2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)小專題

一、單選題

1.函數(shù)〃x）=sin卜zBsiMx的最小正周期為（）

兀

A.—B.兀C.-D.2兀

24

2.若sinx?taiu<0,貝UJl+cos2x等于()

A.yj2cosxB.-V2cosxC.V2sinxD.-V2sinx

3.已矢口饃5。=逆

,tan（a-〃）=-;，私￡均為銳角，則￡=（)

5

5兀7171兀

A.—B.一C.1D.-

12346

4.將函數(shù)y=sin2x+1的圖象平移后所得的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=cos2x,則進(jìn)行的平移是

()

A.向左平移二個(gè)單位B.向右平移?個(gè)單位C.向右平移二個(gè)單位

12612

D.向左平移B個(gè)單位

6

5.若cos[a—']=；,則sin（2a+￡卜（）

77

C

A.4792B.9--4V92D.-9-

6.設(shè)函數(shù)/（%）=任由5：+（：050%（。〉0）,其圖象的一條對稱軸在區(qū)間內(nèi)，且/（X）的

63

最小正周期大于兀，則0的取值范圍為（）

,.（兀、4l,兀3兀

7.已知sin=二，且一＜1＜一，求cosa=()

14J544

A.也B."V-(----?----

102210

8.函數(shù)/G）=/sin（耽+0）[/＞0,。＞0,0＜。＜]的部分圖像如圖所示，則下列敘述正確的

是（）

A.函數(shù)/（x）的圖像可由y=Nsinox的圖像向左平移J個(gè)單位得到

6

B.函數(shù)/⑺在區(qū)間上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/（關(guān)）的圖像關(guān)于直線x=g對稱

D.函數(shù)/（x）圖像的對稱中心為仔+”卜⑷

二、多選題

9.已知函數(shù)〃x）=sin（2x-￡|,則下列四個(gè)結(jié)論中不正確的是（）

A.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)］|,o］中心對稱

B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=-［對稱

O

C.函數(shù)“X）在區(qū)間（-兀，兀）內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)“X）在區(qū)間一萬,0上單調(diào)遞增

10.下列選項(xiàng)中，與sin（-U兀）的值相等的是（）

6

A.2cos215°-1B.cos18°cos42°-sin18°sin42°

tan300+tan150

C.2sin15°sin75°

1-tan30°tan15°

11.已知函數(shù)/（2x+l）的圖像關(guān)于直線x=l對稱，函數(shù)+關(guān)于點(diǎn)（1,0）對稱，則下列說法

不正確的是（）

A.f(1—x)=f(1+x)B.4為/（x）的周期

C.川）=0D.=

12.已知函數(shù)/O）=sin（3x+e）（-的圖象關(guān)于直線％弋對稱，則（）

7T

A.函數(shù)/(x+診)為奇函數(shù)

B.函數(shù)/(x)在［芻,自上單調(diào)遞增

126

2兀

C.若"?)-/(3)1=2,則|三-%|的最小值為w

D.將函數(shù)“X)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的;，得到函數(shù)〉=$皿》+夕)的圖象

三、填空題

13.計(jì)算：tan73°-tan193°-^3tan73°tan13°=.

14.已知sina+cosa=-：，a￡(0,兀)，則tana=.

71

15.已知函數(shù)/(x)=2sin(ox+1)(G>0)的最小正周期為4兀,則①=.

16.已知函數(shù)/(x)=2cos2x+473sinxcosx-2sin2x,則函數(shù)/(%)的對稱軸的方程

為

答案:

1.B

【分析】把函數(shù)化成了=/sin(ox+e)的形式，利用公式7=同求函數(shù)的最小正周期.

【詳解】因?yàn)?/p>

=sin2x+cos2x-V2=sinf2x+—>1->/2.

22I4J

2兀

所以，函數(shù)的最小正周期為.7=竽=兀

故選：B

2.B

【分析】先由已知條件判斷cosx的符號，然后對Jl+cos2x配湊升斷公式即可.

winX

【詳解】由題知：sinx-tanx<0=>-------<0ncosx<0

cosx

Jl+cos2x=小2c1+=,2cos,x=|V2cosx|=一拒cosx.

故選：B.

3.C

【分析】由兩角差的正切公式求解即可.

【詳解】因?yàn)椤＃肌９?sma=Vl-cos2

5

sma

tana=-------

cosa2

tana-tan(a-3)

tan[}=tan[a—(a—尸)]

1+tanatan(a-7?)

