2024屆天津市河東區高考一模數學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合。={-1,0,1,2,4},4={-1,0,1},8=卜卜=國一1,'€4},則6（4門3）為（）

A.{2}B.{2,4}C.{-1,2,4}D.{1,2,4）

【答案】B

【分析】

解出絕對值方程，得到3={-2,-1,0,1,2},再根據交集和補集的含義即可.

【詳解】令國一1=一1,解得x=0；令忖-1=0,解得x=±l；令忖一1=1,解得x=±2.

則3={-2,—1,0,L2},

則AB={-1,0,1},則令（AcB）={2,4}.

故選：B.

2.命題夕:/+匕2H。，命題不都為0,則P是4的（）

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分又不

必要條件

【答案】A

【分析】

#0=故不都為o,得到答案.

【詳解】故“力不都為o,

故〃是4的充要條件.

故選：A

3.如圖中，圖象對應的函數解析式為（）

A,/eklcos2xe?sin2x

A."AyBn.〃x)=—

c"\sin2x/、e&in2x

C-"x)FD.〃尤)=F-

【答案】D

【分析】

根據函數的奇偶性可排除A,根據有界性可排除C,根據4處的函數值不超過5,可判

斷B.

【詳解】由圖象可知函數關于原點對稱，故為奇函數，

AA

，/、e''cos2x，/、e1"'(cos-2.x)e?cos2x,(、,,,,,m,,

對于A,〃x)=—^――,/(-%)=——a-------=---=f(x),故函數為偶函數，

x+1(-X)+1x+1

不符合，

對于B,

444

°，5718Tl、/5兀。).8兀若.，/人esin8>/3eA/3X2.51.7X39

8e—c—,3K,.-.sin8>sin—=—,sin/(4)=^—>^>--—>^—

'乙3)、乙)3Z4ooo

根據圖象可知，4處的函數值不超過5,故B不符合，

對于C,由于xeR/（無）=緣與顯然不符合，

?X十1-X-1_L

故選：D

4.根據《中華人民共和國道路交通安全法》規定：血液酒精濃度在80mg/100ml（含

80）以上時，屬醉酒駕車，處十五日以下拘留和三個月以上六個月以下暫扣駕駛證，并

處500元以上2000元以下罰款，某地統計了近五年來查處的酒后駕車和醉酒駕車共200

人，如圖，這是對這200人酒后駕車血液中酒精含量進行檢測所得結果的頻率分布直方

A.在酒后駕車的駕駛人中醉酒駕車比例不高因此危害不大

B.在頻率分布直方圖中每個柱的高度代表區間內人數的頻率

C.根據頻率分布直方圖可知200人中醉酒駕車的約有30人

試卷第2頁，共17頁

D.這200人酒后駕車血液中酒精含量的平均值約為60mg/100ml

【答案】C

【分析】

利用頻率分布直方圖的實際意義，對各選項逐一分析判斷即可得解.

【詳解】對于A,不管酒駕的比例高不高，其危害都大，故A錯誤；

對于B,在頻率分布直方圖中，每個柱的高度代表區間內的頻率/組距這一數值，故B

錯誤；

對于C,血液酒精濃度在80mg/100ml（含80）以上時，屬醉酒駕車，

所以這200人中醉酒駕車的約有（0.01+0.005）x10x200=30,故C正確；

對于D,這200人酒后駕車血液中酒精含量的平均值約為

0.15x25+0.2x35+0.2x45+0.15x55+0.1x65+0.05x75+0.1x85+0.05x95=51.5

mg/100ml,故D錯誤.

故選：C.

5.設。=20,8=log23,c=log有3,則4c的大小關系為（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.a<b<c

【答案】A

【分析】

根據對數的單調性以及指數的單調性即可利用中間值求解.

【詳解】。=2招>2i=2/=log23<log24=2,c=log"3=2,

故b<c<a,

故選：A

6.已知等軸雙曲線的漸近線與拋物線丁=2/（°>0）的準線交于4,8兩點，拋物線焦

點為尸，A4FB的面積為4,則的反長度為（）

A.2B.&C.2A/2D.犧

【答案】D

【分析】

根據雙曲線與拋物線的幾何性質，聯立方程組，求得A,8的坐標，結合題意，列出方程

求得尸=20,進而求得AF長度，得到答案.

