2021-2022學年江蘇省南通市長江中學中考沖刺卷數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1．一個布袋內只裝有1個黑球和2個白球,這些球除顏色不同外其余都相同,隨機摸出一個球后放回攪勻,再隨機摸出一個球,則兩次摸出的球都是黑球的概率是()A． B． C． D．2．在一個不透明的袋中裝有10個只有顏色不同的球，其中5個紅球、3個黃球和2個白球．從袋中任意摸出一個球，是白球的概率為（

）A． B． C． D．3．下列各數中，最小的數是（）A．0 B． C． D．4．把不等式組的解集表示在數軸上，正確的是()A． B．C． D．5．如圖是幾何體的俯視圖，所表示數字為該位置小正方體的個數，則該幾何體的正視圖是（）A． B． C． D．6．在2016年泉州市初中體育中考中，隨意抽取某校5位同學一分鐘跳繩的次數分別為：158，160，154，158，170，則由這組數據得到的結論錯誤的是（）A．平均數為160 B．中位數為158 C．眾數為158 D．方差為20.37．如果，那么的值為（）A．1 B．2 C． D．8．下列各類數中，與數軸上的點存在一一對應關系的是（）A．有理數B．實數C．分數D．整數9．如圖，數軸A、B上兩點分別對應實數a、b，則下列結論正確的是()A．a＋b>0 B．ab>0 C．1a+10．下列方程有實數根的是（）A． B．C．x+2x?1=0 D．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11．如圖，已知直線y=x+4與雙曲線y=（x＜0）相交于A、B兩點，與x軸、y軸分別相交于D、C兩點，若AB=2，則k=_____．12．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步驟作圖：①以A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB、AC于點M、N；②分別以點M、N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點E；③作射線AE；④以同樣的方法作射線BF，AE交BF于點O，連接OC，則OC＝________.13．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分線DE交AC于點D，連接BD,則∠ABD=___________°．14．圓錐的底面半徑為4cm，高為5cm，則它的表面積為______cm1．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是_________．16．如圖，小明想用圖中所示的扇形紙片圍成一個圓錐，已知扇形的半徑為5cm，弧長是cm，那么圍成的圓錐的高度是cm．17．一組“數值轉換機”按下面的程序計算，如果輸入的數是36，則輸出的結果為106，要使輸出的結果為127，則輸入的最小正整數是__________．三、解答題（共7小題，滿分69分）18．（10分）為評估九年級學生的體育成績情況，某校九年級500名學生全部參加了“中考體育模擬考試”，隨機抽取了部分學生的測試成績作為樣本，并繪制出如下兩幅不完整的統計表和頻數分布直方圖：成績x分人數頻率25≤x＜3040.0830≤x＜3580.1635≤x＜40a0.3240≤x＜45bc45≤x＜50100.2（1）求此次抽查了多少名學生的成績；（2）通過計算將頻數分布直方圖補充完整；（3）若測試成績不低于40分為優秀，請估計本次測試九年級學生中成績優秀的人數．19．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，圓M經過原點O，直線與x軸、y軸分別相交于A，B兩點．（1）求出A，B兩點的坐標；（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經過點M，頂點C在圓M上，開口向下，且經過點B，求此拋物線的函數解析式；（3）設（2）中的拋物線交軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高（1）△ACD與△ABC相似嗎？為什么？（2）AC2＝AB?AD成立嗎？為什么？21．（10分）有甲、乙兩個不透明的布袋，甲袋中有兩個完全相同的小球，分別標有數字1和－1；乙袋中有三個完全相同的小球，分別標有數字－1、0和1．小麗先從甲袋中隨機取出一個小球，記錄下小球上的數字為x；再從乙袋中隨機取出一個小球，記錄下小球上的數字為y，設點P的坐標為（x，y）．（1）請用表格或樹狀圖列出點P所有可能的坐標；（1）求點P在一次函數y＝x＋1圖象上的概率．22．（10分）閱讀下列材料：題目：如圖，在△ABC中，已知∠A（∠A＜45°），∠C=90°，AB=1，請用sinA、cosA表示sin2A．23．（12分）某公司今年1月份的生產成本是400萬元，由于改進技術，生產成本逐月下降，3月份的生產成本是361萬元．假設該公司2、3、4月每個月生產成本的下降率都相同．求每個月生產成本的下降率；請你預測4月份該公司的生產成本．24．（14分）【發現證明】如圖1，點E，F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，試判斷BE，EF，FD之間的數量關系．小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，通過證明△AEF≌△AGF；從而發現并證明了EF=BE+FD．【類比引申】（1）如圖2，點E、F分別在正方形ABCD的邊CB、CD的延長線上，∠EAF=45°，連接EF，請根據小聰的發現給你的啟示寫出EF、BE、DF之間的數量關系，并證明；【聯想拓展】（2）如圖3，如圖，∠BAC=90°，AB=AC，點E、F在邊BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的長．

