2024年廣東省惠州市惠城區惠臺學校中考數學一模試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.一2的相反數是（）

11

A.2B.-2C.'D.一5

2.下列運算正確的是（）

A./3+<2=B.X8^X2=X6D.（a5）2=a7

3.把函數y=（x-l）2+2圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數解析式為（）

A.y-x2+2B.y=(尤一I)2+1C.y=(x—2)2+2D.y=(x—l)2—3

4.將一副三角板如圖放置，使點2在DE上，BC//DE,則N4FC的度數為()

A.45°

B.50°

C.60°

D.75°

5.三角形的兩邊長分別是3和6,第三邊是方程/一6久+8=0的解，則這個三角形的周長是（）

A.11B.13C.11或13D.11和13

6.九年級某班30位同學的體育素質測試成績統計如表所示，其中兩個數據被遮蓋，下列關于成績的統計量

中，與被遮蓋的數據無關的是（）

成績24252627282930

人數團團23679

A.平均數，方差B.中位數，方差C.中位數，眾數D.平均數，眾數

7.函數y=會自變量x的取值范圍是（）

A.%>1且%。3B.x>1C.%W3D.x>1且％W3

8.若函數丫=E2：，彳^2）,則當函數值y=8時，自變量x的值是（）

A.±<6B.4C.士遮或4D.4或一幅

9.2020年3月14日，是人類第一個“國際數學日”.這個節日的昵稱是“兀（Day）”.國際數學日之所以定在3

月14日，是因為“3.14”是與圓周率數值最接近的數字.在古代，一個國家所算得的圓周率的精確程度，

可以作為衡量這個國家當時數學與科技發展水平的一個主要標志.我國南北朝時的祖沖之是世界上最早把

圓周率的精確值計算到小數點后第7位的科學巨匠，該成果領先世界一千多年.以下對于圓周率的四個表

述:

①圓周率是一個有理數；

②圓周率是一個無理數；

③圓周率是一個與圓的大小無關的常數，它等于該圓的周長與直徑的比;

④圓周率是一個與圓的大小有關的常數，它等于該圓的周長與半徑的比.

其中表述正確的序號是（）

A.②③B.①③C.①④D.②④

10.如圖，直線2是經過點（1,0）且與y軸平行的直線.RtAdBC中直角邊AC=

4,BC=3,將BC邊在直線/上滑動，使4B在函數y=5的圖象上.那么k的值

是（）

A.3

B.6

C.12

D.當

4

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.據統計，2024年3月至17月，惠州首屆馬拉松比賽共有12000人參賽，其中12000用科學記數法表示為

12.點4在第二象限，它到久軸、y軸的距離分別是2,則它的坐標是.

13.已知關于x,y的二元一次方程的解互為相反數，則8k的立方根是一

14.已知，五-1的整數部分為a,小數部分為b,（，五+ab±1）的值____.

15.若函數y=mx2+2%+1的圖象與汽軸只有一個公共點，則常數m的值是.

三、解答題:本題共7小題，共68分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題10分)

(1)計算：I—3|—(/To-1)°+72COS45°+(3T；

(2)先化簡再求值：遙篇?黑-言，其中”=L

17.(本小題7分)

(2x+5<3(x+2)

解不等式組.Ll+3x,把不等式組的解集在數軸上表示出來，并寫出不等式組的非負整數解.

[2x--1<1

18.(本小題9分)

2020年6月26日是第33個國際禁毒日，為了解同學們對禁毒知識的掌握情況，從廣安市某校800名學生中

隨機抽取部分學生進行調查，調查分為“不了解”“了解較少”“比較了解”“非常了解”四類，并根據

調查結果繪制出如圖所示的兩幅不完整的統計圖.請根據統計圖回答下列問題:

(1)本次抽取調查的學生共有人，估計該校800名學生中“比較了解”的學生有人.

(2)請補全條形統計圖.

⑶“不了解”的4人中有3名男生A2,43,1名女生以為了提高學生對禁毒知識的了解，對這4人進

行了培訓，然后隨機抽取2人對禁毒知識的掌握情況進行檢測，請用畫樹狀圖或列表的方法，求恰好抽到2

名男生的概率.