【詳解】由題意，等軸雙曲線的漸近線方程為l=±乙拋物線y2=2px的準線方程為

x=_p_

2，

聯立方程組「一一5,解得>=-],可得同理可得孑

J=X一""

因為△AFB的面積為4,Br^S=||AB||MF|=1xpxjp=4,解得p=20,

則14尸|=y]\AM[+\MF[=M.

故選：D.

A.7'（尤）的最小正周期為兀B.層,。）是“X）的對稱中心

C.當xe0,y時，的最小值為0D.當xegg卜寸，/（尤）單調遞增

【答案】B

【分析】

利用正切函數的最小正周期的計算方法判斷A,利用對稱中心的計算方法判斷B,舉反

例判斷C,D即可.

【詳解】對于A,易知T=',則/⑺的最小正周期為爭故A錯誤，

jrKTY.11TT

對于B,易知2%H—=—,kETJJ角犁得犬=—防i—兀，左eZ,當％=1時，x——,

324612

此時對稱中心為故B正確，

對于c,當戶”寸，〃x）=r§,故/⑺的最小值不為o,故c錯誤，

對于D,易知H=0,70<°，故當xe與gJ時，“X）并非單調遞增，故D

錯誤.

故選：B

8.尻殿（圖1）是古代傳統建筑中的一種屋頂形式.宋稱為“五脊殿”、“吳殿”，尻殿建

試卷第4頁，共17頁

筑是房屋建筑中等級最高的一種建筑形式，多用作宮殿、壇廟、重要門樓等高級建筑上.

學生小明在參觀文廟時發現了這一建筑形式，將其抽象為幾何體ABCDEF,如圖2,其

中底面ABCD為矩形，EF//AB,AE=DE=CF=BF=4y/3,EF=AD=-AB=8,則該

2

幾何體的體積為（）

【答案】D

【分析】

根據等腰梯形以及等腰三角形的性質，利用勾股定理求解長度，利用體積公式求出一個

棱柱與兩個棱錐的體積，可得該幾何體的體積，

【詳解】

因為EF〃/IB,AB//DC,所以EF〃OC,

由AE=OE=C尸=2尸=4g,斯=AD=，AB=8,

2

得四邊形ME,四邊形。CEE均為等腰梯形，

AKNGB

過E作EK_LAB于K,作RW_LZ?C于M,連接

過尸作尸G人AB于G,作于H,連接GH,

所以EF//KG//MH,EF=KG=MH=8,AK=GB=DM=HC=4,

因為AB//OC,FHLDC,所以

又AB，GF,GF,我在平面內，GFFH=F,

所以AB上平面打汨，同理，AB人平面EKM,所以平面FGH〃平面,

所以該幾何體被分為一個棱柱與兩個棱錐.

分別取AD,2C的中點P,Q,連接尸。，EP,

AE=DE=BF=CF=4y/3,所以即_LAT>,FQLBC,

所以FQ=（FBa-B。'=-平=4夜,

FG=>JFB2-BG2=7（4A/3）2-42=4及，

連接尸Q,交GH于T,則T為GH的中點，連接尸T,

因為A51平面FGV,FT在平面PG4內，所以尸T_LAB,

因為GF=FH=EK=EM,所以口_LG",

又A3,G”在平面A3CD內，ABf、GH=G,所以FT_L平面ABC。，

所以FT=jF^_QT2=｛（4揚2_42=4,

1128

所以%棱錐-EA版=%棱錐-FGBCH=-x8x4x4=,

因為S-GH=|GHFT=1x8x4=16,

所以修蛆嫉-回=SRH?GK=16x8=128,

所以該幾何體的體積為%棱BE-AKW+%棱BF-GBCH+V三棱柱FGH-EKM=2'不~+128=亍,

故選：D

P^X_i_1

9.已知偶函數/（x）=ln則下列結論中正確的個數為（）

①4=1；②"X）在（0,+8）上是單調函數；

③“X）的最小值為ln2；④方程“X）=!有兩個不相等的實數根

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

由偶函數的性質分析求出。=1,根據復合函數的單調性，即可判斷①，結合導數判斷函

數單調性即可判斷②，根據函數的單調性即可求解最值判斷③，根據函數的最值即可判

斷④.