所以,=:

故選：c.

4.A

【分析】分析各選項(xiàng)平移后的函數(shù)解析式，由此作出判斷即可.

【詳解】對于A：y=sin,+3向左平移合個(gè)單位可得到

y=sin2(x+^|-1+y=sinI2x+^\=cos2x,符合；

對于B：y=sin[2x+1向右平移四個(gè)單位可得到歹=sin2x--+—=sin2xcos2x不

6k6J3

符合;

對于C：y=sin(2x+T向右平移三個(gè)單位可得到

對于D：尸sin。芯+三71]向左平移巳個(gè)單位可得到

3

故選：A.

5.D

【分析】利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式解題.

【詳解】因?yàn)閏os(2a-?尸cos2(a=2COS?(a-.]一1=2x[g]-1-1=cos(y-2a)

所以sin2a+—=sin-------2a=cos----2a=—.

I6J[2(3JJUJ9

故選：D

6.C

【分析】根據(jù)題意，得至叱(x)=2sin(s+=),取得對稱軸的方程x=*+”上eZ,由左的

65CDCD

取值，結(jié)合題意，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=V^sinox+cos@x=2sin(0x」)，

6

令①]+'=乙+而，左EZ,n]*^x=—+—,A:GZ,

623co3

(1

因?yàn)閳D象的一條對稱軸在區(qū)間屋內(nèi)，可得2白+區(qū)7,可得y次+i,

163」63。°3[近3左+1

又因?yàn)閺V(X)的最小正周期大于兀，可得」,7T＞兀，解得。＜2,

當(dāng)且僅當(dāng)上=0時(shí)，解得14。＜2.

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍為口,2).

故選：C.

7.A

【分析】利用平方關(guān)系和兩角差的余弦公式計(jì)算.

【詳解】因?yàn)?<a<=,所以[<1+二〈兀，cos(?+-)--Jl-sin2(?+-)-,

4424v4V45

/兀、兀=cos(a+3cos\sin(a+Asin2(一M

cosa-cos(a+—)—

444444v55’7210

故選：A.

8.B

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性、

對稱性，結(jié)合三角函數(shù)圖象的平移變換，逐項(xiàng)判斷作答.

【詳解】由圖象可知，4=2,

1717r71

由圖〃0)=l=>sinp=彳，因?yàn)?<9<”,所以9=7/(x)=2sinG)XH-----

2266

由圖/■情]=0,則。X*表E#eZ二折號-14Z,

由圖可知工7=工>2-OnO<0<U,所以。=2,所以〃x)=2sin(2x+m,

20125I6j

對于A,y=/sinox=2sin2x的圖像向左平移弓個(gè)單位得到尸2sin2(x+:|=2sin,+。的圖

象，選項(xiàng)A不正確;

JLJi.1L

對于B,由---F2析<2x+—<——卜2kn,kGZ,可得----\-hi<x<——卜kn,kGZ,

26236

JTITITTT

則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-彳+左兀,二十碗,^eZ,則在區(qū)間-彳,二上單調(diào)遞增，

36」36_

IT7T

所以“X)在區(qū)間-不上單調(diào)遞增，選項(xiàng)B正確；

對于C,由于/]gJ=2sin[]+[j=lH±2,則直線x=]不是函數(shù)/(X)圖象的對稱軸，選項(xiàng)

C不正確;

JTTTKit

對于D,由2x+：=E#eZ,可得尤=-二+k,左€2,則函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)

6122

[一五+萬,0：左￡Z對稱，選項(xiàng)D不正確.

故選：B.

9.ABD

【分析】令工=普，求得/(當(dāng)=旦可判定A不正確；令x=d，求得/(4=sin(-當(dāng)可

12122oo12

判定B不正確；由2》-￡=-2兀,F,0,兀時(shí)，可得/（x）=0,可判定C正確；由功-^^一^廠與，

6666

結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可判定D不正確.

【詳解】對于函數(shù)〃x）=sin12x.J,

對于A中，令x=2,可得/■（空）=sin（2x—-3=sin—=—，

121212632

所以函數(shù)/（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)0]中心對稱，所以A不正確；

對于B中，令x=Y，可得/（-少=5皿-2、3-今=$皿_各不是最值，

所以函數(shù)/（X）的圖象不關(guān)于直線x=-?對稱，所以B不正確；

O

.__?./\__.7L\137r11兀|

對于rC中，由X￡（一兀,兀），可得---

6I66）?

