最短路徑問題教學(xué)設(shè)計(jì)PAGE1PAGE9《最短路徑問題》教學(xué)設(shè)計(jì)一、課標(biāo)分析2011版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！彪S著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，極大地推進(jìn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的發(fā)展，使得數(shù)學(xué)幾乎滲透到每一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域及人們生活的方方面面。為了適應(yīng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要和培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次科技人才，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)在大學(xué)教育中逐步開展，國內(nèi)外越來越多的大學(xué)正在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)和參加開放性的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，將數(shù)學(xué)建模教學(xué)和競(jìng)賽作為高等院校的教學(xué)改革和培養(yǎng)高層次的科技人才的個(gè)重要方面，數(shù)學(xué)建模難度大、涉及面廣，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個(gè)不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)從生產(chǎn)、生活等實(shí)際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，去解決實(shí)際問題，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)與能力。因此，數(shù)學(xué)建模是初中數(shù)學(xué)的重要任務(wù)之一，它是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力的有效途徑和強(qiáng)有力的教學(xué)手段。但從教學(xué)的反饋信息看，初中學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力普遍很弱，這與課堂教學(xué)中忽視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)不無關(guān)系。要想提高學(xué)生的建模能力，我們就要在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)出發(fā)，從社會(huì)熱點(diǎn)問題出發(fā)，讓學(xué)生直接接觸數(shù)學(xué)建模，培養(yǎng)學(xué)生抽象能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力。現(xiàn)實(shí)生活中問題是很復(fù)雜的，有些問題表面看來毫無相同之處，但抽象為數(shù)學(xué)模型，本質(zhì)都是相同的，這些問題都可以用類似的方法解決。本節(jié)課的教學(xué)中注重模型歸類，多題一模，訓(xùn)練學(xué)生歸納能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。二、教材分析本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了基本事實(shí)：“兩點(diǎn)之間線段最短”和軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探究如何綜合運(yùn)用知識(shí)解決最短路徑問題。它既是軸對(duì)稱、勾股定理知識(shí)運(yùn)用的延續(xù)，又能培養(yǎng)學(xué)生自主探究，學(xué)會(huì)思考，在知識(shí)與能力轉(zhuǎn)化上起到橋梁作用．對(duì)于本節(jié)課的內(nèi)容，青島版教材沒有獨(dú)立編排，只是隨著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不斷推進(jìn)，逐步添加了部分題目來逐步滲透，這也使大部分學(xué)生忽視了這一知識(shí)點(diǎn)。設(shè)計(jì)整合了一些以三角形、四邊形、圓、函數(shù)、立體圖形為背景的最短路徑問題，讓學(xué)生直面數(shù)學(xué)模型，體會(huì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，有利于學(xué)生系統(tǒng)的學(xué)習(xí)知識(shí)。學(xué)習(xí)目標(biāo)：（二）知識(shí)回顧1.如圖所示：從A地到B地有三條路可供選擇，選擇哪條路距離最短？你的理由是什么？2.你能說出軸對(duì)稱的性質(zhì)嗎？3.勾股定理?！緦W(xué)生活動(dòng)】在教師的引導(dǎo)下回顧舊知識(shí)?！驹O(shè)計(jì)意圖】為本節(jié)課的學(xué)習(xí)掃清知識(shí)障礙。（三）模型建構(gòu)1.如圖，要在燃?xì)夤艿繪上修建一個(gè)泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？【設(shè)計(jì)意圖】通過一個(gè)很簡單的實(shí)際問題，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)與生活，曾慶學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。2.你能解決“將軍飲馬問題”嗎？活動(dòng)1：觀察思考，抽象為數(shù)學(xué)問題將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．BB。。Al活動(dòng)2：你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生嘗試回答，并互相補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在l的什么位置時(shí)，PA+PB最??？