圖1圖2

19.(本小題9分)

某商場將進價為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個，調查表明：這種書包的售價每上漲1

元，其銷售量就減少10個.

(1)請寫出每月售出書包的利潤y元與每個書包漲價久元間的函數關系式；

(2)設每月的利潤為10000的利潤是否為該月最大利潤？如果是，請說明理由；如果不是，請求出最大利

潤，并指出此時書包的售價應定為多少元；

(3)請分析并回答售價在什么范圍內商場就可獲得利潤.

20.(本小題9分)

如圖，已知2(-4,0.5),8(—1,2)是一次函數y=kx+6與反比例函數丫=￡(爪＜0)圖象的兩個交點，AC1

x軸于C,BD1y軸于D.

(1)根據圖象直接回答：在第二象限內，當x取何值時，一次函數大于反比例函數的值？

(2)求一次函數解析式及ZH的值；

(3)P是線段4B上的一點，連接PC,PD,若APCA和APDB面積相等，求點P坐標.

21.(本小題12分)

已知拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)頂點為C(l,l)且過原點。.過拋物線上一點P(x,y)向直線y=。作垂線,

垂足為M,連FM(如圖).

(1)求字母a,b,c的值;

(2)在直線尤=1上有一點F(l,4，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標，并證明此時APFM為正

三角形；

(3)對拋物線上任意一點P,是否總存在一點使PM=PN恒成立？若存在請求出t值，若不存在請

說明理由.

Y=1

22.(本小題12分)

我們不妨約定：若某函數圖象上至少存在不同的兩點關于原點對稱，則把該函數稱之為“H函數”，其圖

象上關于原點對稱的兩點叫做一對點”.根據該約定，完成下列各題.

(1)在下列關于x的函數中，是““函數”的，請在相應題目后面的括號中打,不是““函數”的打

“X”.

①y=2%()；

=)；

③y=3x-1().

(2)若點4(1,771)與點B(?i,-4)是關于x的函數"y=ax2+bx+c(a豐0)的一對點"，且該函數的對

稱軸始終位于直線x=2的右側，求a,b,c的值或取值范圍.

(3)若關于％的""函數"y=ax2+2bx+3c(a,6,c是常數)同時滿足下列兩個條件：①a+b+c=0,

②(2c+b-a)(2c+b+3a)<0,求該函數”截x軸得到的線段長度的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:-2的相反數是2,

故選：A.

根據相反數的定義進行判斷即可.

本題考查相反數，掌握相反數的定義是正確判斷的前提.

2.【答案】B

【解析】解：4與，I不是同類項，不能合并，計算錯誤，故本選項不符合題意.

B、原式=--2=”，計算正確，故本選項符合題意.

C、原式=式3*2=計算錯誤，故本選項不符合題意.

。、原式=。5'2=小。，計算錯誤，故本選項不符合題意.

故選：B.

根據二次根式的加減、乘除運算法則，同底數幕的除法運算法則以及幕的乘方與積的乘方計算法則進行解

答.

本題主要考查了二次根式的加減、乘除運算，塞的乘方與積的乘方以及同底數幕的除法，屬于基礎計算

題，熟記相關計算法則即可解答.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查的是二次函數圖象與幾何變換.

根據平移規律：左加右減可得答案.

【解答】

解：根據“左加右減”的規律可知，將函數y=(*-1)2+2的圖象向右平移1個單位長度，

所得的圖象解析式為y=Q-1一1尸+2,即y=(%-2)2+2.

4.【答案】D

【解析】解：BC//DE,A/IBC為等腰直角三角形，

1

???乙FBC=乙EAB=1(180°-90°)=45°,

???乙4FC是的外角，

??.Z.AFC=^FAE+Z.E=45°+30°=75°.

故選：D.

先根據BC〃DE及三角板的度數求出NE4B的度數，再根據三角形內角與外角的性質即可求出N4FC的度

數.

本題比較簡單，考查的是平行線的性質即三角形內角與外角的關系.

5.【答案】B

【解析】解：方程/—6久+8=0,

分解因式得：(x-2)(%-4)=0,

可得刀一2=?；騺V-4=0,

解得：X1=2,%2=4,

當％=2時，三邊長為2,3,6,不能構成三角形，舍去；

當％=4時，三邊長分別為3,4,6,此時三角形周長為3+4+6=13.