參考答案一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）1、D【解析】試題分析：列表如下

黑

白1

白2

黑

（黑，黑）

（白1，黑）

（白2，黑）

白1

（黑，白1）

（白1，白1）

（白2，白1）

白2

（黑，白2）

（白1，白2）

（白2，白2）

由表格可知，隨機摸出一個球后放回攪勻，再隨機摸出一個球所以的結果有9種，兩次摸出的球都是黑球的結果有1種，所以兩次摸出的球都是黑球的概率是．故答案選D．考點：用列表法求概率．2、D【解析】

一個不透明的袋中裝有10個只有顏色不同的球，其中5個紅球、3個黃球和2個白球．從袋中任意摸出一個球，共有10種等可能的結果，其中摸出白球的所有等可能結果共有2種，根據概率公式即可得出答案.【詳解】根據題意：從袋中任意摸出一個球，是白球的概率為==.故答案為D【點睛】此題主要考查了概率的求法，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=.3、D【解析】

根據實數大小比較法則判斷即可．【詳解】＜0＜1＜，故選D．【點睛】本題考查了實數的大小比較的應用，掌握正數都大于0，負數都小于0，兩個負數比較大小，其絕對值大的反而小是解題的關鍵．4、A【解析】

分別求出各個不等式的解集，再求出這些解集的公共部分并在數軸上表示出來即可．【詳解】由①，得x≥2，

由②，得x＜1，

所以不等式組的解集是：2≤x＜1．

不等式組的解集在數軸上表示為：

．

故選A．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．5、B【解析】

根據俯視圖中每列正方形的個數，再畫出從正面看得到的圖形即可．【詳解】解：主視圖，如圖所示：．故選B．【點睛】本題考查由三視圖判斷幾何體；簡單組合體的三視圖．用到的知識點為：主視圖是從物體的正面看得到的圖形；看到的正方體的個數為該方向最多的正方體的個數．6、D【解析】解：A．平均數為（158+160+154+158+170）÷5=160，正確，故本選項不符合題意；B．按照從小到大的順序排列為154，158，158，160，170，位于中間位置的數為158，故中位數為158，正確，故本選項不符合題意；C．數據158出現了2次，次數最多，故眾數為158，正確，故本選項不符合題意；D．這組數據的方差是S2=[（154﹣160）2+2×（158﹣160）2+（160﹣160）2+（170﹣160）2]=28.8，錯誤，故本選項符合題意．故選D．點睛：本題考查了眾數、平均數、中位數及方差，解題的關鍵是掌握它們的定義，難度不大．7、D【解析】

先對原分式進行化簡，再尋找化簡結果與已知之間的關系即可得出答案．【詳解】故選：D．【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，掌握分式的基本性質是解題的關鍵．8、B【解析】

根據實數與數軸上的點存在一一對應關系解答．【詳解】實數與數軸上的點存在一一對應關系，故選：B．【點睛】本題考查了實數與數軸上點的關系，每一個實數都可以用數軸上唯一的點來表示，反過來，數軸上的每個點都表示一個唯一的實數，也就是說實數與數軸上的點一一對應.9、C【解析】

