第二章2.2.1直線的點斜式方程學習單元2

直線的方程直線的方程是對平面直角坐標系中直線的代數刻畫.在過兩點的直線斜率公式的基礎上,建立了直線的點斜式方程,把點斜式方程中的點特殊化,又建立了直線的斜截式方程;對于點斜式方程中的斜率進行變式,構建了直線的兩點式方程,而對于兩點式方程中的兩點特殊化,建立了直線的截距式方程.這些方程都有著很明顯的幾何特征.對于這些直線方程從方程的代數本質上分析,得到直線的一般式方程,理解直線的方程的內涵.這是本學習單元的知識明線.具體知識結構如下圖所示:在知識明線的學習過程中,逐步積累幾何問題轉化為代數問題的基本經驗,體會一般到特殊、具體到抽象的思想方法,進一步感悟解析幾何“四步曲”大觀念的應用.學習目標1.掌握直線的點斜式方程和斜截式方程,并會用它們求直線的方程.(直觀想象)2.了解直線的斜截式方程與一次函數的關系.(邏輯思維)3.會用直線的點斜式方程與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題.(數學運算)基礎落實·必備知識一遍過知識點1

直線的點斜式方程

名稱幾何要素示意圖方程使用范圍點斜式方程點P(x0,y0)和斜率k

斜率存在的直線y-y0=k(x-x0)名師點睛1.點斜式方程中的點只要在這條直線上,哪一個都可以.2.當直線與x軸平行或重合時,方程可簡寫為y=y0.特別地,x軸的方程是y=0.當直線與y軸平行或重合時,不能應用點斜式方程.此時可將方程寫成x=x0.特別地,y軸的方程是x=0.微思考方程

與y-y0=k(x-x0)一樣嗎?提示

不一樣.后者表示過點(x0,y0)且斜率為k的一條直線,前者是這條直線上挖去了一個點(x0,y0).知識點2

直線的斜截式方程

名稱幾何要素示意圖方程使用范圍斜截式方程斜率k和直線l在y軸上的截距b

斜率存在的直線y=kx+b名師點睛1.直線的斜截式方程是直線的點斜式方程的特殊情況.2.截距是一個實數,它是直線與坐標軸交點的橫坐標或縱坐標,可以為正數、負數和0.當斜率不為0的直線過原點時,它在x軸上的截距和在y軸上的截距都為0.3.由直線的斜截式方程可直接得到直線的斜率和在y軸上的截距,如直線y=2x-1的斜率k=2,在y軸上的截距為-1.微思考一次函數的解析式y=kx+b與直線的斜截式方程y=kx+b有什么不同?提示

一次函數解析式中x的系數k≠0,否則就不是一次函數了;直線的斜截式方程y=kx+b中的k可以為0.知識點3

根據直線的斜截式方程判斷兩直線平行與垂直對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1.微思考對于直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,若k1=k2,則l1∥l2是否正確?為什么?提示

不正確,若k1=k2,兩條直線還有可能重合,要加上b1≠b2,才能保證兩條直線平行.重難探究·能力素養速提升問題1我們知道,給定一個點和一個方向就能確定一條直線.從代數的角度來看,在平面直角坐標系內,給定一個點P0(x0,y0)和斜率k,就能唯一確定一條直線.也就是說,這條直線上任一點的坐標(x,y)與點P0(x0,y0)的坐標和斜率k之間的關系是完全確定的.那么,這一關系如何表示呢?問題2通過點斜式方程,能否看出其幾何特征?問題3若直線的斜率不存在,如何寫出直線方程?問題4根據直線給出的幾何特征“點與方向”的表述,如何寫出直線方程?探究點一直線的點斜式方程【例1】

求滿足下列條件的直線的點斜式方程:(1)過點P(4,-2),傾斜角為150°;(2)過兩點A(1,3),B(2,5).思路分析先求出直線的斜率,再由點斜式寫出方程.規律方法

點斜式方程的求法(1)求直線的點斜式方程,關鍵是求出直線的斜率,所以,已知直線上一點的坐標及直線的斜率或直線上兩點坐標,均可求出直線的方程.(2)斜率不存在時,可直接寫出過點(x0,y0)的直線方程x=x0.探究點二直線的斜截式方程問題5若對于直線點斜式方程中的“點”特殊化,取y軸上的點,直線方程又會是怎樣?問題6直線與y軸交點的縱坐標,在幾何上稱之為什么?與距離有何區別?問題7斜截式方程的幾何特征是什么?根據其幾何特征,如何快速寫出直線方程?【例2】

求滿足下列條件的直線方程:(1)經過點(0,-2),且與直線y=3x-5垂直;(2)與直線y=-2x+3平行,與直線y=4x-2在y軸上的截距相同.思路分析寫出直線的斜率及在y軸上的截距,用斜截式寫出直線方程.解

(1)因為直線y=3x-5的斜率為3,且所求直線與該直線垂直,所以所求直線斜率為-.又所求直線過點(0,-2),由直線方程的斜截式,得y=-x-2.(2)直線y=-2x+3的斜率為-2,直線y=4x-2在y軸上的截距為-2.由題意知,所求直線的斜率為-2,在y軸上的截距也為-2.由直線方程的斜截式,得y=-2x-2.規律方法

求直線的斜截式方程的三種策略

策略一直線的斜截式方程是點斜式方程的特殊形式,其適用前提是直線的斜率存在,只要已知直線的斜率、與y軸的交點,就可以直接用斜截式表示策略二直線的斜截式方程y=kx+b中只有兩個參數,因此要確定直線方程,只需知道參數k,b的值即可策略三利用直線的斜截式求方程務必靈活,如果已知斜率k,那么只需引入截距b;同理,如果已知截距b,那么只需引入斜率k本節要點歸納1.知識清單:(1)直線的點斜式方程;(2)直線的斜截式方程.2.方法歸納:待定系數法、數形結合思想.3.常見誤區:(1)求直線方程時忽視斜率不存在的情況;(2)混淆截距與距離.學以致用·隨堂檢測促達標121.(例1對點題)直線l1的傾斜角為135°,直線l2經過點B(-1,4).求滿足下列條件的直線l2的方程.(1)直線l2∥l1;(2)直線l2⊥l1.

解

(1)由已知直線l1的斜率k1=tan

135°=-1.因為l2∥l1,所以直線l2的斜率k2=k1=-1.又直線l2經過點B(-1,4),代入點斜式方程得y-4=-1×[x-(-1)],即y=-x+3.(2)由已知直線l1的斜率k1=tan

135°=-1.因為l2⊥l1,所以直線l2的斜率k2==1.又直線l2經過點B(-1,4),代入點斜式方程得y-4=1×[x-(-1)],即y=x+5.3122.(例2對點題)已知直線l:y=-x+1,求過點(2,4)與直線l垂直的直線l'的方程.3解

因為直線l:y=-x+1與直線l'垂直,所以設直線l':y=x+m.又直線l'過點(2,4),所以4=2+m,解得m=2,即直線l'的方程為y=x+2.123.(