絕密★啟用前試卷類型：A

南山區2023-2024學年度第一學期期末質量監測

高二數學試題

2024.01

注意事項：

L本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

2.答卷前，考生務必將自己的學校，班級和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼.

3.作答選擇題時，用2B鉛筆在答題卡上將對應答案的選項涂黑.

4.非選擇題的答案必須寫在答題卡各題目的指定區域內相應位置上，不準使用鉛筆和涂改液.

5.考試結束后，考生上交答題卡.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.直線x+y—1=0的傾斜角為（）

A，45°B，60°C，120°D，135°

2.圓6：/+丁2=9與。2：/+丁2—4x+3=0的位置關系為（）

A.外切B.內切C.相交D.外離

3.如圖，在三棱錐O-A5C中，點分別為棱的中點，設礪=%礪=反瓦=3則麗=

（）

4.若拋物線丁2=2夕%（2〉0）上一點尸（2,先）到其焦點的距離為3,則該拋物線的方程為（）

A.y1=4%B.y2=6x

C.y2=8XD.y2=10x

5.已知雙曲線與-「=1（。＞0/〉0）的焦距為2c,若名瓦或c依次成等比數列，則該雙曲線的漸近線方

a"b~6

程為（）

A.=+y/2xB.y=±^^x

C.y=±V3xD.y=±-x

6.記公差不為零的等差數列｛%,｝的前幾項和為S",若幾=3（%+3為+4），則左=（）

A.13B.12C.llD.10

7.過點M（2,1）作斜率為一1的直線與橢圓C：=1相交于A8兩點，若M為線段的中點，則C的

/b2

離心率為（）

Aj_RV2?j_nV2

3322

8.已知所是圓C:x2+y2—2x—4y+3=0的一條弦，且CE，CRP是E/的中點，在直線x—y—3=0

上總存在兩點A3,使得當弦所在圓C上運動時，/AP32、恒成立，則的最小值為（）

A.472+2B.472-2C.2亞+1D.272-1

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.若向量5=（1,2,0）,3=（—2,0,1）,則下列結論正確的為（）

A.a+b=(-1,2,1)B.10|=||

C.a//bD.&=2

10.已知圓M:x2+/+6x+8y=o,則下列結論正確的為（）

A.M的半徑為10

B.M關于直線x—y—l=0對稱

C.直線x-y+3=0被M所截得的弦長為2J萬

D.若點P（a,b）在M上，則,（a—3）?+（0-4）2的最大值為25

11.已知數列｛4｝的首項為1,且a用+%=(-1)”,S"是｛4｝的前"項和，則下列結論正確的為()

A.S2n=-n

B.數列｛%+(-1)"｝為等比數列

C.數列｛(—I)'/”｝為等差數列

111

D.------1---------F???H------------>-1

〃]?2%,。3〃屋

12.已知產是拋物線C：)?=4x的焦點，A3是C上的兩點，O為坐標原點，則下列結論正確的為(

A.C的準線方程為x=-2

B.若|A司=4,則口的面積為

C.若直線AB過焦點產，且A5=g,則O到直線AB的距離為工

32

D.^OALOB,則|。4HoM232

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知直線4:x—2y+l=0,/2：%+加丁+2=0,若《〃(，則4,乙的距離為.

14.已知平面a的一個法向量為后=(1,—1,2),若點A(—1,0,1),3(2,3?均在a內，貝”麗/.

15.若數列｛4｝的前〃項積為7；=(6)/+",則｛4｝的前〃項和S.=.

16.已知點網—6,0)、心(6,0),動點P滿足/￡「工=60°,記P的軌跡為G，以忸團的最大值為長

軸，且以耳，工分別為左、右焦點的橢圓為。2,則C和02的交點到％軸的距離為.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)

已知數列｛4｝為等差數列，且為=—9,%=-6.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)記S”為｛%｝的前〃項和，若S〃>13,求〃的最小值.

18.(12分)

已知圓C:(x—l)2+(y+l)2=4.

（1）過點尸（3,2）作C的切線/,求/的方程；

（2）若點。為直線/'：3x—4y+13=0上的動點，過。作圓C的切線，記切點為M,當|。河|取最小值

時，求NCQM的大小.

19.（12分）

如圖，在平面四邊形A5CP中，。為PA的中點，PA±AB,CD//AB,且PA=CD=2A3=4.將此平

面四邊形ABCP沿CD折成直二面角P-DC-B,連接尸APB,BD.

（1）證明：平面平面P3C；

（2）求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.

20.（12分）

記S”為數列｛4｝的前"項和，已知［=1,且

S

（1）證明：為等差數列；

（2）求｛%｝的通項公式；

⑶若求數列｛2｝的前幾項和卻

21.（12分）

如圖，在四棱錐P—A3CD中，已知AB〃CD,AO，CD,3C=3P,CD=2A3=4,口人￡）「是等邊三角

形，且E為。P的中點.

（1）證明：AE〃平面P3C；

（2）當PA=6時，試判斷在棱3c上是否存在點M,使得二面角PA-E的大小為60°.若存在，請求

出也的值；否則，請說明理由.

