數學試卷一．選擇題（共10小題，共30分）1.在跳遠測驗中，合格標準是4米，張非跳出了4.22米，記為+0.22米，李敏跳出了3.85米，記作（）A.+0.15 B.﹣0.15 C.+3.85 D.﹣3.85答案：B解析：詳解：解：∵4.22-4=0.22，∴以4米為標準，若張非跳出了4.22米，可記做+0.22米，∵3.85-4=-0.15，∴李敏跳出了3.85米，記作﹣0.15米，故選：B．2.如圖是由6個完全相同的小正方體組成的幾何體，其俯視圖為（）A. B. C. D.答案：B解析：詳解：從上面看第一排是三個小正方形，第二排右邊是一個小正方形，故選：B．3.2023年5月1日，南京夫子廟、中山陵、玄武湖、雨花臺四大景區共接待游客約人，這個數可用科學記數法表示為（）A. B. C. D.答案：D解析：詳解：解：．故選：D．4.下列各運算中，計算正確的是（）A. B.C. D.答案：D解析：詳解：A、，該選項錯誤；B、，該選項錯誤；C、，該選項錯誤；D、，該選項正確；故選：D．5.關于一元二次方程有實根，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.答案：D解析：詳解：解：根據題意得：，解得：，故選：D．6.不等式組的解集是（）A. B. C. D.無解答案：C解析：詳解：解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為，故選：C．7.已知甲車從A地出發前往B地，同時乙車從B地出發前往A地，兩車離A地距離y(千米)和行駛時間x(小時)的關系如圖，則兩車相遇時，甲車行駛的時間是()A.3．5小時 B.小時 C.2．5小時 D.3小時答案：B解析：詳解：解：設乙車的解析式為，把代入，得，解得，∴乙車的解析式為，設甲車的解析式為，把代入，得，解得，∴甲車的解析式為，解方程，解得，答：兩車相遇時，甲車行駛的時間是小時．故選B8.我國古代《算法統宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房．設該店有客房x間、房客y人，下列方程組中正確的是（）A. B. C. D.答案：A解析：詳解：根據題意有故選：A．9.光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從水中射向空氣時，要發生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，的度數為（）A. B. C. D.答案：B解析：詳解：解：如圖，根據題意得：，，∴，，∵，∴．故選：B．10.如圖，在中，，，分別以點A，B為圓心、大于的長為半徑作弧，兩弧交點的連線交BC與點E，，則的面積為（）A.12 B. C. D.答案：C解析：詳解：解：如圖，過點A作AH⊥BC，垂足點H，由作法得EF垂直平分AB，∴AE=BE，∵，∴△ABE是等邊三角形，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD=4，∴BE=AB=4，∵AH⊥BC，∴，∴，∵，∴CE=2，∴BC=6，∴．故選：C．二．填空題（共5小題，共15分）11.計算：=_________．答案：3解析：詳解：解：原式=1+2=3故答案為：3．12.如圖是象棋盤的一部分，若“帥”位于點(2，－1)上，“相”位于點(4，－1)上，則“炮”所在的點可表示為__________．答案：(-1，2)解析：詳解：解：根據“帥”位于點（2，-1）上，“相”位于點（4，-1）上，可知棋盤中一個格代表一個單位，“炮”所在的點在帥左面3個單位，上面3個單位，故坐標是（-1，2）．故答案為（-1，2）．13.在網絡課程學習中，韓梅和李雷分別在《數學與天文》、《數學與繪畫》、《數學與游戲》中隨機選擇一門，兩人恰好選中同一門課程的概率為____．答案：解析：詳解：把《數學與天文》、《數學與繪畫》、《數學與游戲》分別記為A、B，

畫樹狀圖如圖：

