注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設過定點用（0,2）的直線/與橢圓C：1+尸=1交于不同的兩點「，Q,若原點。在以PQ為直徑的圓的外部，

則直線/的斜率左的取值范圍為（）

—v5

2.已知x>0,a=x,b=x--,C=ln(l+x),貝！］(

2

A.c<b<aB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

3.一艘海輪從A處出發，以每小時24海里的速度沿南偏東40。的方向直線航行，30分鐘后到達5處，在。處有一座

燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70。，在b處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么6,。兩點間的距離

是（）

A.6近海里B.66海里C.80海里D.海里

4.已知拋物線C：/=4x,過焦點尸的直線/與拋物線C交于4,3兩點（A在x軸上方），且滿足|入同=3忸耳,

則直線I的斜率為（）

B.73

C.2D.3

5.某公園新購進3盆錦紫蘇、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，現將這6盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊,

任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共()種

A.96B.120C.48D.72

6.已知函數/Xx)是定義在R上的偶函數，且在(0,+8)上單調遞增，則()

066

A./(-3)</(-log313)</(2)B./(-3)</(2°-)</(-log313)

66

C./(2°-)</(-log313)</(-3)D./(2°-)</(-3)</(-log313)

22

7.已知雙曲線C：3-4=1(“>0,6>0)的左、右兩個焦點分別為月，F2,若存在點P滿足

ab

|尸耳|:|。6耳引=4:6:5,則該雙曲線的離心率為()

55

A.2B.-C.-D.5

23

8.已知函數"X)=a*(a>0,且QW1)在區間［根,2間上的值域為即,2何，貝()

A.B.—C.—或D.一或4

4164

9.洛書，古稱龜書，是陰陽五行術數之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結構是戴九履一,

左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數，四角黑點為陰數.如圖，若從四個陰數和五個陽數中

分別隨機選取1個數，則其和等于11的概率是().

10.已知拋物線y2=4x的焦點為尸，尸為拋物線上一點，A(U),當AB4/周長最小時，P尸所在直線的斜率為()

11.復數z=(2+z)(l+0的共轉復數為()

A.3-3zB.3+3zC.l+3zD.l-3z

12.已知集合A={1,3,J/},B={l,m},若=則()

A.0或/B.。或3C.1或6D.1或3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若函數/(x)=C52T一7/,+第一+1_+0若1)，尤21，+其中〃eN+且牙22,則

尸(1)=.

14.已知盒中有2個紅球，2個黃球，且每種顏色的兩個球均按A,3編號，現從中摸出2個球(除顏色與編號外球

沒有區別)，則恰好同時包含字母4,3的概率為.

15.函數/■(%)="土」的極大值為.

X

16.設平面向量。與匕的夾角為。，且卜+。|=1,卜-0=6,則。的取值范圍為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在四棱柱ABCD—A4GR中，平面ABC。，底面A3。滿足AO〃3C,且

AB=AD^AAl=2,BD=DC=2叵

(I)求證:AB，平面ADD^；

(n)求直線AB與平面片c。所成角的正弦值.

18.(12分)設函數/(x)=|x+a|+1x-a?|(aeR).

(1)當a=l時，求不等式/(x)<5的解集；

(2)若存在ae[-l,0],使得不等式/(x)N人對一切xeR恒成立，求實數〃的取值范圍.

19.(12分)如圖，點C是以A5為直徑的圓。上異于A、3的一點，直角梯形3CDE所在平面與圓。所在平面垂

直，RDEUBC,DCLBC,DE=-BC=2,AC=CD=3.

―2

(1)證明：EO//平面AC。；

(2)求點E到平面至￡)的距離.

20.(12分)設函數/(x)=|x+a|+|x-l|(aeR).

(1)當。=1時，求不等式7(x)24的解集；

(2)若對任意xeR都有/(x)?2,求實數。的取值范圍.

21.(12分)已知圓。：(尤+lf+y2=8上有一動點Q,點。2的坐標為(1,0),四邊形。印”為平行四邊形，線段。出

的垂直平分線交。2尺于點P.

(I)求點P的軌跡C的方程;

(II)過點。2作直線與曲線C交于A8兩點，點K的坐標為(2,1),直線K4,7?與V軸分別交于M,N兩點，求

證：線段的中點為定點，并求出△KMN面積的最大值.