故選：B.

利用因式分解法求出方程的解得到第三邊長，即可求出此時三角形的周長.

此題考查了解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.

6.【答案】C

【解析】解：這組數據中成績為24、25的人數和為30-(2+3+6+7+9)=3,

則這組數據中出現次數最多的數30,即眾數30,

第15、16個數據分別為29、29,

則中位數為29,

故選：C.

根據眾數和中位數的定義求解可得.

本題主要考查統計量的選擇，解題的關鍵是掌握眾數和中位數的概念.

7.【答案】A

【解析】解：根據題意得，％-120且％-3不。，

解得比＞1且久力3.

故選：A.

根據被開方數大于等于0,分母不等于0列式進行計算即可得解.

本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數是非負數.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查函數值，當已知函數解析式時，求函數值就是求代數式的值，函數值是唯一的，而對應的自變量

可以是多個，熟練掌握函數值的定義是解答本題關鍵.

把y=8直接代入函數y=2)即可求出自變量的值.

【解答】

解：把y=8代入函數y=2),

先代入上邊的方程得：X=±76,

1?1%<2,久=不合題意舍去，故x=

再代入下邊的方程得：%=4,

-■?x>2,故久=4,

綜上，x的值為4或-區.

故選：D.

9.【答案】A

【解析】解：因為圓周率是一個無理數，是一個與圓的大小無關的常數，它等于該圓的周長與直徑的比,

所以表述正確的序號是②③；

故選：A.

根據實數的分類和兀的特點進行解答即可得出答案.

此題考查了實數，熟練掌握實數的分類和“?！钡囊饬x是解題的關鍵.

10.【答案】D

【解析】解：過點8作BMly軸、于點M,過點4作加Vlx軸于點N,延長江

交y軸于點。，

設點C的坐標為(l,y),則

???AC=4,BC=3

OM=3+y,ON=5,

.?.B(L3+y),gy),

,f3+y=fc

,,[5y=k'

**,5y=3+y,

解得，y=%

4

...k=OMxl=-.

故選：D.

過點B作BMly軸于點M,過點力作力N1x軸于點N,延長4c交y軸于點D,設點C的坐標為(l,y),根據反

比例函數上的點向x軸y軸引垂線形成的矩形面積等于反比例函數的k值是個定值作為相等關系求得y值后再

求算由直.

此題綜合考查了反比例函數與一次函數的性質，此題難度稍大，綜合性比較強，注意反比例函數上的點向

方軸y軸引垂線形成的矩形面積等于反比例函數的k值.

11.【答案】1.2x104

【解析】解：12000=1.2x104,

故答案為：1.2X104.

科學記數法的表示形式為ax的形式，其中n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a

時，小數點移動了多少位，九的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，門是正整數；當原

數的絕對值<1時，n是負整數.

此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10兀的形式，其中1<|a|<10,幾為整

數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

12.【答案】(-2,71)

【解析】解：設點4的坐標為Q,y),

?.?點2在第二象限，它到久軸、y軸的距離分別是，2、2,

\x\=2,|y|=

?.?點力在第二象限，

%<0,y>0,

4坐標為(-2,7^).

故答案為：(—2,，!).

根據第二象限內點的橫坐標是負數，縱坐標是正數，點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，至的軸的距離等

于橫坐標的絕對值解答即可.

本題主要考查的是各個象限的點的坐標的符號特點及點的坐標的幾何意義：點到x軸的距離為點的縱坐標

的絕對值；點到y軸的距離為點的橫坐標的絕對值.

13.【答案】—2

【解析】解：把y=—久代入方程組得：(2x~3x=\,

—2x=-1

解得:忙=\,

Ik——1

則8kn-8,-8的立方根是-2,

故答案為：-2

由題意得到y=-x,代入方程組求出k的值，即可求出8k的立方根.

此題考查了解二元一次方程組，以及立方根，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

14.【答案】-7或3d-5

【解析】解：根據題意得a=2,b=V11—1—2=—3,

.?.原式=VT1+2(711-3)±1=3/11-6.±1

.?.原式=3d-7或3d-5.

故答案為：3d-7或3/H-5.

