【摘要】本文以問題教學為載體，展現直觀學習的心理過程和操作路徑，包括在“畫數學”中建立概念直觀，在“量數學”中產生圖式直觀，在“算數學”中形成命題直觀。以“直觀的懂”的方式教數學，有助于學生數學信念的發展和數學學習焦慮的緩解，進而促進數學理解。【關鍵詞】概念直觀；圖式直觀；命題直觀；數學學習“直觀的懂”（徐利治語）是人類認識事物的重要方式，亦如抽象，不可或缺。在數學學習論范疇，“直觀”是未經充分的邏輯推理而對事物本質的直接洞察與把握。《義務教育數學課程標準（2022年版）》把“幾何直觀”列為數學核心素養之一，《普通高中數學課程標準（2017年版2022年修訂）》把“直觀想象”界定為數學六大核心素養之一。因此，研究直觀的教、直觀的學、“直觀的懂”意義重大，價值深遠。一、在“畫數學”中，建立概念直觀概念揭示經驗的內在聯系，是思維的基本單位［1］。概念是符號化的數學，具有抽象性、層次性、一般性，是對同類事物或相似事物進行反復抽象的結果，不易理解、不易把握。概念需要借助“直觀的懂”，才能將抽象轉化為直觀，將一般轉化為具體，將不理解轉化為能理解。例如，“點動成線、線動成面、面動成體”就是“直觀的懂”的思維產物，是通過揭示經驗的內在聯系來理解概念的好例子，是概念直觀的思維產物，具有一般性。一般情況下，在數學學習論范疇，概念直觀是起于經驗、成于抽象、終于符號的目標過程。認知心理學把概念直觀界定為借助事物的直觀形象、外在表象、社會現象，揭示具有共同屬性的一類事物的本質特征或內在意義的心理過程。數學學習過程中的畫出數學、作出數學、操作數學都是概念直觀的思考路徑，是學生借助概念直觀理解概念抽象的有效路徑。具體地說，用直角三角板畫垂線，用直尺和三角板畫平行線，用量角器畫角的平分線等，都是通過畫數學、畫概念來建立概念直觀的例子。當然，概念直觀帶有強烈的經驗性特征，而經驗的組織性是知覺選擇、知覺登記與知覺概括的結果，往往具有感性思維色彩和一定層面的不確定性甚至是錯誤。就這一認識來說，概念直觀作用下的經驗是有非正確、非準確、非精確的非理性成分的，需要經歷思維層面的去粗取精、去偽存真的理性加工過程，經歷證實、證偽的目標過程，才能確保概念直觀的理性化、一般化、符號化，進而獲得概念，保持概念，遷移應用概念。為此，在畫數學中建立概念直觀需要關注以下幾個方面的問題，方能將畫數學轉化為符號數學，將概念的抽象性轉化為概念直觀（直觀的懂），將概念的經驗性轉化為概念的本質屬性，將概念的概念性轉化為概念的教育性，進而讓學生理解、把握概念的本質。第一，通過畫圖建立概念表象的直觀性。教師可以針對圖1提出以下幾個問題：（1）生活中有哪些常見的曲線圖形？（樹葉、摩天輪、圓錐等物體存在曲線）（2）除了用圓規可以畫出曲線，還可以用哪些工具畫出曲線？（系線的釘子可以畫圓，捆在一起的兩支筆也可以畫出圓或扇形，人的兩條腿可以畫出大致的圓。）（3）你能用直尺畫出曲線嗎？（4）觀察，說說圖1是如何被畫出來的。（5）模仿畫出圖1的4個層次圖。這樣，讓學生在動手畫、動手操作中建立概念表象，形成概念直觀的理解的認知心理狀態，有助于概念的獲得。第二，通過連圖建立概念直觀的理性經驗。連圖作為概念，是一系列“連接A、B”的直觀操作；而連圖作為方法產生式，則是將“連接”動作上升為通圖通法通性。就這一認識來說，概念是基于經驗的，而經驗是概念直觀作用的產物，具有非理性色彩，需要證實方能將感性經驗理性化，進而調用、轉化和遷移。例如，將圖1（b）作為樣例，讓學生在模仿學習、觀察學習中概括“怎樣連點”的方法，即概括出“連接點（1，0）與（0，6）”等通法，進而調用通法作出類似的圖形。這樣模仿、再造的過程就是遷移，是經驗感性調節為經驗理性的存儲、輸出的就緒狀態。第三，通過證偽剔除概念的非本質屬性。