22.(10分)在正三棱柱ABCAiBiCi中，已知AB=l,AAi=2,E,F,G分別是棱AAi,AC和AiCi的中點，以［用,廟，死'}

為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系尸盯z.

(1)求異面直線AC與3E所成角的余弦值;

(2)求二面角F-BCi.C的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

設直線/：y=kx+2,P（%，x）,。（乙，%），由原點。在以PQ為直徑的圓的外部，可得。夕?。。〉0,聯立直線

/與橢圓C方程，結合韋達定理，即可求得答案.

【詳解】

顯然直線x=0不滿足條件，故可設直線/：y=kx+2,

"2

X|y2=1,

尸（七,%），。（%2，%），由,2，得（1+2巧?+8Ax+6=O,

y=kx+2

A=64左2—24（1+2左2）>0,

:?解得k>史或k<-&,

22

8k6

12l+2k2”21+2公

7T

Q<ZPOQ<-,

OPOQ>Q,

OP-OQ=^x2+yty2=\x2+2）（如+2）

（左左（大+）+（）

=1++2x24=61+4"+4=

1+2/1+2左2

.?解得—y[5<k<A/5，

二直線/的斜率上的取值范圍為左e—非，—當［手'石.

故選：D.

【點睛】

本題解題關鍵是掌握橢圓的基礎知識和圓錐曲線與直線交點問題時，通常用直線和圓錐曲線聯立方程組，通過韋達定

理建立起目標的關系式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

2、D

【解析】

/2A2

令/(x)=ln(l+x)-x-5，求/'(對，利用導數判斷函數為單調遞增，從而可得ln(l+x)〉x-土，設

I2J2

g(x)=ln(l+x)-x,利用導數證出g(x)為單調遞減函數，從而證出Vx>0,ln(l+%)<%,即可得到答案.

【詳解】

一

x>0，xx---

2

(2、12

令/"(x)=ln(l+x)—%---,求導尸(x)=-----1+x=——

I2J1+x1+x

Vx>0,ru)>o,故/(X)單調遞增：/(x)>/(0)=0

V2

??.ln(l+x)>x-y

當％>0,設g(x)=ln(l+x)-x,

1—y

=-----1=--<0,

1+X1+X

又g(o)=o.

g(x)=ln(l+%)-%<0,即Vx>0,ln(l+x)<x,

2

故x>ln(l+x)>%--

故選:D

【點睛】

本題考查了作差法比較大小，考查了構造函數法，利用導數判斷式子的大小，屬于中檔題.

3、A

【解析】

先根據給的條件求出三角形A3C的三個內角，再結合A3可求，應用正弦定理即可求解.

【詳解】

由題意可知：ZBAC=70°-40o=30°.ZAC￡>=110°,/.ZACB=110°-65°=45°,

.?.NA3c=180°-30°-45°=105°.又45=24x0.5=12.

北

東

在&ABC中，由正弦定理得------=-------,

sin^5°s加30°

12BC

即也一1，：,BC=60

V2

故選：A.

【點睛】

本題考查正弦定理的實際應用，關鍵是將給的角度、線段長度轉化為三角形的邊角關系，利用正余弦定理求解.屬于中

檔題.

4、B

【解析】

設直線/的方程為x=陽+1代入拋物線方程，利用韋達定理可得%+%=，%%=-4，由|AF|=3忸4可知

AF=所以可得力=-3%代入化簡求得參數，即可求得結果.

【詳解】

設3（%2，%）（%〉。，％〈。）?易知直線/的斜率存在且不為0,設為工，則直線/的方程為x=SV+L

m

與拋物線方程聯立得y2=4（歿+1）,所以%為=-4,%+%=4m.因為4=3忸耳，所以Ab=39，得

%=-3%，所以炙=￡即乂=—拽，另=2百，所以工=^^=8.

33八m%+為

故選:B.

【點睛】

本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理及向量的坐標之間的關系，考查計算能力，屬于中檔題.

5、B

【解析】

間接法求解，兩盆錦紫蘇不相鄰，被另3盆隔開有羯團，扣除郁金香在兩邊有2饋國，即可求出結論.

【詳解】

使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有國種,

然后將3盆錦紫蘇放入到4個位置中有A；種，

根據分步乘法計數原理有團團，扣除郁金香在兩邊,

排2盆虞美人、1盆郁金香有2蜀種，

再將3盆錦紫蘇放入到3個位置中有可，

根據分步計數原理有2M,

所以共有H團-2&A；=120種.

