河北省張家口市2023-2024學年高三下學期5月適應性訓練數學試題注意事項：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。2．答題前，考生務必將姓名、考生號等個人信息填寫在答題卡指定位置。3．考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答。超出答題區域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若z=1+i，則|z2–2z|=（

）A．0 B．1 C． D．23．在△中，為邊上的中線，為的中點，則A． B．C． D．4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（

）A． B． C． D．5．設是定義域為的偶函數，且在單調遞減，則A．B．C．D．6．已知，函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知數列是等差數列，數列是等比數列，若，則（

）A．2 B． C． D．8．已知F1，F2分別是雙曲線C：的左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知直線與圓，點，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切10．如圖，點是函數的圖象與直線相鄰的三個交點，且，則（

）A．B．C．函數在上單調遞減D．若將函數的圖象沿軸平移個單位，得到一個偶函數的圖像，則的最小值為11．如圖所示，有一個棱長為4的正四面體容器，是的中點，是上的動點，則下列說法正確的是（

）

A．直線與所成的角為B．的周長最小值為C．如果在這個容器中放入1個小球（全部進入），則小球半徑的最大值為D．如果在這個容器中放入4個完全相同的小球（全部進入），則小球半徑的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．有位大學生要分配到三個單位實習，每位學生只能到一個單位實習，每個單位至少要接收一位學生實習，已知這位學生中的甲同學分配在單位實習，則這位學生實習的不同分配方案有種．（用數字作答）13．已知函數，，則．14．底邊和腰長之比為的等腰三角形被稱為“黃金三角形”，四個面都為“黃金三角形”的四面體被稱為“黃金四面體”.“黃金四面體”的外接球與內切球表面積之比為.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求證：.(2)求的取值范圍.16．甲、乙兩人進行投籃比賽，分輪次進行，每輪比賽甲、乙各投籃一次．比賽規定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．當甲、乙兩人累計得分的差值大于或等于4分時，就停止比賽，分數多的獲勝：4輪比賽后，若甲、乙兩人累計得分的差值小于4分也停止比賽，分數多的獲勝，分數相同則平局、甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.5和0.6，且互不影響．一輪比賽中甲的得分記為X．(1)求X的分布列；(2)求甲、乙兩人最終平局的概率；(3)記甲、乙一共進行了Y輪比賽，求Y的分布列及期望．17．如圖，四棱錐中，是等邊三角形，，．(1)證明：；(2)若，，求點A到平面的距離．18．已知數列的前項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)設，數列前項和為，求證：．19．已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比為常數．其中，且，記點的軌跡為曲線．(1)求的方程，并說明軌跡的形狀；(2)設點，若曲線上兩動點均在軸上方，，且與相交于點．①當時，求證：的值及的周長均為定值；②當時，記的面積為，其內切圓半徑為，試探究是否存在常數，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請說明理由．參考答案：1．C【分析】分析可得，由此可得出結論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.2．D【分析】由題意首先求得的值，然后計算其模即可.【詳解】由題意可得：，則.故.故選：D.【點睛】本題主要考查復數的運算法則和復數的模的求解等知識，屬于基礎題.3．A【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.【詳解】根據向量的運算法則，可得，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.4．C【分析】設，利用得到關于的方程，解方程即可得到答案.【詳解】如圖，設，則，由題意，即，化簡得，解得（負值舍去）.故選：C.【點晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關計算，考查學生的數學計算能力，是一道容易題.5．C【解析】由已知函數為偶函數，把，轉化為同一個單調區間上，再比較大小．【詳解】是R的偶函數，．，又在(0，+∞)單調遞減，∴，，故選C．【點睛】本題主要考查函數的奇偶性、單調性，解題關鍵在于利用中間量大小比較同一區間的取值．6．D【分析】根據正弦函數的單調性求出函數的單調遞減區間，然后根據條件給出的區間建立不等式關系進行求解即可.【詳解】由，得，即函數的單調遞減區間為，令，則函數其中一個的單調遞減區間為：函數在區間內單調遞減，則滿足，得，所以的取值范圍是.故選：D.7．C【分析】根據等差、等比數列的性質分析求解.【詳解】由題意可得，解得，所以.故選：C.8．D【分析】設，，有，，，由弦長公式可得，，四邊形AMBN的面積為，解得，可求雙曲線的離心率.【詳解】根據對稱性不妨設點P在第一象限，如圖所示，圓O：，圓心為，半徑為，設，，點P在雙曲線上，，則有，，可得，過O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點，則，，同理，，由，四邊形AMBN的面積為，，化簡得，則有，則C的離心率.故選：D9．ABD【分析】轉化點與圓、點與直線的位置關系為的大小關系，結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點在圓C內，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.10．ACD【分析】令求得根據求得，根據求得的解析式，再逐項驗證BCD選項.【詳解】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項正確，所以，由且處在減區間，得，所以，，所以，，所以，，故B錯誤.當時，，因為在為減函數，故在上單調遞減，故C正確；將函數的圖象沿軸平移個單位得，（時向右平移，時向左平移），為偶函數得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.11．ACD【分析】A選項，作出輔助線，由三線合一得到線線垂直，進而得到線面垂直，進而得到線線垂直，求出答案；B選項，把沿著展開與平面同一平面內，由余弦定理求出的最小值，得到周長的最小值；C選項，求出正四面體的內切球即為小球半徑的最大值；D選項，當四個小球相切且與大正四面體相切時，小球半徑最大，連接四個小球的球心，構成正四面體，設出半徑，結合C選項中結論得到方程，求出小球半徑的最大值.【詳解】A選項，連接，由于為的中點，

