【學生版】《第4章冪函數、指數函數與對數函數》內容提要解讀與例析【內容提要】第五章內容提要（見教材102頁）1、冪函數的定義域由指數決定.隨著指數的不同，冪函數的定義域是不同的.特別地，當指數取有理數時（為正整數，為整數），冪函數的定義域是使得根式有意義的的全體；2、冪函數有單調性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；3、指數函數（，）的定義域是全體實數；4、指數函數（，）有單調性；當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；5、對數函數的定義域是正數全體.6、對數函數有單調性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；【例析要點】1.函數的概念：1、冪函數的定義域由指數決定.隨著指數的不同，冪函數的定義域是不同的.特別地，當指數取有理數時（為正整數，為整數），冪函數的定義域是使得根式有意義的的全體；例1、已知冪函數，求此冪函數的解析式，并指出定義域。【提示】【解析】【說明】2、冪函數有單調性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；例2、（1）冪函數y＝xα在(0，＋∞)上的單調性與α有什么關系？（2）23.1和23.2可以看作哪一個函數的兩個函數值？二者的大小關系如何？（3）2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一個函數的兩個函數值？二者的大小關系如何？【提示】【解析】【說明】比較冪值大小的方法：（1）若指數相同，底數不同，則考慮冪函數；（2）若指數不同，底數相同，則考慮指數函數；（3）若指數與底數都不同，則考慮插入中間數，使這個數的底數與所比較數的一個底數相同，指數與另一個數的指數相同，那么這個數就介于所比較的兩數之間，進而比較大小。3、指數函數（，）的定義域是全體實數；例3、（1）函數f(x)＝eq\r(4－2x)的定義域是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，＋∞)（2）函數y＝eq\f(1,2x－1)的值域是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)【提示】【答案】【解析】【說明】4、指數函數（，）有單調性；當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；例4、（1）已知函數，若函數在是嚴格增函數，則實數的取值范圍是_______（2）比較下列各題中兩個值的大小：①1.82.2,1.83；②0.7－0.3,0.7－0.4；③1.90.4,0.92.4；5、對數函數的定義域是正數全體.例5、（1）函數的定義域為（2）函數y＝log(5－x)(2x－3)的定義域為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C．(4,5) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))∪(4,5)6、對數函數有單調性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；例6、（1）已知在上是嚴格減函數，則實數的取值范圍是___________.（2）函數的單調減區間是【教師版】《第4章冪函數、指數函數與對數函數》內容提要解讀與例析【內容提要】第五章內容提要（見教材102頁）1、冪函數的定義域由指數決定.隨著指數的不同，冪函數的定義域是不同的.特別地，當指數取有理數時（為正整數，為整數），冪函數的定義域是使得根式有意義的的全體；2、冪函數有單調性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；3、指數函數（，）的定義域是全體實數；4、指數函數（，）有單調性；當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；5、對數函數的定義域是正數全體.6、對數函數有單調性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；【例析要點】1.函數的概念：1、冪函數的定義域由指數決定.隨著指數的不同，冪函數的定義域是不同的.特別地，當指數取有理數時（為正整數，為整數），冪函數的定義域是使得根式有意義的的全體；例1、已知冪函數，求此冪函數的解析式，并指出定義域。【提示】注意：理解冪函數的定義；【解析】因為，為冪函數，所以，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.當m＝2時，m2－2m－3＝－3，則y＝x－3，且有x≠0；當m＝－1時，m2－2m－3＝0，則y＝x0，且有x≠0.