故選:B.

【點睛】

本題考查排列應用問題、分步乘法計數原理，不相鄰問題插空法是解題的關鍵，屬于中檔題.

6、C

【解析】

根據題意,由函數的奇偶性可得/(—3)=/(3),/(-log313)=/(log313),又由2°6<2<log313<log327=3,

結合函數的單調性分析可得答案.

【詳解】

根據題意，函數〃九)是定義在R上的偶函數，則/(—3)=〃3),/(-log313)=/(log313),

有2“<2<log313<log327=3,

又由/(%)在(0,+。)上單調遞增，則有了(2°6)</(—log313)</(—3),故選C.

【點睛】

本題主要考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，注意函數奇偶性的應用，屬于基礎題.

7、B

【解析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關系可求.

【詳解】

,閨閭-5_5/口

\PF2\~\PFt\6-42

【點睛】

本題主要考查雙曲線的定義及離心率，離心率求解時，一般是把已知條件，轉化為a,b,c的關系式.

8,C

【解析】

對“進行分類討論，結合指數函數的單調性及值域求解.

【詳解】

nm

,…,\a'=m「,[a=2m

分析知，m>0.討論：當。>1時，〈，所以d"=2,m=2,所以q=J5；當0<a<l時，\2,

=2m\a"m=m

]iii

所以,%=—,所以a=—.綜上，。=—或。=應，故選C.

241616

【點睛】

本題主要考查指數函數的值域問題，指數函數的值域一般是利用單調性求解，側重考查數學運算和數學抽象的核心素

養.

9、A

【解析】

基本事件總數〃=4x5=20,利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個，由此能求出其和等于11的概率.

【詳解】

解：從四個陰數和五個陽數中分別隨機選取1個數，

基本事件總數,7=4x5=20,

其和等于11包含的基本事件有：(9,2),(3,8),(7,4),(5,6),共4個，

41

其和等于n的概率。=與=1.

故選：A.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題.

10、A

【解析】

本道題繪圖發現三角形周長最小時A,P位于同一水平線上，計算點P的坐標，計算斜率，即可.

【詳解】

結合題意，繪制圖像

要計算三角形PAF周長最小值，即計算PA+PF最小值，結合拋物線性質可知，PF=PN,所以

(\\

PF+PA=PA+PN>AN>AG,故當點P運動到M點處，三角形周長最小，故此時M的坐標為一,1,所以斜

(4)

1-0_4

率為廠=一故選A.

-----1

4

【點睛】

本道題考查了拋物線的基本性質，難度中等.

11、D

【解析】

直接相乘，得1+3"由共軌復數的性質即可得結果

【詳解】

Vz=(2+z)(l+0=1+3/

二其共軌復數為1-3兀

故選：D

【點睛】

熟悉復數的四則運算以及共物復數的性質.

12、B

【解析】

因為AD5=A,所以A,所以〃2=3或根=詬.

若小=3,則4={1,3,6},3={1,3},滿足4。5=4.

若根=?i,解得772=0或m=1.若加=0,則74={1,3,0},6={1,3,0},滿足AD5=A.若加=1,

A={1,3,1},6={1,1}顯然不成立，綜上加=0或加=3,選B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、0

【解析】

先化簡函數/(%)的解析式，在求出了'(%),從而求得了'(1)的值.

【詳解】

由題意，函數/(%)=-cyn+c,yn+1-..-+c;(-iyx2n-l+r+--c^-i)nx3n-l

可化簡為/(x)=/T[G[—C%+Ck—…+C；(—D'k+…+￡；￡]=/-1(1一無尸，

所以/'(x)=(2〃-1)%2,!-2(31-%)"-x2"-1n(l-x)"T=x2n-2(l-x)"T[2n-l-(3n-l)x],

所以廣⑴=0.

故答案為：0.

【點睛】

本題主要考查了二項式定理的應用，以及導數的運算和函數值的求解，其中解答中正確化簡函數的解析式，準確求解

導數是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.

2

14、-

3

【解析】

根據組合數得出所有情況數及兩個球顏色不相同的情況數，讓兩個球顏色不相同的情況數除以總情況數即為所求的概

率.