【詳解】

函數"x）=ln\9是偶函數，

試卷第6頁，共17頁

_2x?i/+1=（片2工+*"/lx.1

即￡_+1e+1n/2一a）x_ax

口—/c-c=>2—〃=々，

e-e—ore—axe,/lx

a=l,①正確；

則〃x)=lnB『=ln(e'+eT),

設f=e'+,，由于/=e*-e->0,易知?力在(。,內)上單調遞增，則打力>?0)=0,

所以在(0,+s)上為增函數，

而y=lnf為(0,+勾增函數，則"X)在(0,+s)上是單調函數，②正確；

t=ex+e-'=e%+^->2,當且僅當x=0時，等號成立，

e

則Ax)的最小值為ln2,③正確；

“X)為偶函數且在(0,+oo)上為增函數，其最小值為/(0)=ln2,

由于2>1，所以缶2>；,故方程/(x)=；沒有實數根；④錯誤.

故選：C.

二、填空題

10.i是復數單位，化簡等?的結果為

3+21

【答案】5-6i

【分析】

根據復數的除法運算即可求解.

27-8i（27-8i）（3-2i）81-54i-24i-1665-78i

【詳解】=5-6i

3+2i―（3+2i）（3-2i）-1313

故答案為：5-6i

11.在［x-g)的二項展開式中，常數項是?(用數字作答)

【答案】-2.5

【分析】

求出［無一的二項展開式的通式即可求解?

【詳解】因為的二項展開式的通式為(包

令6—2左=0,所以4=3,所以常數項是［一=-2.5.

故答案為：-2.5.

12.已知過點尸(4,-3)的直線(不過原點)與圓C:d+(y+5)2=。相切，且在x軸、>

軸上的截距相等，則。的值為.

【答案】18

【分析】

確定直線的方程，根據直線和圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，列式求解，即得

答案.

【詳解】由題意知過點「(4,-3)的直線(不過原點)在x軸、了軸上的截距相等，

設該直線方程為尤+y=6,將尸(4,-3)代入得6=1,即直線方程為x+y=l,

由于該直線與C：d+(y+5)2=a,(a>0)相切，圓心為。-5),半徑為右，

左攵?=—7a,..a—1o,

J2

故答案為：18

13.某地區人群中各種血型的人所占比例如表1所示，已知同種血型的人可以輸血，O

型血可以輸給任何一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型

的人不能互相輸血，小明是B型血，因病需要輸血，任找一個人，其血可以輸給小明的

概率為;任找兩個人，則小明有血可以輸的概率為.

血型ABABo

該血型的人占比20%30%10%40%

【答案】0.70.91

【分析】

根據互斥事件的概率加法公式即可求解空1,根據相互獨立事件的概率乘法公式即可求

空2.

【詳解】由于小明是B型血，所以可以血型為O,B的可以給小明輸血，故概率為

30%+40%=0.7,

小明是B型血，兩個人都不可以給小明輸血的概率為(l-0.7)x(l-0.7)=009,

所以任找兩個人，則小明有血可以輸的概率為1-0.09=0.91,

故答案為:0.7；0.91

試卷第8頁，共17頁

14.^a>0,b>0,ab=2,則”學士改的最小值為.

b2+1

【答案】4

【分析】

根據基本不等式即可求解.

2

［詳解］由。>O,b>O,Q力=2=>a=—,

b

2

故a+46+2Z?=9+46+23=2+4/+2Z/=?僅由丫=。￡+1

b2+l-b2+l-即+］)-6伊+1)-b

=2(6+：)22x2舊=4,當且僅當6=1時等號成立，

故最小值為4,

故答案為：4

15.已知wABC,如圖所示，點E為中點，點。滿足A￡)=；A3,記CA=a,CB=b,

用〃力表示ED=；當N3=30°,CD==1時0小=.

r

71

【答案】￡"一/3

3o

【分析】

根據平面向量的線性運算計算即可得ED;利用轉化法求a-b.

-|r\10Q1

【詳解】ED=EB+BD=-CB+-BA=-b+-(a-b\=-a--b,

2323、J36

由題意，△3CD為等腰三角形，則2c=2BE=2x」一=2有，CD=BD=2,

tan30

所以a?。=CA。=(CD+DA)?C5=C5—g5。?3C

=2x2A/3xcos30-；x2x2若xcos30=3.