由于3＜，五＜4,則可得到a=2,6=，五一1-2=，五-3,代入所求得式中，然后利用平方差公

式進行計算即可.

本題考查了二次根式的化簡求值：先根據已知條件把所求的代數式變形，然后利用整體的思想求值.也考

查了無理數的估算.

15.【答案】0或1

【解析】解：有兩種情況：

①當m=0時，函數為y=2久+1,

r圖象為一條直線，與％軸有一個交點，

.?.m=0；

②當租W0時，y=mx2+2%+1的圖象與汽軸只有一個公共點，

令y=0,貝ijzn%2+2%+1=0,

???4=4—4m=0,

解得：m=1,

故答案為：0或1.

有兩種情況：①當m=0時，函數為y=2%+l,是一條直線則與久軸有一個交點，②當7nH0時，貝|

mx2+2%+1=0的4=0即可求得.

本題考查了函數的圖象與坐標軸交點的問題，特別是一元二次方程的根的判別式，理解題意，靈活運用所

學知識是解決問題的關鍵.

16.【答案】解：(1)|-3|-(AA10-1)0+71cos45。+(點一】

=3-1+VIx三+4

=3-14-1+4

=7；

x+2X2-9x

I}%2—6x4-9%+2%—3

_%+2(%+3)(%—3)x

一(%-3)2計2%-3

_%+3x

x—3X—3

__3_

-C

當久=1時，

原式=合=一/

【解析】(1)利用絕對值的意義，零次塞的意義，特殊角的三角函數值，負整數指數幕的意義進行計算即

可；

(2)先把分式進行計算化簡，再把x=1代入計算即可.

本題考查了分式的化簡求值，掌握絕對值的意義，零次幕的意義，特殊角的三角函數值，負整數指數幕的

意義及分式的化簡是解題的關鍵.

'2x+5<3(x+2)①

17.【答案】解:2x-等<1②

由①)得：x>—1,

由②得：x<3,

不等式組的解集為：—1W久<3.

在數軸上表示為：[1????〉

-2-2-1012345

不等式組的非負整數解為2,1,0.

【解析】分別計算出兩個不等式的解集，再根據大小小大中間找確定不等式組的解集即可，再找出解集范

圍內的非負整數即可.

此題主要考查了解一元一次不等式組，解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后

再根據題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據得到的條件進而求得不等式組的整數解.

18.【答案】(1)40,320；

(2)補全條形統計圖如圖：

圖2

(3)畫樹狀圖如圖：

開始

N：彳3B

八/N

AABABAABAA

zyxzx3

共有12個等可能的結果，恰好抽到2名男生的結果有6個，

???恰好抽到2名男生的概率為盤=

【解析】解：(1)本次調查的學生總人數為4+10%=40(人)；

???本次抽取調查的學生中，“比較了解”的學生有：40-14-6-4=16(A),

.??估計該校800名學生中“比較了解”的學生有800x荒=320(人)，

故答案為：40,320；

(2)見答案;

(3)見答案。

⑴用“不了解”類的人數除以它所占的百分比得到調查的總人數；用800乘以樣本中“比較了解”的學生

所占的百分比即可；

(2)由(1)知本次抽取調查的學生中，“比較了解”的學生為16人，直接補全條形統計圖即可；

(3)畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，找出恰好抽到2名男生的結果數，然后根據概率公式計算.

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出n,再從中選出符合事件力

或B的結果數目小，然后根據概率公式計算事件4或事件B的概率.也考查了統計圖.

19.【答案】解：(1)???每個書包漲價萬元，

???y=(40-30+x)(600-10x),

=-10x2+500x+6000,

答：y與x的函數關系式為：y=-10x2+500%+6000；

(2)vy=-10x2+500%+6000

=-10(x2-5Ox)+6000,

=-10(/-50x+252)+6250+6000

=-10(%-25)2+12250,

.?.當x=25時，y有最大值12250,

即當書包售價為65元時，月最大利潤為12250元，10000元不是月最大利潤；

(3)解方程-10/+500%+6000=0

得，=60,x2=—1。，

即當漲價60元時和降價10元時利潤y的值為0,

由該二次函數的圖象性質可知，

當漲價大于60元時以及降價超過10元時利潤y的值為負，

所以書包售價在大于30元且低于100元時商場就有利潤.

