專題03運算思維之多項式乘法重難點專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．下列運算中，正確的是（

）A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】根據同底數冪的乘法法則對A進行判斷；根據單項式乘以單項式對B進行判斷；根據冪的乘方與積的乘方法則對C進行判斷；根據合并同類項對D進行判斷．【詳解詳析】解：A、a3?a2=a5，所以A選項不正確，故不符合題意；B、，正確，符合題意；C、，所以C選項不正確，故不符合題意；D、與不是同類項，不能合并，故選項D不符合題意，故選：B．【名師指路】本題考查了同底數冪的乘法、冪的乘方與積的乘方以及合并同類項，熟練掌握運算法則是解答此題的關鍵．2．若M＝(a＋3)(a－4)，N＝(a＋2)(2a－5)，其中a為有理數，則M、N的大小關系是()A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．無法確定【標準答案】B【思路指引】把M與N代入M-N中計算，判斷差的正負即可得到結果．【詳解詳析】解：∵M-N=（a+3）（a-4）-（a+2）（2a-5）=a2-a-12-2a2+a+10=-a2-2≤-2＜0，∵M＜N．故選B．【名師指路】此題考查了多項式乘多項式，以及非負數的性質，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．3．若多項式x2－(x＋a)(x＋b)－3的值與x的取值無關，則a，b一定滿足()A．a＝0且b＝0 B．ab＝0C．ab＝1 D．a＋b＝0【標準答案】D【思路指引】根據多項式與多項式相乘的法則進行計算，根據題意列出算式，計算即可．【詳解詳析】解：x2-（x+a）（x+b）-3=x2-x2-bx-ax-ab-3=-（a+b）x-ab-3，∵多項式x2－(x＋a)(x＋b)－3的值與x的取值大小無關，∴a+b=0，故選D．【名師指路】本題考查的是多項式乘多項式，多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加．4．（2021·浙江·紹興市上虞區永和鎮中心學校七年級月考）下列計算正確的是()．A．(2x－5)(3x－7)＝6x2－29x＋35B．(3x＋7)(10x－8)＝30x2＋36x＋56C．D．(1－x)(x＋1)＋(x＋2)(x－2)＝2x2－3【標準答案】A【思路指引】根據多項式、單項式的乘法法則及整式的混合運算法則作答．【詳解詳析】解：A、（2x-5）（3x-7）=6x2-29x+35，正確；B、應為（3x+7）（10x-8）=30x2-46x-56，故本選項錯誤；C、應為（-3x+）（-x）=x2-x，故本選項錯誤；D、應為（1-x）（x+1）+（x+2）（x-2）=（1-x2）+（x2-4）=-3，故本選項錯誤．故選A．【名師指路】本題主要考查了整式的運算，包括單項式、多項式的乘法法則．5．矩形內放入兩張邊長分別為和的正方紙片，按照圖①放置，矩形紙片沒有兩個正方形覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為；按照圖②放置，矩形紙片沒有被兩個正方形覆蓋的部分面積為；按圖③放置，矩形紙片沒有被兩個正方形覆蓋的部分的面積為．已知，，設，則下列值是常數的是（

）

A． B． C． D．【標準答案】B【思路指引】利用面積的和差表示出S2-S1，根據圖①與圖②分別表示出矩形的面積，進而得到b（AD-AB）=12，從而求解．【詳解詳析】解：由，可得：S2-S1=9，由圖①得：S矩形ABCD=S1+a2+b（AD-a），由圖②得：S矩形ABCD=S2+a2+b（AB-a），∴S1+a2+b（AD-a）=S2+a2+b（AB-a），∴S2-S1=b（AD-AB），∵AD-AB=m，∴mb=12．故選：B．【名師指路】本題考查了整式的混合運算，“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關問題，此時應注意被看做整體的代數式通常要用括號括起來．6．（2021·浙江·杭州市公益中學七年級期中）已知，，則的值為()A．6 B． C．0 D．1【標準答案】D【思路指引】根據整式乘法法則去括號，再把已知式子的值代入即可．【詳解詳析】∵，，∴原式．故選：D．7．（2021·浙江杭州·七年級期中）形如的式子叫做二階行列式，它的運算法則用公式表示為，那么當時，則為（