BC

22.（12分）

22

在平面直角坐標系中，動點P在雙曲線C:3=13〉4>0）的一條漸近線上，已知C的焦距為

ab

4,且尸為C的一個焦點，當|P3最小時，□POR的面積為告.

（1）求C的方程；

（2）已知點Q（2,3）,直線/:'=左（》-2）與C交于A3兩點.當附<6時，/上存在點M使得

尢+左2=2/，其中配左2,占依次為直線QAQBQM的斜率，證明：M在定直線上.

絕密★啟用前試卷類型：A

南山區2023-2024學年度第一學期期末質量監測

高二數學參考答案與評分參考

一、單項選擇題:

題號12345678

答案DBBACCDA

8.解析：由題可知：圓C:(x—1)2+(,一2)2=2,圓心C(l,2),半徑廠=后,

又是所的中點，.?.CP=LER=1,

2

.??點P的軌跡方程為(x—l)2+(y—2)2=1,圓心為點C(l,2),半徑為1

若直線/：X—y—3=0上總存在兩點A3,

當尸在圓(x—iy+(y—2)2=1上運動時，欲使NAP32史恒成立，

2

7T

只需當尸至U/的距離最遠時，有NAP32—即可，

2

只需以為直徑的圓要包含圓(x—Ip+(y—2)2=1,或兩圓內切(如圖)即可,

顯然當兩圓內切時，|A3|取得最小值，

?點C(l,2)至1]/的距離為d=-j====2V2,

???當兩圓內切時，|A目的最小值為2(d+1)=4啦+2,故選A.

0

二、多項選擇題:

題號9101112

答案ABBCACDBD

12.解析：對于A：由拋物線的方程丁=4x可得準線方程為x=-1,故選項A錯誤;

對于&設A（x,y）,則》+1=4,可得x=3,從而可得|y|=2jL

■■SaA0F=~\OF\-\y\=^xlx2s/3=y/3,故選項B正確；

對于C：拋物線C:y2=4x,可得其焦點坐標為-1,0）,

不妨設直線AB的方程為x=my+l,

x=my+1c

聯立方程組《24，整理得y2_4加y_4=0,

[y=4%

設4（%,%）,8（%2，%）,可得%+%=4加,且％為=—4,

2

\AB\=J1+加2J%一%+=40+WJ]=—>解得m=±，

,33

二直線的方程為x=±浮y+1，即3x±J^y—3=0,

號,故選項C錯誤;

不妨取3x+V3y-3=0,0到直線AB的距離為

對于D：設直線0A的方程為丁=依（不妨設上〉0）,

y=kx4(1616,

由＜i'可得AF+F=4

由。4，05,同理可得|。即=4業+左2,

后■+尸>16+4/2+2

3-3=16j04+fc2=16J1+1+=32，

1,

當且僅當溟=左2,即左=1時取等號，故選項。正確，綜上所述，應選BD.

三、填空題:

Y…均一

1

16.-

3

解析:設/尸片鳥二仇/尸鳥耳二￡,則夕=120°,tan（a+/）=—6,

tana+tan/?

l-tana?tan￡

/、yy

設尸若y>0,則左p6=tana=------尸，女尸后=—tan/?=-----『

X+A/3X-V3

代入整理得％2+(y—1)2=4,y>0,

同理當y<0時，％2+(y+i)2=4,y<0.

易知當尸耳為圓爐+（y—1）2=4的直徑時，|尸耳|取得最大值4,

丫2

二曲線G的方程為\+丁=1,

22

X+(;y_l)=4

解得y=g,

（方法一）聯立方程組《X221

—+V=1

14?

同理解得y=g,.?.曲線G和曲線。2的交點到％軸的距離為1.

（方法二）/月「工=60°,根據橢圓焦點三角形的面積公式,

則S=1x2cx|y0|=Z/tan々心,解得民|=|,

???曲線G和曲線°2的交點到％軸的距離為|.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（10分）

解：（1）設｛%｝的公差為d,

%=—9,%=-6

q+3d=-9,

+6d——6,

q——12,

解得

d=1,

故c1fl=Q]+(〃—l)d——12+(M—1)x1=n_13.

n(n-1)1225

(2)Sn=-nn+---------=-n------n，

222

125

令S>13,即一〃之----n>13,

22

〃2_25〃—26〉0，即(〃—26)(〃+1)〉0,解得〃>26,

故〃的最小值為27.

18.(12分)

當|。闿取最小值時，求NCQM的大小.

解：(1)當/的斜率不存在時，無=2滿足條件.

當/的斜率存在時，不妨設其方程為y-2=k(x-3),

即京一丁+2—3左=0,

/、|%+1+2—3左|

圓心。(1,—1)到/的距離為=2,

解得左=』，

12

可得/的方程為5x-12y+9=0,

綜上所述，/的方程為x=2,或5x—12y+9=0.