故所求冪函數的解析式為，定義域為{x|x≠0}或y＝x0，定義域為{x|x≠0}；【說明】判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y＝xα(α為常數)的形式，即函數的解析式為一個冪的形式，且需滿足：（1）指數為常數；（2）底數為自變量；（3）系數為1；2、冪函數有單調性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；例2、（1）冪函數y＝xα在(0，＋∞)上的單調性與α有什么關系？（2）23.1和23.2可以看作哪一個函數的兩個函數值？二者的大小關系如何？（3）2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一個函數的兩個函數值？二者的大小關系如何？【提示】注意：理解冪函數定義域的“交集”；【解析】（1）當α>0時，冪函數y＝xα在(0，＋∞)上單調遞增；當α<0時，冪函數y＝xα在(0，＋∞)上單調遞減；（2）23.1和23.2可以看作函數f(x)＝2x的兩個函數值，因為函數f(x)＝2x單調遞增，所以23.1＜23.2；（3）2.3－0.2和2.2－0.2可以看作冪函數f(x)＝x－0.2的兩個函數值，因為函數f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上單調遞減，所以2.3－0.2＜2.2－0.2；【說明】比較冪值大小的方法：（1）若指數相同，底數不同，則考慮冪函數；（2）若指數不同，底數相同，則考慮指數函數；（3）若指數與底數都不同，則考慮插入中間數，使這個數的底數與所比較數的一個底數相同，指數與另一個數的指數相同，那么這個數就介于所比較的兩數之間，進而比較大小。3、指數函數（，）的定義域是全體實數；例3、（1）函數f(x)＝eq\r(4－2x)的定義域是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，＋∞)（2）函數y＝eq\f(1,2x－1)的值域是()A．(－∞，1)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)【提示】注意：函數起點是定義域；【答案】（1）A；（2）；【解析】（1）因為，4－2x≥0，所以，2x≤4，所以，x≤2，則f(x)的定義域是(－∞，2]，故選A．（2）因為，2x－1＞－1，且2x－1≠0，所以，eq\f(1,2x－1)＜－1，或eq\f(1,2x－1)＞0，故選B；【說明】對于y＝af(x)這類函數：（1）定義域是指使f(x)有意義的x的取值范圍；（2）值域問題，應分以下兩步求解：①由定義域求出u＝f(x)的值域；②利用指數函數y＝au的單調性求得此函數的值域；4、指數函數（，）有單調性；當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在上嚴格遞減；例4、（1）已知函數，若函數在是嚴格增函數，則實數的取值范圍是_______（2）比較下列各題中兩個值的大小：①1.82.2,1.83；②0.7－0.3,0.7－0.4；③1.90.4,0.92.4；【提示】注意：理解指數函數的單調性；【答案】（1）；（2）①1.82.2＜1.83；②0.7－0.3＜0.7－0.4；③1.90.4＞0.92.4；【解析】（1）因為函數在是嚴格增函數，所以，解得或，因此實數的取值范圍是.故答案為：.（2）①因為，1.82.2,1.83可看作函數y＝1.8x的兩個函數值，因為，1.8＞1，所以，y＝1.8x在R上為增函數，則1.82.2＜1.83；②因為，y＝0.7x在R上為減函數，又因為，－0.3＞－0.4，則0.7－0.3＜0.7－0.4；③因為，1.90.4＞1.90＝1,0.92.4＜0.90＝1，所以，1.90.4＞0.92.4；【說明】比較冪值大小的方法：（1）單調法：比較同底數冪大小，構造指數函數，利用指數函數的單調性比較大小．要注意：明確所給的兩個值是哪個指數函數的兩個函數值；明確指數函數的底數與1的大小關系；最后根據指數函數圖象和性質來判斷；（2）中間量法：比較不同底數冪的大小，常借助于中間值1進行比較，判斷指數冪和1的大小；5、對數函數的定義域是正數全體.例5、（1）函數的定義域為（2）函數y＝log(5－x)(2x－3)的定義域為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，5))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C．(4,5) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))∪(4,5)【提示】注意：遇對數先保證有意義；【答案】（1）[2，＋∞)；（2）D；【解析】(2018·江蘇卷)要使函數f(x)有意義，則log2x－1≥0，解得x≥2，即函數f(x)的定義域為[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)；（2）由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3>0，,5－x>0，,5－x≠1，))解得eq\f(3,2)<x<5，且x≠4，故選D；【說明】對于對數的定義域問題；主要是：底數大于0且不等于1，真數大于0；6、對數函數有單調性：當時，它在上嚴格遞增；而當時，它在