）A．17 B．18 C．19 D．20【標準答案】D【思路指引】先根據題意得出（m-1）（m+1）-（m+2）（m-3）=25，再根據多項式乘以多項式法則展開，最后求出方程的解即可．【詳解詳析】解：根據題意，由可得（m-1）（m+1）-（m+2）（m-3）=25，m2-1-m2+3m-2m+6=25，3m-2m=25+1-6，m=20，故選：D．【名師指路】本考查了整式的混合運算和解一元一次方程等知識點．能正確根據整式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵．8．八張如圖所示的長為a，寬為的小長方形紙片，按如圖的方式不重疊地放在矩形中，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足的關系式為（）A． B． C． D．【標準答案】A【思路指引】表示出左上角與右下角部分的面積，求出差，根據差與BC無關即可求出a與b的關系式．【詳解詳析】解：如圖，由題意可知：DE=a，BF=5b，∵AD=BC，∴EH+3b=a+GF，∴EH-GF=a-3b，S=DE×EH-BF×FG=a×（FG+a-3b）-5b×FG=（a-5b）FG+a2-3ab∵S始終保持不變，∴a-5b=0，即a=5b，故選A．【名師指路】此題考查了整式的混合運算的應用，弄清題意是解本題的關鍵．9．如圖，長為，寬為的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀，大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為，下列說法中正確的是（

）①小長方形的較長邊為；②陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為；③若y為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；④當時，陰影A和陰影B的面積和為定值．A．①③④ B．①④ C．①③ D．①②③【標準答案】B【思路指引】①觀察圖形，由大長方形的長及小長方形的寬，可得出小長方形的長為（y-15）cm，說法①正確；②由大長方形的寬及小長方形的長、寬，可得出陰影A，B的較短邊長，將其相加可得出陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為（2x+5-y）cm，說法②錯誤；③由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的周長計算公式可得出陰影A和陰影B的周長之和為2（2x+5），結合y為定值可得出說法③錯誤；④由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的面積計算公式可得出陰影A和陰影B的面積之和為（xy-25y+375）cm2，代入x=25可得出說法④正確．【詳解詳析】解：①∵大長方形的長為ycm，小長方形的寬為5cm，∴小長方形的長為y-3×5=（y-15）cm，說法①正確；②∵大長方形的寬為xcm，小長方形的長為（y-15）cm，小長方形的寬為5cm，∴陰影A的較短邊為x-2×5=（x-10）cm，陰影B的較短邊為x-（y-15）=（x-y+15）cm，∴陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，說法②錯誤；③∵陰影A的較長邊為（y-15）cm，較短邊為（x-10）cm，陰影B的較長邊為3×5=15cm，較短邊為（x-y+15）cm，∴陰影A的周長為2（y-15+x-10）=2（x+y-25），陰影B的周長為2（15+x-y+15）=2（x-y+30），∴陰影A和陰影B的周長之和為2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），∴若y為定值，則陰影A和陰影B的周長之和不為定值，說法③錯誤；④∵陰影A的較長邊為（y-15）cm，較短邊為（x-10）cm，陰影B的較長邊為3×5=15cm，較短邊為（x-y+15）cm，∴陰影A的面積為（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，陰影B的面積為15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，∴陰影A和陰影B的面積之和為xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，當x=25時，xy-25y+375=375cm2，說法④正確．綜上所述，正確的說法有①④．故選：B．【名師指路】本題考查了列代數式以及整式的混合運算，逐一分析四條說法的正誤是解題的關鍵．10．如圖，長為，寬為的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為，下列說法中正確的是（

