1)在上表中用含x的代數式分別表示購買甲、乙兩種足球的數量；

(2)若本次購買甲種足球的數量是購買乙種足球數量的2倍，求甲、乙兩種足球在此商場的銷

售單價；

⑶為滿局學生需求，這所學校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個.恰逢該商場對兩種足

球的銷售單價進行調整，甲種足球的銷售單價比上次購買時提高了10%,乙種足球的銷售單

價比上次購買時降低了10%.如果此次購買甲、乙兩種足球的總費用不超過2950元，求這

所學校最多可以購買乙種足球的數量.

解：⑴幽;1400

Xx+20

20001400

⑵根據題意得:X2

x%+20

解得：x=50

經檢驗，x=50是所列方程的解，且符合題意

x+20=50+2=70

答:甲種足球在此商場的銷售單價為50元/個，乙種足球在此商場的銷售單價為70元/個:

⑶設這所學校可以購買m個乙種足球，則購買(50-m)個甲種足球

根據題意得：50x(l+10%)(50-m)+70x(l-10%)m<2950

解得：mW25

/.m的最大值為25

13

答：這所學校最多可以購買25個乙種足球

24.（本題滿分10分）

【綜合與實踐】：

"怎樣把一塊三角形的木板加工成一個面積最大的正方形桌面？"某小組同學對此展開了思考.

【特例感知】：

若木板的形狀是如圖（甲）所示的直角三角形，根據"相似三角形

（1）SAABc=1.5m2,AB=1.5m,

對應的高的比等于相似比"求得此時正方形DEFG的邊長.

【問題解決】：

若木板是面積仍然為L5m2的銳角三角形ABC,按照如圖（乙）所示的方式加工，記所得的

正方形DEFG的面積為S,如何求S的最大值呢？某學習小組做了如下思考：

設DE=x,AC=a,AC邊上的高BH=h,貝!ISmBc=：ah,，h=?

2a

由回BDEs回BAC得：篝能從而可以求得x=念，

若內接正方形面積S最大，即求x的最大值.因為S=1.5為定值，因此只需要分母最小即可.

（2）小組同學借鑒研究函數的經驗，令丫=2+卜=2+印a+^（a>0）.探索函數丫=2勺的圖象和性質:

①下表列出了y與a的幾組對應值，其中m=.

a???11113234

4322

4

y???wm44???

②在如圖（丙）所示的平面直角坐標系中畫出該函數的大致圖象;

③結合表格觀察函數y=a+|圖象，以下說法正確的是.

A.當a>l時，y隨a的增大而增大.

B.該函數的圖象可能與坐標軸相交.

14

C.該函數圖象關于直線y=a對稱.

D.當該函數取最小值時，所對應的自變量a的取值范圍在1~2之間.

解：⑴過點B作BN_LAC于點N,交DE于點M,如圖，

B

AGNF

設DE=x,貝！JDG=MN=x

2

VSAABc=1.5m,AB=1.5m

/.-X1.5XBC=1.5.

2

:.BC=2m

AAC=2.5

/.-XACXBN=1.5

2

ABN=1.2m

BM=BN-MN=(1.2-x)m

VDE/7AC

團BDEs團BAC

,DEBM

**AC~BN

1.2—x

(2)①61

②在如圖所示的平面直角坐標系中畫出該函數的大致圖象:

13

12

11

10

此處閱卷不必

要求非常精準

°1234567

②D

15

25.（本題滿分12分）

問題發現：

⑴如圖1,已知正方形ABCD和正方形AEFG,直接寫出CF與DG之間的數量關系：

拓展探究：

⑵將正方形AEFG繞點A順時針旋轉到圖2所示的位置，連接DG、CF,試猜想CF與DG之

間的數量關系，并說明理由。

類比遷移：

⑶如圖3,已知菱形ABCD和菱形AEFG,ZDAB=60°,將菱形AEFG繞點A順時針旋轉a（0°<a<90"）,

連接DG、CF,請在備用圖中畫出草圖，判定CF與DG之間的數量關系是否隨著a