當(dāng)2x—工=—2兀,一兀,0,兀時(shí)，可得/（x）=0,

6

所以/（%）在（-兀，兀）上有4個(gè)零點(diǎn)，所以C正確；

對于D中，由x￡[-g,0],可得2x-g￡（-?,-?）,

2666

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，此時(shí)/（X）先減后增，所以D不正確.

故選：ABD.

10.BC

【分析】由誘導(dǎo)公式先求出sin（-?兀）的值，然后用三角恒等公式逐一驗(yàn)證即可.

6

?、4kF、,口H|11兀、.711

【詳解】由題意有sm|-——=sin-=-,

\O7o2

對于A選項(xiàng)：因?yàn)?cos?15。-l=cos30°=心力工，故A選項(xiàng)不符合題意；

22

對于B選項(xiàng)：因?yàn)閏os18°cos42°-sin18°sin42°=cos18°+42°）=cos60°=故B選項(xiàng)符合

題意；

對于C選項(xiàng)：因?yàn)?sinl5°sin75°=cos（75°-15°）-cos（75°+15°卜cos60°-cos90°=；，故C

選項(xiàng)符合題意；

對于D選項(xiàng)：因?yàn)榫W(wǎng)”也現(xiàn)￡=tan（30°+15°）=tan45°=lw,，故D選項(xiàng)不符合題意；

1-tan30°tan15°,12

故選：BC.

11.CD

【分析】根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的對稱性可推出函數(shù)的周期以及對稱軸，從而判斷A,B；舉特例

符合題意，驗(yàn)證C,D選項(xiàng)，即得答案.

【詳解】由函數(shù)/(2x+l)的圖像關(guān)于直線x=l對稱，可得f(2(l+x)+l)=/(2(1-x)+l),

即/(3+2x)=f(3-2x),BPf(3+x)=f(3-x),

以x+1代換x,則/(4+x)=/(2-x)；

由函數(shù)”x+1)關(guān)于點(diǎn)0,0)對稱,可得f(x+2)+/(2-x)=0,

結(jié)合"4+x)=/(2一x)可得/(4+x)=-于(x+2),

即〃2+x)=-4x),則/(x+4)=/(x),即4為/(x)的一個(gè)周期,B正確；

又/a+2)=-/(2-x),結(jié)合y(2+x)=-/(x),

可得/(2-無)=/(無)，故尸(1-X)=尸(1+x),A正確；

由以上分析可知函數(shù)/(刈關(guān)于直線無=1對稱，且關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對稱，

71

其周期為4,則/'(尤)=sin：x滿足題意，

7T

但是/6=sin：=l,故C錯(cuò)誤；

〃“)=嗚-"J說明函數(shù)圖象關(guān)于直線.I對稱，

33兀3IT

W/A=sin^#±l,即直線尤=:不是/(x)=singx對稱軸，D錯(cuò)誤，

4842

故選：CD

12.AB

【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)結(jié)合圖象變換一一判定即可.

【詳解】由題意可知3x：+e=g+標(biāo)小eZ)=9=-}",又一^<9<；,

Jfc^=-p/(x)=sin^3x-^,

對于A項(xiàng)，/口+曰=5M3口+口-￡=sin3x,由誘導(dǎo)公式知-sin3x=sin(-3x),即函數(shù)

JT

小+乙)為奇函數(shù)，故A正確；

對于B項(xiàng)，為n3x-：J。,』，由正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知函數(shù)〃x)在￡,白上

單調(diào)遞增，故B正確；

對于C項(xiàng)，易知“X)111ax=1,若|/(西)-/(々)|=2,則/(王)與/'伍)一個(gè)取得最大值，一個(gè)取

TTV

得最小值，即為與巧相隔最近為半個(gè)周期，即M-zl的最小值為'=故C錯(cuò)誤；

對于D項(xiàng)，由三角函數(shù)的伸縮變換可知，函數(shù)/（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的;,

得到函數(shù)卜=疝（9X+9）的圖象，故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

13.百

【分析】由題意由兩角差的正切公式即可得解.

【詳解】由題意

tan73°-tan130-百tan73°tan13°=tan(73°-13°)(1+tan73°tan13°)-百tan73°tan13°=百.

故百.

3

14.——/-0.75

4

【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系可得sinacosa=f,進(jìn)而根據(jù)齊次式即可求解.

、