）①小長方形的較長邊為；②陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為；③若x為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；④當時，陰影A和陰影B的面積和為定值．A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④【標準答案】A【思路指引】①觀察圖形，由大長方形的長及小長方形的寬，可得出小長方形的長為（y-15）cm，說法①正確；②由大長方形的寬及小長方形的長、寬，可得出陰影A，B的較短邊長，將其相加可得出陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為（2x+5-y）cm，說法②錯誤；③由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的周長計算公式可得出陰影A和陰影B的周長之和為2（2x+5），結合x為定值可得出說法③正確；④由陰影A，B的相鄰兩邊的長度，利用長方形的面積計算公式可得出陰影A和陰影B的面積之和為（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出說法④錯誤．【詳解詳析】解：①∵大長方形的長為ycm，小長方形的寬為5cm，∴小長方形的長為y-3×5=（y-15）cm，說法①正確；②∵大長方形的寬為xcm，小長方形的長為（y-15）cm，小長方形的寬為5cm，∴陰影A的較短邊為x-2×5=（x-10）cm，陰影B的較短邊為x-（y-15）=（x-y+15）cm，∴陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，說法②錯誤；③∵陰影A的較長邊為（y-15）cm，較短邊為（x-10）cm，陰影B的較長邊為3×5=15cm，較短邊為（x-y+15）cm，∴陰影A的周長為2（y-15+x-10）=2（x+y-25），陰影B的周長為2（15+x-y+15）=2（x-y+30），∴陰影A和陰影B的周長之和為2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），∴若x為定值，則陰影A和陰影B的周長之和為定值，說法③正確；④∵陰影A的較長邊為（y-15）cm，較短邊為（x-10）cm，陰影B的較長邊為3×5=15cm，較短邊為（x-y+15）cm，∴陰影A的面積為（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，陰影B的面積為15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，∴陰影A和陰影B的面積之和為xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，當x=15時，xy-25y+375=（375-10y）cm2，說法④錯誤．綜上所述，正確的說法有①③．故選：A．【名師指路】本題考查了列代數式以及整式的混合運算，逐一分析四條說法的正誤是解題的關鍵．二、填空題11．計算_______．【標準答案】【思路指引】直接利用冪的乘方和積的乘方運算法則以及單項式乘法運算法則計算得出答案．【詳解詳析】解：==故答案為：．【名師指路】此題主要考查了冪的乘方和積的乘方，單項式乘法，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．12．若(x+p)與(x+5)的乘積中不含x的一次項，則p＝_____．【標準答案】-5【思路指引】根據多項式乘以多項式的法則，可表示為（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn計算，再根據乘積中不含x的一次項，得出它的系數為0，即可求出p的值．【詳解詳析】解：（x+p）（x+5）＝x2+5x+px+5p＝x2+（5+p）x+5p，∵乘積中不含x的一次項，∴5+p＝0，解得p＝﹣5，故答案為：﹣5．13．已知，，則________．【標準答案】-3【思路指引】原式利用多項式乘以多項式法則計算，變形后，將m+n與mn的值代入計算即可求出值．【詳解詳析】解：∵m+n=2，mn=-2，∴（1-m）（1-n）=1-（m+n）+mn=1-2-2=-3．故答案為：-3．【名師指路】本題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．14．若的積中不含的一次項，則的值為______．【標準答案】2【思路指引】先運用多項式的乘法法則計算，再合并同類項，因積中不含x的一次項，所以讓一次項的系數等于0，得a的等式，再求解．【詳解詳析】解：（2x-a）（x+1）=2x2+（2-a）x-a，∵積中不含x的一次項，∴2-a=0，∴a=2，故答案為：2．【名師指路】本題考查了多項式乘多項式法則，注意當要求多項式中不含有哪一項時，應讓這一項的系數為0．15．將三張大小相同的正方形紙片按如圖1的方式疊放在一個長方形ABCD內部，紙片重疊部分恰好為兩個長方形，分別記為①，②．現圖1抽象出幾何平面圖，如圖2所示．若，未覆蓋區域Ⅰ、Ⅱ的面積相等，重疊區域①的面積是②的2倍．已知，則邊AD的長度為________cm．【標準答案】14【思路指引】設MN=PQ=xcm，NP=ycm，長方形②的長為acm，則正方形的邊長為（2x+y）cm，AD=2（2x+y）=（4x+2y）cm，可得AB=2x+y+2x+y-y=（4x+y）cm，重疊區域長方形①的寬為（2x+y-a）cm，長為（x+y）cm，長方形②的寬ycm，未覆蓋區域區域Ⅰ的長為acm，寬為xcm，區域Ⅱ的長為2xcm，寬為（2x+y-a）cm，再根據“未覆蓋區域Ⅰ、Ⅱ的面積相等，重疊區域①的面積是②的2倍，”可求出x=3y，然后由AB=13cm，可求得x，y，即可求解．【詳解詳析】解：設MN=PQ=xcm，NP=ycm，長方形②的長為acm，則正方形的邊長為（2x+y）cm，AD=2（2x+y）=（4x+2y）cm，∴AB=2x+y+2x+y-y=（4x+y）cm，重疊區域長方形①的寬為（2x+y-a）cm，長為（x+y）cm，長方形②的寬ycm，未覆蓋區域區域Ⅰ的長為acm，寬為xcm，區域Ⅱ的長為2xcm，寬為（2x+y-a）cm，∵未覆蓋區域Ⅰ、Ⅱ的面積相等，重疊區域①的面積是②的2倍，∴，解得：x=3y，∵AB=13cm，∴4x+y=13，即，解得：y=1cm，∴x=3y=3cm，∴AD=4x+2y=cm．故答案為：14．【名師指路】本題主要考查了正方形的性質，方程與幾何圖形的關系，根據圖形找到等量關系，列出方程是解題的關鍵．16．（2021·浙江·杭州綠城育華學校七年級月考）已知x2﹣3x+1＝0，則﹣2x2+6x＝___；x3﹣2x2﹣2x+9＝___．【標準答案】

