解密10不等式高考考點命題分析三年高考探源考查頻率不等式的性質與一元二次不等式選擇題、填空題中的考查以簡單的線性規劃與不等式的性質為主，重點求目標函數的最值，有時也與其他知識交匯考查.基本不等式求最值及應用在課標卷考試中是低頻點，但基本不等式作為求最值的一種方法要牢記.不等式的解法多與集合、函數、解析幾何、導數相交匯考查.2019課標全國Ⅰ12019課標全國Ⅱ12019課標全國Ⅱ62019課標全國Ⅲ12018課標全國Ⅰ22018課標全國Ⅲ12★★★★線性規劃2020課標全國Ⅰ132020課標全國Ⅲ132018課標全國Ⅰ132018課標全國Ⅱ14★★★★基本不等式考點一不等式的性質與一元二次不等式題組一不等式的性質☆技巧點撥☆1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a與ax2＋bx＋c同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2＋bx＋c異號，則其解集在兩根之間．簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間．2．解簡單的分式、指數、對數不等式的基本思想是利用相關知識轉化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解．3．解含參數不等式要正確分類討論．例題1．對于任意實數、、、，下列四個命題中：①若，，則；②若，則；③若，則；④若，，則.其中真命題的個數是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】對于①，若，，則，①錯；對于②，若，則，②錯；對于③，若，則，由不等式的基本性質可得，③對；對于④，取，，，，，④錯.故選：A.例題2．下列說法中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】A對于選項A，由，可得，，則，故選項A成立；對于選項B，取，則，故選項B不正確；對于選項C，取，若，則，故選項C不正確；對于選項D，若，則，所以，故選項D不正確.故選：A.例題3．正數，滿足，若不等式對任意實數恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】：因為正數，滿足所以所以當且僅當，即，時取等號所以若不等式對任意實數恒成立則對任意實數恒成立即對任意實數恒成立因為所以故選：A.例題4．若不等式的解集為R，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】∵不等式的解集為R，當a-2＝0，即a＝2時，不等式為3>0恒成立，故a＝2符合題意；當a﹣2≠0，即a≠2時，不等式的解集為R，則，解得，綜合①②可得，實數a的取值范圍是．故選：B．例題5．若對任意的恒成立，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】：因為對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，因為當，，所以，，即m的取值范圍是故選：A例題6．已知，函若數在總有且，則取值范圍是（）A．[6，+∞) B．C．[12，+∞) D．(6，12]【答案】B【分析】在上恒成立即在上恒成立，故在上恒成立，當時，，當時，，故，所以在上恒成立，令，令，則，而在為增函數，故，所以，故，所以在的最小值為，故.因為恒成立，故對于任意恒成立，所以即.故選：B.考點二基本不等式及應用☆技巧點撥☆基本不等式的常用變形(1)a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)，當且僅當a＝b時，等號成立．(2)a2＋b2≥2ab，ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)，當且僅當a＝b時，等號成立．(3)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號且均不為零)，當且僅當a＝b時，等號成立．(4)a＋eq\f(1,a)≥2(a>0)，當且僅當a＝1時，等號成立；a＋eq\f(1,a)≤－2(a<0)，當且僅當a＝－1時，等號成立．解題技巧：技巧一：湊項例1：已知，求函數的最大值。解：因，所以首先要“調整”符號，又不是常數，所以對要進行拆、湊項，，當且僅當，即時，上式等號成立，故當時，。評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數例1.當時，求的最大值。：由知，，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數即可。當，即x＝2時取等號當x＝2時，的最大值為8。評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。技巧三：分離.求的值域。解析一：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。當,即時,（當且僅當x＝1時取“＝”號）。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。當,即t=時,（當t=2即x＝1時取“＝”號）。評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值。技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數的單調性。例：求函數的值域。解：令，則因，但解得不在區間，故等號不成立，考慮單調性。因為在區間單調遞增，所以在其子區間為單調遞增函數，故。所以，所求函數的值域為。技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。已知，且，求的最小值。正解：，當且僅當時，上式等號成立，又，可得時，。技巧七、已知x，y為正實數，且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值.分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab≤eq\f(a2＋b2,2)。同時還應化簡eq\r(1＋y2)中y2前面的系數為eq\f(1,2)，xeq\r(1＋y2)＝xeq\r(2·eq\f(1＋y2,2))＝eq\r(2)x·eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))下面將x，eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))分別看成兩個因式：x·eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))≤eq\f(x2＋(eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2)))2,2)＝eq\f(x2＋eq\f(y2,2)＋eq\f(1,2),2)＝eq\f(3,4)即xeq\r(1＋y2)＝eq\r(2)·xeq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))≤eq\f(3,4)eq\r(2)例題解析例題1．已知，，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可知，乘“”得，當且僅當時，取等號，則的最小值為.故選：A例題2．給出下面三個推導過程：①∵a、b為正實數，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.其中正確的推導為（）A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】B【分析】①，根據基本不等式的知識可知①正確.②，當時，，所以②錯誤.③，根據基本不等式的知識可知③正確.所以正確的為①③.故選：B例題3．若兩個正實數，滿足且存在這樣的，使不等式有解，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由知，，當且僅當時，等號成立，則使不等式有解，只需滿足即可，解得故選：C例題4．若，，且，則下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，，且，可得，當且僅當時，等號成立，對于A中，由，所以A錯誤；對于B中，，所以B錯誤；對于C中，由，可得，所以C錯誤；對于D中，，所以，所以，所以D正確.故選：D.例題5．設，則的最小值為（）A． B．2 C．4 D．5【答案】D【分析】因為，所以，當且僅當，即時取等號，此時取得最小值.故選：D例題6．若實數滿足，則的最小值為_________.【答案】【分析】因為實數滿足，所以，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為，故答案為：考點三基本不等式綜合應用例題1．設，，則的最小值是（）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】因為，，，設，，所以，當且僅當，即時等號成立．故選：C．例題2．已知，，則的最小值為（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】D【分析】依題意，，因為當且僅當時等號成立，又因為，當且僅當時，即時等號成立，因此，當且僅當時等號成立，故選：D.例題3．以下給出了4個函數式：①；②；③；④.其中最小值為4的函數共有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】對于①，因為，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，①符合題意；對于②，，函數定義域為，而且，如當，，②不符合題意．對于③，，當且僅當時取等號，所以其最小值為4，③符合題意；對于④，因為函數定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為