共有9個等可能的結果，韓梅和李雷兩人恰好選中同一門課程的結果有3個，∴韓梅和李雷兩人恰好選中同一門課程的概率為，

故答案為：．14.如圖，反比例函數的圖象過的頂點B，軸，與另一邊OA交于點C，且，連接．若，則k的值為______．答案：6解析：詳解：解：過點C作軸于F，過點A作軸于點E，延長交x軸于點D，∵軸，∴四邊形是矩形，∴，∵點B、C在的圖象上，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴，又，∴，∴，∴．故答案為：6．15.如圖，等邊中，，為的中點，點為射線上一動點，將射線繞點順時針旋轉交于點，若，則__．答案：3或5解析：詳解：解：當點在線段上時，如圖1，，，為的中點，∴，，，，為等邊三角形，，；當點在線段的延長線上時，如圖2，，，又，，，又，，，，，．綜合以上可得的長為3或5．故答案為：3或5．三．解答題（共8小題，共75分）16.（1）；（2）先化簡，再求值：；其中答案：（1）；（2）；解析：詳解：解：（1）；（2），把代入得：原式．17.某印刷廠每月生產甲、乙兩種練習本共40萬本且所有練習本當月全部賣出，其中成本、售價如表所示．品種甲乙成本1.2元/本0.4元/本售價1.6元/本0.6元/本（1）若該印刷廠五月份的利潤為11萬元，求生產甲、乙兩種練習本分別是多少萬本；（2）某學校計劃用7680元的經費到該印刷廠采購練習本，經商討，該公司同意甲種練習本售價打九折，乙種練習本不能讓利：若學校能采購到1萬本，且不超支，問最多能購買甲種練習本多少本？答案：（1）生產甲種練習本15萬本，乙種練習本25萬本（2）甲種練習本最多能購買2000本解析：小問1詳解：解：設該印刷廠五月份生產甲種練習本萬本，乙種練習本萬本，由題意得，解得：，答：生產甲種練習本15萬本，乙種練習本25萬本；小問2詳解：解：設購買甲種練習本本，由題意得：，解得：，答：甲種練習本最多能購買2000本．18.第屆亞運會將于今年月日在杭州開幕，中國將再次因體育盛會引來全球目光，同時也掀起了運動熱潮．某校舉辦了一場游泳比賽，年級初選出名學生代表．將名學生代表米自由泳所用時間數據整理如下：a．名學生代表米自由泳所用時間（單位：秒）：，，，，，，，，，b．名學生代表米自由泳所用時間的平均數、中位數、眾數（單位：秒）；平均數中位數眾數（1）寫出表中，的值；（2）部分同學因客觀原因沒有參加選拔，學校決定，若次日常訓練的平均用時低于名學生代表中的一半同學，且發揮穩定，就可以加入代表團．①甲乙兩位同學次日常訓練的用時如下表，請你判斷，兩位同學更有可能加入代表團的是________（填“甲”或“乙”）；

第一次第二次第三次第四次第五次甲同學日常訓練用時乙同學日常訓練用時②丙同學前次訓練的用時為，，，，他也想加入代表團，若從日常訓練平均用時的角度考慮，則第次訓練的用時的要求為：________．答案：（1），（2）①乙，②解析：小問1詳解：解：，；小問2詳解：①甲同學次訓練的用時平均值為：，方差為：，乙同學次訓練的用時平均值為：，方差：，，乙發揮的更穩定，故答案為：乙；②根據題意得：，解得：，故答案為：．19.如圖，欣欣媽媽在超市購買某種水果所付金額（元）與購買（千克）之間的函數圖象如圖所示，（1）求時，與之間的函數關系；（2）請你幫欣欣媽媽計算：一次性購買千克這種水果比平均分次購買可節省多少元？答案：（1）；（2）一次性購買千克這種水果比平均分次購買可節省元解析：小問1詳解：解：設與之間的函數關系式為：，將，代入關系式中得：，由得：，解得：，將代入①中得：，則，故當時，與之間的函數關系為：；小問2詳解：解：由圖象可知：當時，函數關系為：，當時，，故平均分次購買所需總費用為：（元），將，代入中得：（元），（元），故一次性購買千克這種水果比平均分次購買可節省元．20.如圖為淋浴噴頭的簡易示意圖，若用支架把噴頭固定在點A處，手柄長，與墻壁的夾角，噴出的水流與形成的夾角．（1）求B點與墻壁的距離；（2）住戶要求：當人站在E處淋浴時，水流正好噴灑在C處，使，，安裝師傅應將支架A固定在離地面多高的位置？（參考數據：，，，，，）．