BB。。Al強(qiáng)調(diào)：將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、敘述、畫圖等過程，培養(yǎng)學(xué)生把生活問題抽象為數(shù)學(xué)問題的能力?；顒?dòng)3：嘗試解決數(shù)學(xué)問題你能利用軸對(duì)稱的知識(shí)解決這個(gè)問題嗎？【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，畫圖分析，并嘗試回答，互相補(bǔ)充。教師適當(dāng)提示。作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)P。則點(diǎn)P即為所求．如圖所示：llCAB【學(xué)生活動(dòng)】在教師的引導(dǎo)下，積極思考，同伴交流，嘗試解決實(shí)際問題?！驹O(shè)計(jì)意圖】學(xué)以致用，利用軸對(duì)稱知識(shí)解決問題，及時(shí)進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法規(guī)律的提煉總結(jié)。3.模型分析已知直線l和A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在l的什么位置時(shí)，PA+PB最??？（1）A、B兩點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)： ll·AB·（2）A、B兩點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)：BB·lA·【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生梳理總結(jié)從實(shí)際問題中抽象出來的數(shù)學(xué)模型，形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)從復(fù)雜問題中找出基本圖形的能力。（四）模型應(yīng)用典型例題（一）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，OA、AB的中點(diǎn)分別為C、D，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCD的周長最小時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．【設(shè)計(jì)意圖】（1）幫助學(xué)生靈活的從復(fù)雜的圖形中抽出基本模型（2）引導(dǎo)學(xué)生找出模型中已知直線L和A、B兩點(diǎn)，提高學(xué)生分析題目的能力，提升思維的層次。題組（一）1.如圖1,在邊長為1的等邊三角形ABC中,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),AE⊥BC，點(diǎn)P是AE上任一點(diǎn),則PC+PD的最小值為。2.如圖2，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DN＋MN的最小值為。ABCABC·DE圖1圖2典型例題（二）如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為________cm．【學(xué)生活動(dòng)】（1）將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形。（2）在教師的引導(dǎo)下從問題的情境中逐步得出問題的本質(zhì)：點(diǎn)A，C在直線L的同側(cè)，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在l的什么位置時(shí)，PA+PB最小？（3）綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)模型和勾股定理解決問題。【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，利用“最短路徑”數(shù)學(xué)模型來解決問題。訓(xùn)練學(xué)生的思維，提高分析問題的能力，培養(yǎng)模型思想。題組（二）1.如圖，在棱長為1的立方體的右下角A處有一只螞蟻，欲從立方體的側(cè)面爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？2.如圖,圓錐的底面半徑為1,母線長為4,一只螞蟻要從底面圓周上一點(diǎn)B出發(fā),沿圓錐側(cè)面爬行一周再回到點(diǎn)B,問它爬行的最短路線是多少?BABAABC（五）反思小結(jié)本節(jié)課我學(xué)會(huì)了……【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法、數(shù)學(xué)思想方面進(jìn)行歸納總結(jié)：1、解決上述問題運(yùn)用了什么知識(shí)？（知識(shí)）2、在解決問題的過程中運(yùn)用了什么方法？（方法）3、運(yùn)用上述方法的目的是什么？體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想？（數(shù)學(xué)思想）（六）拓展提升如圖，在長為5、寬為3、高為4的長方體的右下角A處有一只螞蟻，欲從長方體的外表面爬行去吃右上角B處的食物，問怎樣爬行路徑最短，最短路徑是多少？5543AB【設(shè)計(jì)意圖】思維變式訓(xùn)練，提升學(xué)生的思維層次，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)提問。五、效果分析本節(jié)課的活動(dòng)設(shè)計(jì)與評(píng)測(cè)練習(xí)有利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，很好的突出了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)。具體標(biāo)志如下：1.學(xué)生能夠把“將軍飲馬”的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)、線”問題，并利用軸對(duì)稱的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的問題。