(2)?」QM『=|QC\l-\CM|2=|eC|2-4,

..?不難知道當|。。|最短時，即CQ，/'時，|。時|取得最小值,

,,|3+4+13|

此時=/,2=4，

/+(—4)2

\MC\1

sm^CQM=-----p=—,

10cl2

ZCQM=30°.

19.（12分）

解：（1）證明：DC-5為直二面角的平面角,

平面PDC1平面ABCD,

又平面PDCn平面ABCD=CD,

且_LCD,PDu平面PDC,

PD±平面ABCD,

又5Cu平面ABC。，

PD1BC,

又在平面四邊形ABC。中，連接8。，

由題意可知BD-BC=2-\/2,CD=4,

BD2+BC2=CD2，

BDLBC,

又PDcBD=D,

BDu平面PBD,PDu平面PBD,

BC_L平面PB。，

又5Cu平面P3C,

???平面PBD，平面PBC.

(2)由(1)知，PD1DA,PD±DC,DC1DA,故以點。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標

系，

則4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,4,0),尸(0,0,2),第=(—2,2,0),方=(2,2,—2),

―/、m-BC=-2x+2y=0

設平面PBC的法向量為沅=(x,y,z),貝6_.',

m-PB=2x+2y-2z=0

可取玩=(U,2),

又Q=(-2,0,2),

APm

/.cos<AP,m>=

\AP\\m\

?.?直線AP與平面PBC所成角的正弦值為.

6

X

20.(12分)

=號，

解：⑴VVneN*,anl

-=—(neN*),

冊+i冊2

?/?1=1,

s

數列1卜是首項為1公差為工的等差數列.

MJ2

s1〃+1

(2)-=l+-(n-l)=

an,2，

即2s“=5+1”，,

2sl=〃％(心2),

兩式作差得2%=(〃+l)冊f%，

即"=(n>2),

a“_in-1

a.nn-12

.-x吐x…x—=XX???X—

an-\an-2an-3qn-ln-21

up—=n,6ZH=H(H>2)

,/6=1,

an=n.

n

(3)-：bn=a?-2

.-.7；=1X21+2X22+--+〃x2"

27；=lx22+2x23+---+nx2n+1

.-.-7；=21+22+---+2n-?x2n+1

2x(l-2")

-nx2'l+l=2'"i_2_“x2"+i'

--1^2-

n+1

：.Tn=(n-l)2+2.

21.(12分)

解：(1)證明：在四棱錐尸—ABC。中，已知A3〃=如圖，取

PC的中點/，連接所,

?.?口ADP是等邊三角形，且E為DP的中點.

AE1PD,

?.?E是棱的中點，尸為PC的中點，

:.EF//CD,且ER」CD.

2

VAB//CD,AB=-CD,

2

EF//AB,且EF=AB.

四邊形ABM是平行四邊形，

AE//BF.

■：BFu平面PBC,AE(Z平面PBC,

AE//平面PBC.

(2):口人。/5是等邊三角形，E為。P的中點，

?;BC=BP,且R為PC的中點，.?.BPI.PC,

???AE//BF,:.AELPC,

又AE_LPD,且AE，PC,PCcPO=P,PCu平面PCD,P。u平面PCD,

AE平面PCD.

AELCD,又AZ>_LCZ>,AZ>cAE=A,且A。,AEu平面,

:.CD±平面ADP,

Eb,平面ADP，

以E為坐標原點，而，麗，麗的方向分別為％%z軸的正方向，

如圖，建立空間直角坐標系E-盯z,

則P(3,0,0),A(0,373,0),B(0,3V3,2),C(-3,0,4),

假設存在滿足題設的點M,不妨設M(a,",c),且%=4,則

BC

...麗—36,c—2),且前=卜3,—36,2),

:.~BM=ABC，BP(a,b-373,c-2)=(-32,-3732,22),

a=-3%

:.<b-38=-30,

c=2(1+%),

a=-3%

》=3百(1-/1),即貝-3%3+1-2),2(1+初，

c-2=24

不妨設平面PAM的一個法向量為力=(x,%z),

易知西=卜3,36,0),麗=卜3(1+4),36(1_/1),2(1+4》,

PA-n=-3x+3也y=0,

由《____.l

PM-n=-3(l+2)x+3V3(l-2)y+2(l+2)z=0,

顯然平面PAE的一個法向量為m=（0,0,1）,

3后

/___、m-n121

coscm,n)=―-——=---,+=cos60=—

|利利r27:22

lx4+------不

V4(1+4

3732

1+212

萬，解得幾=亍

,4272*23

lx4+------5

(1+4)2

，存在滿足題設的點M,此時竺^=2.

BC7

22.（12分）

解：（1）由已知，得2c=4,「.。=2,

當|尸耳最小時,即PFFP。，

易知歸目=可尸。|=〃,

??OPOF的面積為二_,.?.疝=5

2

(方法-0易知/==4,...(〃+8)2=4+2^/^,即〃+Z?=V^+l①，

:.(a_bf=4-2A/3,又Z?>a>0,/.b-〃=G—l②，

聯立①，②，解得a=1,b=-