【詳解】

從袋中任意地同時摸出兩個球共C；種情況，其中有C\C\種情況是兩個球顏色不相同；

9V?9

故其概率是P=TU=—「=7

C463

2

故答案為：—.

3

【點睛】

本題主要考查了求事件概率，解題關鍵是掌握概率的基礎知識和組合數計算公式，考查了分析能力和計算能力，屬于

基礎題.

1

15、—r

e

【解析】

先求函的定義域，再對函數進行求導，再解不等式得單調區間，進而求得極值點，即可求出函數/(X)的極大值.

【詳解】

一、"「/、Inx—1小、

函數/(%)=------，XG(0,+O0),

X

l-(lnx-1)_2-Inx

X2X2

2

令尸(x)=0得，x=e,

.?.當xe(0,e2)時，尸(x)>0,函數/(元)單調遞增；當xe(e2,+oo)時，尸(x)<0,函數/'(》)單調遞減,

,當x=e2時，函數/(x)取到極大值，極大值為/(e2)=絲二1=二.

ee

故答案為：—.

e

【點睛】

本題考查利用導數研究函數的極值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意定義域

優先法則的應用.

16、

【解析】

根據已知條件計算出同2+時=2,結合,+司=1得出利用基本不等式可得出同?網的取值范圍，利用

平面向量的數量積公式可求得cose的取值范圍，進而可得出6的取值范圍.

【詳解】

|a+/?|=1,|?-Z?|=^3,「+W2+/?『+卜_/?『)=2,

由卜+4=1得J+2a.z,+//=1，...。力=一；,

由基本不等式可得2=同2+網222回.網，0<問?網<1,

1

-1<cos0<1,■cosa-_2e-1,--

I+I^FH-H2

Q0W6W",因此，。的取值范圍為—

故答案為：,

【點睛】

本題考查利用向量的模求解平面向量夾角的取值范圍，考查計算能力，屬于中等題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)證明見解析；(II)逅

6

【解析】

(1)證明的，45,根據超2+")2=92得到245dL的)，得到證明.

(II)如圖所示，分別以鉆,AD,例為蒼％z軸建立空間直角坐標系，平面g的法向量n=(1,1,2),AB=(2,0,0),

計算向量夾角得到答案.

【詳解】

(I)相，平面ABC。，AB1平面ABC。，故

AB=AD=2,BD=2。故AB?+32=，故

ADnA4=A,故AB,平面AZ)2A.

(II)如圖所示：分別以AB,AD,A4,為羽％z軸建立空間直角坐標系，

則40,0,0),5(2,0,0),4(2,0,2),C(2,4,0),〃(0,2,2).

/、n-B,C=0f4y_2z=0

設平面BCR的法向量〃=(羽y,z),貝！J1八，即八，

v7

n-B{D}=0[-2x+2y=0

取x=l得到〃=(1,1,2),AB=(2,0,0),設直線A3與平面片。2所成角為。

故sin6=cos(n,AB\I==~^==.

71

、U-\AB\2^/66

【點睛】

本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.

18、(I){x|-2<x<3}.(1!)(-<?,0],

【解析】

(I)a=1時，根據絕對值不等式的定義去掉絕對值,求不等式f(x)<5的解集即可；(II)不等式f(x)>b的解集為R,

等價于f(x)m.n>b,求出/(%)在1,0]的最小值即可.

【詳解】

—2%+1,%<—1

(I)當a=l時，/(x)=|x+l|+|x-2|=<3,-l<x<2

2x-1,x>2

1時，不等式/(尤)45化為一2x+lW5,解得2,即一

—l<x<2時,不等式/(%)W5化為3W5,不等式恒成立，即—1<%<2

工22時,不等式/(九)45化為2》—145,解得xW3,即2WxW3

綜上所述，不等式的解集為{x|-2WxW3}

(II)不等式/(￡)泊的解集為R.?./(力福泊

/(x)=|x+a|+|x_a2_&>|(x+a)-(x_a?-=卜一+2al

,尤)min=M+2a|2人對任意ae[―1,(/|恒成立

,/+24=|(。+1)~-1

二當a=0時，卜24取得最小值為o

實數人的取值范圍是(-8,0]

【點睛】

本題考查了絕對值不等式的解法與應用問題，也考查了函數絕對值三角不等式的應用問題，屬于常規題型.