本題要先觀察a，b在數軸上的位置，得b＜-1＜0＜a＜1，然后對四個選項逐一分析．【詳解】A、因為b＜-1＜0＜a＜1，所以|b|＞|a|，所以a+b＜0，故選項A錯誤；B、因為b＜0＜a，所以ab＜0，故選項B錯誤；C、因為b＜-1＜0＜a＜1，所以1a+1D、因為b＜-1＜0＜a＜1，所以1a-1故選C．【點睛】本題考查了實數與數軸的對應關系，數軸上右邊的數總是大于左邊的數．10、C【解析】分析：根據方程解的定義，一一判斷即可解決問題；詳解：A．∵x4＞0，∴x4+2=0無解；故本選項不符合題意；B．∵≥0，∴=﹣1無解，故本選項不符合題意；C．∵x2+2x﹣1=0，△=8=4=12＞0，方程有實數根，故本選項符合題意；D．解分式方程=，可得x=1，經檢驗x=1是分式方程的增根，故本選項不符合題意．故選C．點睛：本題考查了無理方程、根的判別式、高次方程、分式方程等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）11、-3【解析】設A(a，a+4)，B(c，c+4)，則解得：x+4=，即x2+4x?k=0，∵直線y=x+4與雙曲線y=相交于A、B兩點，∴a+c=?4，ac=-k，∴(c?a)2=(c+a)2?4ac=16+4k，∵AB=，∴由勾股定理得：(c?a)2+[c+4?(a+4)]2=()2，2(c?a)2=8，(c?a)2=4，∴16+4k=4，解得：k=?3，故答案為?3.點睛：本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題、根與系數的關系、勾股定理、圖象上點的坐標特征等，題目具有一定的代表性，綜合性強，有一定難度.12、．【解析】

直接利用勾股定理的逆定理結合三角形內心的性質進而得出答案．【詳解】過點O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分別為D，G，由題意可得：O是△ACB的內心，∵AB=5，AC=4，BC=3，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴四邊形OGCD是正方形，∴DO=OG==1，∴CO=．故答案為．【點睛】此題主要考查了基本作圖以及三角形的內心，正確得出OD的長是解題關鍵．13、1【解析】∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，

∴∠A=∠C=1°，

∵AB的垂直平分線DE交AC于點D，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=1°；

故答案是1．14、【解析】

利用勾股定理求得圓錐的母線長,則圓錐表面積=底面積+側面積=π×底面半徑的平方+底面周長×母線長÷1.【詳解】底面半徑為4cm,則底面周長=8πcm,底面面積=16πcm1;由勾股定理得,母線長=,圓錐的側面面積,∴它的表面積=(16π+4)cm1=cm1,故答案為:.【點睛】本題考查了有關扇形和圓錐的相關計算.解題思路:解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系:(1)圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑;(1)圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長.正確對這兩個關系的記憶是解題的關鍵.15、．【解析】

延長FP交AB于M，當FP⊥AB時，點P到AB的距離最小．運用勾股定理求解.【詳解】解:如圖，延長FP交AB于M，當FP⊥AB時，點P到AB的距離最小．∵AC=6，CF=1，∴AF=AC-CF=4，∵∠A=60°，∠AMF=90°，∴∠AFM=30°，∴AM=AF=1，∴FM==1，∵FP=FC=1，∴PM=MF-PF=1-1，∴點P到邊AB距離的最小值是1-1．故答案為:1-1．【點睛】本題考查了翻折變換，涉及到的知識點有直角三角形兩銳角互余、勾股定理等，解題的關鍵是確定出點P的位置.16、4【解析】

已知弧長即已知圍成的圓錐的底面半徑的長是6πcm，這樣就求出底面圓的半徑．扇形的半徑為5cm就是圓錐的母線長是5cm．就可以根據勾股定理求出圓錐的高．【詳解】設底面圓的半徑是r，則2πr=6π，∴r=3cm，∴圓錐的高==4cm．故答案為4.17、15【解析】

分析：設輸出結果為y，觀察圖形我們可以得出x和y的關系式為：，將y的值代入即可求得x的值．詳解：∵當y=127時，解得：x=43；當y=43時，解得：x=15；當y=15時,解得不符合條件．則輸入的最小正整數是15.故答案為15.點睛：考查一元一次方程的應用，熟練掌握一元一次方程的應用是解題的關鍵.三、解答題（共7小題，滿分69分）18、（1）50；（2）詳見解析；（3）220.【解析】