2

8【思路指引】根據已知條件得到x2﹣3x＝﹣1，x2﹣2x＝x﹣1，然后將其整體代入整理后的所求的代數式進行求值．【詳解詳析】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣3x＝﹣1，∴﹣2x2+6x＝﹣2(x2﹣3x)＝﹣2×(﹣1)＝2；∵x2﹣3x+1＝0，∴x2﹣2x＝x﹣1，∴x3﹣2x2﹣2x+9，＝x（x2﹣2x）﹣2x+9，＝x（x﹣1）﹣2x+9，＝x2﹣2x﹣x+9，＝x﹣1﹣x+9，＝8，故答案為：2；8．【名師指路】本題考查了代數式求值．該題利用了“整體代入”的數學思想，減少了繁瑣的計算過程．17．已知單項式與的積為，那么_________．【標準答案】-20【詳解詳析】試題解析：由題意可知：3x2y3×（-5x2y2）=mx4yn，∴m=-15，n=5，∴m-n=-20.18．（2021·浙江杭州·七年級期中）如果.那么_________【標準答案】-1【思路指引】根據得到，再把原式變形，然后把整體代入求值即可得解.【詳解詳析】解：，故答案為-1【名師指路】本題考查了整式的化簡求值，解題關鍵是把原條件變形后整體代入所求算式的變形式中計算.三、解答題19．當我們利用2種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到一個等式．例如，由圖1．可得等式：．（1）由圖2，可得等式：___________．（2）請利用（1）中的等式解答下列問題：①若三個實數a，b，c滿足，，求的值；②若三個實數x，y，z滿足，，求的值．【標準答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）①45；②-12【思路指引】（1）根據圖2，利用直接求與間接法分別表示出正方形面積，即可確定出所求等式；（2）①（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，化為（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc），代入已知即可；②根據冪的乘方從得到，兩邊平方，再利用已知等式可整體求出．【詳解詳析】解：（1）根據圖形可知，大正方形的邊長為a+b+c，則其面積為（a+b+c）2，各部分面積和可表示為：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案為：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）①∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+ac+bc），即112=a2+b2+c2+2×38，∴a2+b2+c2=45；②∵，∴，又∵，∴====16∴=-12．【名師指路】此題考查了多項式乘以多項式，能夠利用面積相等的思想推導公式并熟練運用是解題關鍵．20．（2021·浙江杭州·七年級期末）閱讀下列材料，解答問題：在的積中，項的系數為，的系數為，求a，b的值．解：

①

②根據對應項系數相等有，解得，

③（1）上述解答過程是否正確？（2）若不正確，從第幾步開始出現錯誤?其它步驟是否還有錯誤?（3）請你寫出正確的解答過程．【標準答案】（1）不正確；（2）①，第②③步還有錯誤；（3）見解析【思路指引】根據多項式乘多項式法則判斷，并寫出正確過程．【詳解詳析】解：（1）不正確；（2），第①步出現錯誤，導致第②③步還有錯誤；（3）的展開式中含的項有：，含的項有：．又項的系數為，項的系數為，有，解得．【名師指路】本題考查了多項式乘以多項式，此類問題，應先利用多項式乘以多項式法則進行正確計算，再求值．21．回答下列問題：（1）填空：________；________；_________．（2）猜想：____________．（其中為正整數，且）；（3）利用（2）猜想的結論計算：（結果保留乘方）①；②．【標準答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；（3）①211-2；②【思路指引】（1）利用多項式乘以多項式法則計算即可得到結果；（2）歸納總結得到一般性規律，寫出即可；（3）利用得出的規律將原式變形，計算即可求出值．【詳解詳析】解：（1）（a-b）（a+b）=a2-b2；（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4；（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn；（3）①原式=210+29+28+…+2