71

故答案為：；3

3O

三、解答題

16.在三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，"c.已知6=8,3a=7c,

b>a,cosC=——.

14

⑴求角A的大小；

⑵求sin(A+2C)的值;

(3)求邊c的值.

【答案】(1)ZA=60°；

5573；

98

(3)c=3.

【分析】

⑴先求出sinC=^^，故sinA=3,根據大邊對大角，得到A為銳角，求出ZA=60。；

142

(2)由二倍角公式得到sin2C,cos2C,進而利用和角公式求出答案；

(3)由余弦定理求出c=3.

【詳解】⑴因為cosC=￥，sin2C+cos2C=bC?0,兀)，解得sinC=K

1414

由已知3sinA=7sinC,sinA=走，

2

又b>a,故3>A,

故解得NA=60。；

(2)

71

sin2C=2sinCcosC=-------,cos2C=cos9C-sin9C=—,

9898

sin(A+2C)=sinAcos2c+cosAsin2c=§

(3)

由cosA=—1c得

23cosA=

2x8c2

24

整理為5，+9c—72=0,解得c=3或。=—彳(舍).

17.在正方體A3CQ-A與GA中(如圖所示)，邊長為2,連接a。、A3、BD

試卷第10頁，共17頁

⑵求平面AC，與平面\BD夾角的余弦值；

(3)底面正方形ABCD的內切圓上是否存在點P使得PB與平面\BD所成角的正弦值為

若存在求尸2長度，若不存在說明理由.

3

【答案】(1)證明見解析；

⑶存在，3.

【分析】

(1)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量％=(L-LT),結合AG=(-2,2,2),得

到平行關系；

(2)求出平面的法向量，得到二面角的余弦值；

(3)設尸(根,",0),>(m-l)2+(n-l)2^l,BP=(m-2,n-2,0),利用線面角的正弦值得

到方程，求出尸(2,1,0)或P(l,2,0),求出1PAi=3.

【詳解】(1)

以。為原點，DA.DC、。，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系,

則。(0,0,0),4(2,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),4(0,0,2),A(2,0,2).

平面48。的法向量為勺=（x,y,z）,D4,=（2,0,2）,DB=（2,2,0）,

n-D\-0\2x+2z=0

x,令x=l,則%=(l,T-l),AG=(—2,2,2),

riy-DB=0[2x+2y=0

AC】=一2nl,AC】//T\,

：.AG，平面A/。；

(2)

平面ACR的法向量為%=(%,y,z),AC=(—2,2,0),曲=(-2,0,2),

n2-AC=0\-2x+2y=0

,令x=l則%=(1,1,1),

n2-ADX=0[-2x+2z=0

平面ACD,與平面48。夾角為e,

1(1,-1,-1)-(1,1,1)11

cose=kos(〃i，〃2)|=4，n2

Jl+l+lxJl+1+1-3

(3)

設尸＞(m-l)2+(?-l)2=l,BP=(/n-2,n-2,0),

PB與平面48。所成角為巴

弭?BP

sin。=cos(〃],8P

|?1||BPVl+l+lxJ(吁2.+("2jP3

m-n

即^(m-2)2+(n-2)T=1

試卷第12頁，共17頁

解得［：］：或故P（2」，。）或尸（120）,

所以也\=j4+l+4=3.

18.已知橢圓C，+/l（a>b>0）的離心率為*點M（0,3）到橢圓右焦點距離等

于焦距.

（1）求橢圓標準方程；

⑵過點M斜率為％的直線/與橢圓交于A8兩點，且與x軸交于點N,線段A3的垂直

7

平分線與x軸，y軸分別交于點尸，點0S△尸O2=%S^MON，O為坐標原點，求左的值.

【答案】⑴C:二+丁=1；

4

⑵女=土巫.

2

【分析】（1）根據兩點距離和離心率求解GJ即可求解橢圓方程;

（2）設方程，與橢圓聯立，韋達定理，求出中垂線方程，進而求得點P,Q,N的坐

標，利用面積關系列式求解即可.