19、(1)見解析；(2)巫

41

【解析】

(1)取的中點證明。m〃47,近0//。。,則平面。加￡〃平面4°￡),則可證EO//平面AC0.

(2)利用VE_ABD=K-EBD，AC是平面跳刀的高，容易求.5口近=3。后*儀>=3*2*3=3,再求SABD，則點E

到平面ABD的距離可求.

【詳解】

解：(1)如圖：

取6C的中點"，連接OM、ME.

在ABC中，。是AB的中點，〃是的中點，

OM〃^。，^。仁平面后即九加匚平面項。做AC〃平面EMO

在直角梯形BCD石中，DECB,且DE=CM,

二四邊形MCZJE是平行四邊形，EM//CD,同理C￡>〃平面￡200

又CDcAC=C，故平面EMO〃平面ACZ),

又EOu平面EMO,:.EO〃平面ACD.

(2)QAB是圓。的直徑，點C是圓。上異于4、B的一點，

:.AC±BC

又"平面5cDE_1_平面ABC,平面BCDEc平面ABC=5C

」.AC，平面BCDE,

可得AC是三棱錐A-BDE的高線.

在直角梯形BCD石中，SABDE=—DExCD=—x2x3=3.

設E到平面ABD的距離為h,則VE_ABD=VA_EBD,即1S博BD?九=：S^EBD-AC

由已知得AB=5,3。=5,AD=30,

13V41

由余弦定理易知：cosZABD=—,貝!Is=-AB-BDsinZABD=——

解得〃=色匣，即點E到平面海的距離為巫

【點睛】

考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法，是中檔題.

20、(1)(—00,-2]o[2,+co)(2)(-oo,3]

【解析】

(1)|x+l|+|x-l|24利用零點分區間法，去掉絕對值符號分組討論求并集,

(2)/(%)22對％eR恒成立，貝!)>2,

由三角不等式|x+tz|+1x~l|>|x+a-x+11=|tz+1|,得+1|N2求解

【詳解】

解：⑴當a=l時，不等式/(x)24即為|犬+1|+|九T|24,

x<-lf-1<%<1fx>1

可得｛或｛或｛,

[-x-l+l-x>4[x+l+l-x>4[x+l+x-l>4

解得xW-2或或x22,

則原不等式的解集為(-8,-2]u[2,-+W)

(2)若對任意xeR、都有/(%)>2,

即為/(x).？2,

由歸+a|+1x-1閆x+a-x+11=|a+1],當（x+a）（x-1）<0取得等號，

則/（%）"而=|a+l|,由|a+l|N2,可得或。<一3,

則。的取值范圍是（TO,3]工+8）

【點睛】

本題考查含有兩個絕對值符號的不等式解法及利用三角不等式解恒成立問題.（1）含有兩個絕對值符號的不等式常用

解法可用零點分區間法去掉絕對值符號，將其轉化為與之等價的不含絕對值符號的不等式（組）求解（2）利用三角不等

式4?問+同

把不等式恒成立問題轉化為函數最值問題.

21、（I）]+丁=1（"0）；（JI）4.

【解析】

（I）先畫出圖形，結合垂直平分線和平行四邊形性質可得歸。||+怛。2|=|。01|=2行為一定值，2a>2c,故可確

定點P軌跡為橢圓（y/O）,進而求解；

（II）設直線方程為》=%+1,點A8坐標分別為（玉,%）,（%，%），聯立直線與橢圓方程得%+

m+2

%%=々大，分別由點斜式求得直線斜的方程為y-l=7（x-2）,令）=0得%=（"L2）M+1,同理得

m-+2占-2myY-1

%=（二：）￡+1，由"2則結合韋達定理即可求解，而SKMN=gMM-2=MM=2[yM—（—l）],當AM重合

交于（0,1）點時，可求最值；

【詳解】

（I）\PO\+\PO^=\PF\+\PO^=\RO^=\QO\=242,

所以點P的軌跡是一個橢圓，且長軸長2a=20，半焦距C=l，

所以方2=/—02=1,軌跡C的方程為]+y2=。0）.

(II)當直線A5的斜率為0時，與曲線。無交點.

當直線的斜率不為0時，設過點。2的直線方程為工=陽+1,點A8坐標分別為(％,%),(%，%)?

x=my+1,

直線與橢圓方程聯立得＜2消去盯得（蘇+2）y2+2my—1=0.

X2