所以⊥，⊥，又，平面，所以直線⊥平面，又平面，所以⊥，故A正確；B選項，把沿著展開與平面同一個平面內，連接交于點，則的最小值即為的長，由于，，

，，所以，故，的周長最小值為，B錯誤；C選項，要使小球半徑最大，則小球與四個面相切，是正四面體的內切球，設球心為，取的中點，連接，過點作垂直于于點，則為的中心，點在上，過點作⊥于點，因為，所以，同理，則，故，設，故，因為∽，所以，即，解得，C正確；

D選項，4個小球分兩層（1個，3個）放進去，要使小球半徑要最大，則4個小球外切，且小球與三個平面相切，設小球半徑為，四個小球球心連線是棱長為的正四面體，由C選項可知，其高為，由C選項可知，是正四面體的高，過點且與平面交于，與平面交于，則，，由C選項可知，正四面體內切球的半徑是高的得，如圖正四面體中，，，正四面體高為，解得，D正確.

故選：ACD【點睛】解決與球有關的內切或外接的問題時，解題的關鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑12．【分析】根據特殊元素進行分類計數，具體分類下是不相同元素分配問題，先分堆再配送，注意平均分堆的要除以順序.【詳解】根據特殊元素“甲同學”分類討論，當單位只有甲時，其余四人分配到，不同分配方案有種；當單位不只有甲時，其余四人分配到，不同分配方案有種；合計有種不同分配方案，故答案為：.13．【分析】發現，計算可得結果.【詳解】因為，，且，則.故答案為-2【點睛】本題主要考查函數的性質，由函數解析式，計算發現是關鍵，屬于中檔題.14．【分析】畫出符合題意的四面體，由其特征將其補形為長方體，分別計算外接球與內切球表面積可得答案.【詳解】如圖，設四面體為“黃金四面體”，且，得，又因四個面都為“黃金三角形”，則.注意到四面體對棱相等，則將其補形為如圖所示長方體，則該長方體外接球與該四面體外接球重合.設，則長方體外接球半徑為長方體體對角線長度的一半，有，又注意到：，得，又，得.注意到，，則.又在中，，取中點為E，則，故，又由前面分析可知四面體的四個面全等，則四面體的表面積.設四面體的內切球半徑為，則，得.注意到，則，又，得，又，則.則“黃金四面體”的外接球與內切球表面積之比為：，代入，得比值為：.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題涉及求幾何體的外接球半徑及內切球半徑，難度較大.題目關鍵為由題目條件得到“黃金四面體”的對棱相等，從而將其補形為長方體，而適當的代換也可減小計算的復雜度.15．(1)證明見解析(2)【分析】(1)結合正弦定理及正弦和角公式得，結合角度范圍即可證明；(2)結合正弦定理及三角恒等變換，結合B角范圍即可求解.【詳解】（1）在中，由及正弦定理得：又∵，∴即，∵，∴.∵，∴，（2）得：得，∴，∴，由題意，及正弦定理得：∵，∴，即故的取值范圍為方法二：由正弦定理得：∵，∴，由（1）得：，故由（1）得：得，∴，∴，∴，即，故的取值范圍為16．(1)分布列見解析(2)(3)分布列見解析，期望為【分析】（1）X的所有可能取值為－1，0，1，求出相應的概率列出分布列即可；（2）因為甲、乙兩人最終平局，所以甲、乙一定進行了四輪比賽分三種情況：①四輪比賽中甲、乙均得0分；②四輪比賽中有兩輪甲、乙均得0分，另兩輪，甲、乙各得1分；③四輪比賽中甲、乙各得2分，且前兩輪甲、乙各得1分；再分別求出每一種情況的概率相加即可；（3）Y的所有可能取值為2，3，4，求出對應的概率列出分布列即可.【詳解】（1）依題意，X的所有可能取值為－1，0，1．，，，所以X的分布列為X－101P0.30.50.2（2）因為甲、乙兩人最終平局，所以甲、乙一定進行了四輪比賽分三種情況：①四輪比賽中甲、乙均得0分，其概率為．②四輪比賽中有兩輪甲、乙均得0分，另兩輪，甲、乙各得1分，其概率為．③四輪比賽中甲、乙各得2分，且前兩輪甲、乙各得1分，其概率為．故甲、乙兩人最終平局的概率為．（3）Y的所有可能取值為2，3，4．，，，所以Y的分布列為Y234P0.130.130.74．17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，交于點O，連接，結合題意和三角形全等得到，利用線面垂直的判定得到平面，再利用線面垂直的性質即可得證；（2）結合（1）的結論，建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，求出平面的法向量和所在直線的方向向量，利用空間向量的方法即可求解.【詳解】（1）如圖，連接，交于點O，連接，由，可得，所以，又，所以，所以，即O為中點，在等腰中，可得，在等腰中，，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）由（1）可得，，又，所以，由于為正三棱錐，點P在底面的垂足一定在上，設垂足為M，根據正三棱錐的性質可得，如圖，過點作的平行線，以的平行線所在直線為軸，以所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標系．

可得，又，（或）設平面的法向量，可得不妨令，可得，所以，故所以點A到平面的距離為．18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據與的關系，即，和等比數列的性質進而求出數列的通項公式；（2）由結合(1)并列項得，再根據裂項求和得，進而即可證明.【詳解】（1）當時，，兩式相減得，，又，，．所以數列是首項為，公比是的等比數列，所以．（2）證明：，因為，所以，因為，所以．19．(1)答案見解析(2