【詳解】（1）由已知77前=2c，解得c=石，又e=￡=立，所以。=2,

a2

由〃=〃2一，，所以〃=1,所以橢圓方程為C：￡+y2=l；

4

（2）設A,B所在直線方程為丁=履+3,4（%,%）,3（%2，%），

y=kx+3

聯立，Y,得（4r+1）龍？+24辰+32=0,

彳+V=1

得到百+%=^^,A=（24%y-4x32（4/+l）>0,所以公>2,

-12k33

記AB的中點為0,則。，所以中垂線y-亦1

4k2+f4k2+l?1仁卜一瑞］

j.-9k-9181網

所以P備。,所以SPO22'4/+1,43+15（4/+1廣

又N*,1-391

貝”…/37=5'

9k2=（，解為/=：或廿=A（舍），解得太=士理.

因為SPO250?MON，所以（4^

19.設｛%｝是等差數列，也｝是各項均為正數的等比數列，2%=2,-1,%=7,4=24,

b3+b5=40.

⑴求數列｛%｝與也｝的通項公式；

⑵數列｛%｝，也｝的前“項和分別為S",。；

(i)證明t言」＜1;

i=lW

2n___

(ii)求￡(-1)工卮

Z=1

【答案】⑴

41

(2)(i)證明見解析；(ii)--+-(6n+l)4,1+1-2?

【分析】

(1)設等差數列｛4｝的公差為d,等比數列｛%｝的公比為虱4＞。)，根據題意，列出方

程求得知d應的值，即可求解；

4+12n+l11

(2)(i)由(1)求得下三一二F一方=；7-7一干，結合裂項法求和，即可得證；

W+in(n+1)H(H+1)

(ii)由(1)求得(-1廣Z,T厄二+(T)2"凡凡=(2"+1)22"-2,結合錯位相減

法求和，即可求解.

【詳解】(1)

試卷第14頁，共17頁

解：設等差數列｛“〃｝的公差為d,等比數列｛〃｝的公比為4①>0),

nx

則q二%+(九一1"，bn=b｛q~,

因為1,可得2烏+2d(〃—1)=4+d(2〃—1)—1,解得q=d—1,

又因為4=〃i+3d=7,可得ai=l,d=2,

｛b,=2〃i=2

又由4=2/且4+仇=40,可得,2；4，八，解得4=2(負值舍去)，

\bxq+bxq=4。

所以%=214=2〃.

(2)

(i)證明：由%=2〃一1,可得s,="(?+&)=1,

2

a,.2〃+111

所以一=2(工if=不一([\2，

W+1n(n+1)n(n+1)

貝！JZ=(1—-7)+(-T-！)++[-T---------7]=1---------T<1.

，"￡SjSj+i222232n25+1)25+1)2

(ii)解：由d=2",可得空=2-(1-2")=2用_2,

"1-2

則(T)2"Z“TAK7+(T)2"耳后

=-Q2"-2)(2“一1)+(2?同一2)2〃=(2“+1)22"-2,

B7^4=3x41+5x42+---+(2/i-l)x4,1'1+(2n+l)x4n,

則44=3x42+5x43+…+(2”-1)義4"+(2〃+1)x4‘用，

兩式相減得一34=12+2(4?+舉+…+4")-(2”+1卜4角，

=12+2?‘(1一4"|)(2〃+I)X4向=1-|(6/1+1)-4"+1,

A12〃A1

所以4=y+：(6〃+l)4”l即2(-1)76=-4+3(6〃+1)4角一2〃

yyz=l

【點睛】

關鍵點點睛：本題第2問(ii)解決的關鍵是，通過觀察計算發現

(T)2"Z-醫：+(-i)2n&67的結果滿足錯位相減法的要求,從而得解.

20.已知函數=5-lnx,g(x)=%-hix-l.

⑴求函數“X)在點(1,〃1))處的切線方程；

⑵求函數g(x)的最小值；

(3)函數月(%)=/(%)-儂(%)(加>2),尸⑴=尸("(〃工1),證明:

n],(m-l)lnr>x-l.

【答案】(l)y=g；

(2)0；

(3)證明見解析.

【分析】

(1)根據導數的幾何意義，求得了'(1)，/。)，即可求得切線方程;

(2)利用導數判斷g(x)的單調性，即可求得函數最小值；

(3)由F(l)=F(n]，求得“與機的關系；對目標不等式分離參數，構造函數G(x)=受

Inx

求得其最大值；再結合〃，相關系，即可證明.