2.能夠抽象出“最短路徑問題”數(shù)學(xué)模型，在探索最算路徑的過程中，體會(huì)軸對(duì)稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.3、能從一些以三角形、四邊形、圓、函數(shù)、立體圖形為背景的復(fù)雜題目中抽象出“最短路徑”問題的基本數(shù)學(xué)模型。六、觀評(píng)記錄（一）生活情境創(chuàng)設(shè)本節(jié)可通過創(chuàng)設(shè)“將軍飲馬”這樣一個(gè)具有思考性的故事情境，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，迅速把學(xué)生引入本節(jié)課的教學(xué)問題之中，為接下來的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，真正體現(xiàn)課標(biāo)理念中數(shù)學(xué)活動(dòng)的深入有效開展。（二）任務(wù)層次結(jié)構(gòu)本設(shè)計(jì)將教學(xué)任務(wù)設(shè)計(jì)成若干個(gè)教學(xué)活動(dòng)。除了考慮活動(dòng)本身的設(shè)計(jì)之外，還充分考慮子活動(dòng)之間坡度、連貫、銜接等特點(diǎn)，過渡自然、思路清晰，能夠提供思考和發(fā)現(xiàn)的時(shí)間和空間。這種層次結(jié)構(gòu)幫助學(xué)生保持思維的高度集中，避免學(xué)生因活動(dòng)脫節(jié)造成思路混亂；有利于呈現(xiàn)出高認(rèn)知水平的教學(xué)任務(wù)，避免低水平的模仿和重復(fù)訓(xùn)練；能夠根據(jù)教師構(gòu)建的“腳手架”一步步完成整個(gè)“教學(xué)工程”的任務(wù)，避免形成局部效果之和遠(yuǎn)小于整體教學(xué)要求。教師上課思路清晰，目的明確；教學(xué)活動(dòng)各部分時(shí)間安排合理；教學(xué)活動(dòng)各部分聯(lián)系比較緊密；學(xué)生能從整體上分析問題、解決問題。（三）數(shù)學(xué)思想方法滲透新課標(biāo)中明確提到數(shù)學(xué)思想方法的顯性要求。我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過程中經(jīng)常側(cè)重于解題訓(xùn)練，而忽略新內(nèi)容學(xué)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練，這靠多做題是無法實(shí)現(xiàn)的，學(xué)生往往學(xué)得又累又不得法。本節(jié)課數(shù)學(xué)思想方法的挖掘與呈現(xiàn)主要體現(xiàn)為：能夠?qū)⑿屡f知識(shí)進(jìn)行有效聯(lián)系；學(xué)生能將一個(gè)復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)簡單的問題；教師在教學(xué)過程中經(jīng)常滲透思想方法；在教師的引導(dǎo)下，自己基本能夠獨(dú)立完成新內(nèi)容的學(xué)習(xí)；能夠運(yùn)用學(xué)過的方法找到解決新問題的思路。（四）數(shù)學(xué)交流的機(jī)會(huì)本節(jié)課的交流方式主要體現(xiàn)為：在課堂學(xué)習(xí)過程中有表達(dá)自己想法的機(jī)會(huì)；老師在課堂教學(xué)過程中注意照顧到不同層次的學(xué)生；在與同學(xué)交流的過程中能夠獲得啟發(fā)；針對(duì)老師和同學(xué)提供的多種解題方法，能夠選擇適合自己的方法；教師能夠進(jìn)行詳細(xì)深入的點(diǎn)評(píng)；學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，相互合作、共同探究學(xué)習(xí)問題，樂于交流分享成績；注意力集中，學(xué)習(xí)積極主動(dòng)，與老師配合默契；有數(shù)學(xué)表達(dá)的愿望；給學(xué)生交流提供充足的時(shí)間。（五）數(shù)學(xué)應(yīng)用的深度課堂中的數(shù)學(xué)應(yīng)用主要表現(xiàn)為：能夠從生活中提煉出數(shù)學(xué)問題并加以解決；了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈，尋找其中與數(shù)學(xué)有關(guān)的因素；能從數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)中主動(dòng)獲取知識(shí)；學(xué)生在教師的引導(dǎo)下發(fā)揮了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛力；在教學(xué)中能夠照顧到各個(gè)層次的學(xué)生；學(xué)生有思考問題和表現(xiàn)想法的機(jī)會(huì)。七、課后反思本節(jié)課我用數(shù)學(xué)故事“將軍飲馬”引入課題，引導(dǎo)學(xué)生“兩點(diǎn)之間線段最短”和軸對(duì)稱的性質(zhì)逐步從生活問題中抽象概括出“最短路徑問題”數(shù)學(xué)模型。讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的線段和最小問題，再利用軸對(duì)稱將線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題。在建構(gòu)模型的過程中，我注重學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)方法的而培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思想方法的滲透；在抽象出數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析模型，增強(qiáng)了學(xué)生的模型思想；接下來通過兩個(gè)典型例題及兩個(gè)對(duì)應(yīng)題組的聯(lián)系，更是有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的實(shí)質(zhì)，增強(qiáng)了學(xué)生從復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)基本圖形的能力。