(1)利用1組的人數除以1組的頻率可求此次抽查了多少名學生的成績;(2)根據總數乘以3組的頻率可求a,用50減去其它各組的頻數即可求得b的值,再用1減去其它各組的頻率即可求得c的值,即可把頻數分布直方圖補充完整;(3)先得到成績優秀的頻率,再乘以500即可求解.【詳解】解：（1）4÷0.08=50（名）．答：此次抽查了50名學生的成績；（2）a=50×0.32=16（名），b=50﹣4﹣8﹣16﹣10=12（名），c=1﹣0.08﹣0.16﹣0.32﹣0.2=0.24，如圖所示：（3）500×（0.24+0.2）=500×0.44=220（名）．答：本次測試九年級學生中成績優秀的人數是220名．【點睛】本題主要考查數據的收集、處理以及統計圖表。19、（1）A（﹣8，0），B（0，﹣6）;（2）；（3）存在．P點坐標為（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）時，使得．【解析】分析：（1）令已知的直線的解析式中x=0，可求出B點坐標，令y=0，可求出A點坐標；（2）根據A、B的坐標易得到M點坐標，若拋物線的頂點C在⊙M上，那么C點必為拋物線對稱軸與⊙O的交點；根據A、B的坐標可求出AB的長，進而可得到⊙M的半徑及C點的坐標，再用待定系數法求解即可；（3）在（2）中已經求得了C點坐標，即可得到AC、BC的長；由圓周角定理:∠ACB=90°，所以此題可根據兩直角三角形的對應直角邊的不同來求出不同的P點坐標．本題解析：（1）對于直線，當時，；當時，所以A（﹣8，0），B（0，﹣6）；（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB為⊙M的直徑，∴點M為AB的中點，M（﹣4，﹣3），∵MC∥y軸，MC=5，∴C（﹣4，2），設拋物線的解析式為y=a(x+4)2+2，把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=，∴拋物線的解析式為，即；（3）存在．當y=0時，，解得x，=﹣2，x，=﹣6，∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），，設P（t，-6），∵∴=20，即||=1，當=-1，解得，，此時P點坐標為（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）；當時，解得=﹣4+，=﹣4﹣；此時P點坐標為（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）．綜上所述，P點坐標為（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）時，使得．點睛：本題考查了二次函數的綜合應用及頂點式求二次函數的解析式和一元二次方程的解法，本題的綜合性較強，注意分類討論的思想應用.20、（1）△ACD與△ABC相似；（2）AC2＝AB?AD成立.【解析】

（1）求出∠ADC＝∠ACB＝90°，根據相似三角形的判定推出即可；（2）根據相似三角形的性質得出比例式，再進行變形即可．【詳解】解：（1）△ACD與△ABC相似，理由是：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽∠ABC；（2）AC2＝AB?AD成立，理由是：∵△ACD∽∠ABC，∴＝，∴AC2＝AB?AD．【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，能根據相似三角形的判定定理推出△ACD∽△ABC是解此題的關鍵．21、（1）見解析；（1）13【解析】試題分析：（1）畫出樹狀圖（或列表），根據樹狀圖（或表格）列出點P所有可能的坐標即可；（1）根據（1）的所有結果，計算出這些結果中點P在一次函數圖像上的個數，即可求得點P在一次函數圖像上的概率.試題解析：（1）畫樹狀圖：或列表如下：∴點P所有可能的坐標為（1，-1），（1,0）（1,1）（-1，-1），（-1,0）（-1,1）.∵只有（1,1）與（-1，-1）這兩個點在一次函數圖像上，∴P（點P在一次函數圖像上）=.考點：用（樹狀圖或列表法）求概率.22、sin2A=2cosAsinA【解析】

先作出直角三角形的斜邊的中線，進而求出，∠CED=2∠A，最后用三角函數的定義即可得出結論【詳解】解：如圖，作Rt△ABC的斜邊AB上的中線CE，則∴∠CED=2∠A，過點C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，CD=ACsinA，在Rt△ABC中，AC=ABcosA=cosA在Rt△CED中，sin2A=sin∠CED==2ACsinA=2cosAsinA【點睛】此題主要解直角三角形，銳角三角函數的定義，直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半，構造出直角三角形和∠CED=2∠A是解本題的關鍵．23、（1）每個月生產成本的下降率為5%；（2）預測4月份該公司的生產成本為342.95萬元．【解析】

（1）設每個月生產成本的下降率為x，根據2月份、3月份的生產成本，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論；（2）由4月份該公司的生產成本=3月份該公司的生產成本×（1﹣下降率），即可得出結論．【詳解】（1）設每個月生產成本的下降率為x，根據題意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合題意，舍去）．答：每個月生產成本的下降率為5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（萬元），