答案：（1）B點與墻壁的距離（2）安裝師傅應將支架A固定在離地面高的位置解析：小問1詳解：解：過點B作，∵，，，∴，答：B點與墻壁的距離．小問2詳解：解：∵，，，∴，過點B作于點H，過點A作于點F，過點C作于點G，∵，，，∴四邊形為矩形，∴，，又，∴，∵，，∴，，∵，，，∴四邊形為矩形，∴，，∴，∴，∵，，，∴四邊形為矩形，∴，∴，答：安裝師傅應將支架A固定在離地面高的位置．21.如圖，以的邊為直徑作，分別交，于點，，點在上，．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的半徑．答案：（1）見解析（2）解析：小問1詳解：證明：如圖，連接，是的直徑，，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；小問2詳解：如圖，連接，∵，，是直徑，，，，，，，，，，在中，，設，則，，，，在中，，，，，，，的半徑為．22.跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過K點越遠，飛行距離分越高．2022年北京冬奧會跳臺滑雪標準臺的起跳臺的高度為，基準點K到起跳臺的水平距離為，高度為（h為定值）．設運動員從起跳點A起跳后的高度與水平距離之間的函數關系為．（1）c的值為__________；（2）①若運動員落地點恰好到達K點，且此時，求基準點K的高度h；②若時，運動員落地點要超過K點，則b的取值范圍為__________；（3）若運動員飛行的水平距離為時，恰好達到最大高度，試判斷他的落地點能否超過K點，并說明理由．答案：（1）66（2）①基準點K的高度h為21m；②b＞；（3）他的落地點能超過K點，理由見解析．解析：小問1詳解：解：∵起跳臺的高度OA為66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案為：66；小問2詳解：解：①∵a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+66，∵基準點K到起跳臺的水平距離為75m，∴y＝﹣×752+×75+66＝21，∴基準點K的高度h為21m；②∵a＝﹣，∴y＝﹣x2+bx+66，∵運動員落地點要超過K點，∴當x＝75時，y＞21，即﹣×752+75b+66＞21，解得b＞，故答案為：b＞；小問3詳解：解：他的落地點能超過K點，理由如下：∵運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76m，∴拋物線的頂點為（25，76），設拋物線解析式為y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a＝﹣，∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣25）2+76，當x＝75時，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地點能超過K點．23.問題初探：（1）在數學活動課上，趙老師給出如下問題：如圖1，在和中，，且為銳角，若，求證：．①如圖2，小鋒同學從，這個條件出發，想到根據“”構造全等，給出如下解題思路：在上截取，連接，將與的數量關系轉化為它們所在的三角形的關系．②如圖3，小慕同學從，這個條件出發，想到作雙垂直，可構造出“”全等條件，給出如下解題思路：過點A作，垂足為點M，過點D作，垂足為點N，先證明垂線段相等，將垂線段作為中間過渡量證明與所在的三角形全等，從而證明．請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程．類比分析：（2）趙老師發現上面兩名同學都運用了轉化思想，將證明兩條線段的數量關系轉化為證明兩條線段所在三角形的關系．為了幫助同學們更好地感悟和運用轉化思想，趙老師將上面的例題和解題思路進行變換，提出了下面的問題，請你解答：如圖4，在中，點E，D分別在邊，上，連接，，延長至點F，使，連接，延長交于點H，若，求證：．學以