數學概念需要證實，更需要證偽，方能剔除概念的非本質屬性，進而理解把握概念的本質。例如，針對圖1問題的提出、操作、概括和模仿，學生獲得的理性經驗是初級的、粗糙的，教師還需要提供證偽的操作活動，方能使得理性經驗進入應用、轉化和遷移的狀態，產生概念的教育性作用。為此，可以提出以下問題：（1）分別畫出將圖1（b）沿橫軸、縱軸翻折后的圖形；（2）畫出將圖1（b）沿兩軸交點旋轉180°后的圖形；（3）觀察、對比各個圖形，你發現了什么？經歷這樣的證偽過程（澄清旋轉與翻折的關系），學生不僅理解了概念本質，而且形成了曲線圖的構造方法，為后續圖形變換鋪設心理基礎，這就是概念直觀的本體。二、在“量數學”中，產生圖式直觀希爾伯特在《幾何基礎》第一版的扉頁引用康德的話：人類的一切知識都是從直觀開始的，從那里進到概念，而以理念結束。［2］“量數學”是人類認識事物的思維起點，是數學直觀的表現形式、操作方式，是對數學活動論的堅守與敬畏。蘇科版義務教育數學教科書設置了“動手做”“探索與實踐”“評價與反思”“量一量”“測一測”“算一算”“數學活動”“數學實驗室”等活動欄目，力圖讓學生在操作、度量、估算中建立圖式直觀，建立圖式產生式體系。例如，π是一個無理數，是一個常量，是一個定值，是古代數學家無數次測量馬車車輪的周長與直徑的結果后概括出的一般化結論，即車輪的周長與直徑的比值是個定值，并用希臘字母π來表示這個定值。這是“量數學”的一個價值表現，為無理數的研究提供了直觀基礎。當然，數學一直是直觀與邏輯的混合物，數學知識的形成依賴于直觀，數學知識的確立依賴于推理［3］。概念、公式、法則、定理等數學原理都是起于直觀，成于抽象和推理的。例如，三角形內角和定理是通過“度量→剪角→拼角”等直觀方式獲得的，而對該定理的正確理解與把握則是通過證明推理的方式建立的，即通過添加平行線這一輔助思維，構造出平角或同旁內角互補的狀態，進而轉化為“三角形的內角和為180°”的目標過程。這就是直觀與邏輯混合理解的加工狀態。通常，信息加工學將數學知識劃分為陳述性知識（如三角形的內角和等于180°）、程序性知識（如數學證明是用“因→果→由因得果的理由”三段論方式呈現）和條件性知識（如含有平行線因素、角平分線因素的圖形中必有等腰三角形存在），圖式則是對陳述性知識做出綜合表征，源于直觀，終于推理。圖式是知識單元，是一種數學結構，可以是定理、公式、規則等數學原理，也可以是基本事實。圖式獲得是數學知識理解的本質［4］，數學圖式有概括性、層次性，是以數學原理加以組織聯系的，既反映對象的本質，也含有非本質特征。為此，在量數學的目標過程中，需要關注以下問題層次，方能建立正確的圖式直觀，形成“直觀的懂”的正確問題空間，進而理解概念、理解數學、學好數學。第一，度量估算概括數學，獲得直觀理解的圖式。例如，根據圖2提出以下問題：（1）如果圖2中每個小方格的邊長是1厘米，則左邊圖形的周長和面積分別是多少？（2）度量估算出右邊圖形的周長；（3）觀察比較，你能發現左右兩個圖形的周長有怎樣的數量關系嗎？面積有怎樣的數量關系？這樣量數學，讓學生在度量、估算、猜想中形成直觀理解的圖式，能為圖形運動提供理解基礎，為正確問題空間的建立存儲經驗。第二，平移變換表征數學，建立邏輯理念的圖式。由量數學建立的圖式直觀具有初級性、粗糙性、短時記憶性和瞬時理解性，容易出現理解偏差。為此，必須經歷圖形運動、圖形變換、圖形割補，建立數學原理層面的邏輯圖式，學生才能將直觀轉化為圖式，將概念轉化為方法，將經驗轉化為思想。針對圖2還需要提出以下問題：（1）經驗層面。如何平移圖2中右圖的某些線段，使其轉化為規則圖形。（2）理念層面。你能用割補法計算圖2中右圖的面積嗎？（3）邏輯層面。計算圖2中左右兩個圖形面積的差，你發現了什么？這樣平移變換表征數學，有助于學生形成邏輯理念的圖式，有助于圖式直觀產生式體系的建立。