【解析】此題主要考查了二次函數的應用，準確分析題意，列出y與尤之間的二次函數關系式是解題關鍵.

(1)根據設每個書包漲價x元，由這種書包的售價每上漲1元，其銷售量就減少10個，列出函數關系式，

(2)用配方法求出二次函數的最大值即可，

(3)令二次函數等于0,利用二次函數的性質解得x的取值范圍.

20.【答案】解：(1)當—4<x<—1時，一次函數大于反比例函數的值；

(2)把4(一4,0.5),代入y=kx+b得,

「"第=嚴，解得卜?

口+b=2^=|

所以一次函數解析式為y=9+1；

把B(-l,2)代入y=p得m=—1x2=—2；

(3)連接PC、PD,如圖，設P點坐標為+

?■?APCA^APDB面積相等，

1II1s

乙乙?(t+4)=乙--1?(2-乙-1-乙,

解得"-全

P點坐標為(―|,|).

【解析】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數圖象的交點坐標滿足兩函

數解析式.也考查了待定系數法求函數解析式以及觀察函數圖象的能力.

(1)觀察函數圖象得到當-4<%<-1時，一次函數圖象都在反比例函數圖象上方;

(2)先利用待定系數法求一次函數解析式，然后把8點坐標代入y=/可計算出租的值;

(3)設P點坐標為+|),利用三角形面積公式可得到義.1.(t+4)解方程得到t=

-|,從而可確定P點坐標.

21.【答案】解：(1)拋物線y=ax2+b%+c(aH0)頂點為C(l,l)且過原點。，

可得一?=1,4加-廬=c=0,

2a4a

???a=—1,b=2,c=0.

(2)由(1)知拋物線的解析式為y=-x2+2x,

故設P點的坐標為(6，一爪2+2m),則M點的坐標(科3，

PFM是以PM為底邊的等腰三角形

???PF=MF,即(nt—I)2+(―m2+2m--)2=(m—l)2+(---)2

313i

???—7m+2m--=彳r或一7mN+2m--=

4L4Z

①當一zu?+2m--=7時，即-4租2+87n—5=0

4L

???△=64-80=-16<0

???此式無解

②當一Tn?+2m—7=—/時，即加2—2m=—7

4L4

m=1+苧或m=1一停

I、當m=l+￥時，P點的坐標為（1+苧,?M點的坐標為（1+苧,|）

II、當加=1一個時，P點的坐標為（1—苧,?M點的坐標為（1—苧,|）,

經過計算可知PF=PM,

??.△MPF為正三角形，

??/點坐標為：（1+苧,》或（1—苧，6

⑶當t=襯，即N與F重合時PM=PN恒成立.

證明：過P作PH與直線x=1的垂線，垂足為H,

在RtAPNH中,

PN2=(%—I)2+(t—y)2=x2—2x+1+t2—2ty+y2,

PM2=(|-y)2=y2_|y+II，

P是拋物線上的點，

Y=1

y=—x24-2x；

cor

???PN2=l-y+t2-2ty+y2=y2--y+—,

525

???1一y+產一2ty+y2=y2--y+—,

移項，合并同類項得：—,y+2ty+2—/=o,

L16

???y(2t一|)+爆一t2)=0對任意y恒成立.

2t—=0且＞/=0,

216

t=［，

4

o

故t=J時，PM=PN恒成立.

4

???存在這樣的點.

【解析】（1）由拋物線、=a/+b久+c（a力0）頂點為C（l,l）且過原點。，可得a,b,c的值.

（2）過P作直線尤=1的垂線，可求P縱坐標，知道M、P、F三點坐標，就能求出三角形各邊的長.

(3)存在，RtAPNH中,利用勾股定理建立起y與t的關系式，推出t的值，即可得知存在這樣的點.

本題是二次函數的綜合題，考查了二次函數圖象的對稱軸問題，判定三角形是正三角形的方法，綜合性

強，能力要求極高.

22.【答案】解：⑴丁,，X.

(2)A,B是“H點”,

.??4B關于原點對稱，

???m=4,n=—1,

???4(1,4),8(-1,-4)