第三，模仿構造變式數學，促進圖式應用產生式生成。任何數學知識的產生都是起于直觀，成于變式，終于應用的。圖式作為知識關系的一種表達方式、架構方式，需要構造、變式，更需要應用，方能形成穩定的知識結構及知識關系，進而促進“直觀的懂”的數學能力的進一步發展。為此，針對圖2還需要解決以下問題：（1）請設計一個類似的問題，使得不規則圖形可以轉化為規則圖形；（2）你設計的問題與圖2有哪些相同與不同之處？（3）你是如何計算出不規則圖形的周長與面積的？以變式構造問題，可以讓學生在變式應用中感知問題解決的方法，從而深度理解概念，促進圖式產生式生成。這就是將“直觀的懂”轉化為圖式理念、應用觀念，進而學好數學。三、在“算數學”中，形成命題直觀“算數學”是數學發展的生命。知名數學家丘成桐教授就是通過算數學的思維方式，用三年多時間得出“卡拉比—丘”定理的。概念、圖式、命題都是陳述性知識的表征方式，是以算數學為邏輯紐帶的。數學上的完全平方公式、平方差公式就是通過算面積的方式算出來的，皮克定理（數格點→算面積）也是算數學的產物。數學史上，公理與邏輯只是搭建了數學的骨架，但直觀給了它生命［5］。命題是用“如果，那么”（if/then）的方式來刻畫的，命題來源于直觀基礎之上的抽象，來源于算數學。例如，國標A型紙的長與寬的比值為定值無理數，即以短邊為邊折正方形，正方形的對角線與長邊一樣長，由此得出A型紙長邊與短邊的比值為[2]的數學結論。數學邏輯學把判斷一個事件的句子叫作命題（如兩點確定一條直線等）。命題是數學抽象的產物，需要運算、推理證明其正確性，方能將命題轉化為定理，進而成為數學與應用數學的邏輯證據。為此，在算數學中形成命題直觀需要做好以下工作，方能將抽象轉化為直觀，將算數學轉化為邏輯命題。第一，輸入編碼，將問題轉化為直觀，知道概念性命題是什么樣子。信息加工學認為編碼就是用各種方式把信息組織起來，信息是以編碼的方式存儲在長時記憶系統的［6］，概念是以命題的方式進入工作記憶系統的。數學史上“七橋問題”的解決就是通過輸入編碼的方式，將問題轉化為“直觀的懂”。具體地說，歐拉將哥尼斯堡的四塊陸地抽象為四個點，將七座橋抽象為七條線，這樣就將“七橋問題”轉化為“一筆畫”問題。這就是將問題（命題）轉化為直觀，將難以解決的問題轉化為直觀地看出、直觀地畫出、直觀地懂。當然，這里還必須指出，輸入編碼的過程是產生刺激沖動的過程，即如何將“七橋問題”轉化為直觀地看（抽象加工）；編碼加工的過程是將信息轉化為概念性命題（如果……，那么……），即能否一筆畫出的問題。第二，符號加工，將直觀轉化為抽象，理解概念性命題為什么是這樣。在信息加工學范疇，符號加工是運用聯想思維從信息中推導出以符號陳述的行動指令（概念即命題）。教材中設置的“剪繩子”問題就是通過符號加工，將直觀轉化為抽象的一個好例子。具體地說，就是將一根繩子對折n次，從中間剪一刀，繩子變成多少段的問題。這里的剪繩子是一種直觀操作，在非完全歸納法的參與下，用代數式表示繩子的段數（2n+1）就是符號抽象的陳述形態。至此不難理解代數簡明的意義，這也是代數概念（概念性命題）具有一般性、普適性的一個例子。第三，譯碼輸出，將命題直觀轉化為算理算法，揭示概念關系是怎么樣的。心理學理論認為，命題或規則一般由若干概念組成，揭示了幾個概念之間的關系和某種規律。圖3就是反映概念關系的一個例子，揭示譯碼輸出的過程，即把命題直觀轉化為算法算理的過程。這里，譯碼是符號指令轉化為神經沖動的過程，輸出則是神經沖動作用于外部世界。具體地說，先讓學生在觀圖的基礎上，給出可能的問題空間；接著在交流反思的基礎上給出有意義的問題（即圖中正方形的邊長為10，四個等圓的半徑均為3，且正方形的四個頂點恰好都落在圓心上，問花壇的面積是多少）；最后通過譯碼輸出的方式，將命題上升為算法并揭示概