課時跟蹤檢測（六）二元一次不等式（組）及簡單的線性規劃問題一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1．不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面區域的面積等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D．eq\f(3,4)解析：選C平面區域如圖所示．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝4，,3x＋y＝4.))得A(1,1)，易得B(0,4)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，|BC|＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3).所以S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\f(8,3)×1＝eq\f(4,3).2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標平面內表示的區域(用陰影部分表示)應是()解析：選C(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0.))畫出圖形可知選C.3．設變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,2x－y－3≤0，))則目標函數z＝2x＋3y的最大值為()A．7 B.8C．22 D．23解析：選D由約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,2x－y－3≤0))作出可行域如圖中陰影部分，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,2x－y－3＝0))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝5，))則B(4,5)，將目標函數z＝2x＋3y變形為y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3).由圖可知，當直線y＝－eq\f(2,3)x＋eq\f(z,3)過B時，直線在y軸上的截距最大，此時z取最大值，為2×4＋3×5＝23.4．點(－2，t)在直線2x－3y＋6＝0的上方，則t的取值范圍是________．解析：因為直線2x－3y＋6＝0的上方區域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由點(－2，t)在直線2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞eq\f(2,3).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))5．已知實數x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x≤4，,x＋y≥0.))則z＝x＋3y的最小值為________．解析：依題意，在坐標平面內畫出不等式組表示的平面區域及直線x＋3y＝0，如圖，平移直線y＝－eq\f(x,3)，當直線經過點(4，－4)時，在y軸上的截距達到最小，此時z＝x＋3y取得最小值4＋3×(－4)＝－8.答案：－8二保高考，全練題型做到高考達標1．(2018·金華四校聯考)已知實數x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1，,x＋y≤m.))如果目標函數z＝x－y的最小值為－1，則實數m等于()A．7 B.5C．4 D．3解析：選B畫出x，y滿足的可行域如圖中陰影部分所示，可得直線y＝2x－1與直線x＋y＝m的交點使目標函數z＝x－y取得最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x＋y＝m，))解得x＝eq\f(m＋1,3)，y＝eq\f(2m－1,3)，代入x－y＝－1，得eq\f(m＋1,3)－eq\f(2m－1,3)＝－1，∴m＝5.選B.2．在平面直角坐標系中，若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－1≤0，,ax－y＋1≥0))(a為常數)所表示的平面區域的面積等于2，則a的值為()A．－5 B.1C．2 D．3解析：選D因為ax－y＋1＝0的直線恒過點(0,1)，故看作直線繞點(0,1)旋轉，不等式組表示的平面區域為如圖所示陰影部分△ABC.由題意可求得A(0,1)，B(1,0)，C(1，a＋1)，∵S△ABC＝2，BC＝|a＋1|，BC邊上的高為AD＝1，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×|a＋1|×1＝2，解得a＝－5或3，∵當a＝－5時，可行域不是一個封閉區域，當a＝3時，滿足題意，選D.3．(2017·浙江新高考研究聯盟)過點P(－1,1)的光線經x軸上點A反射后，經過不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4≥0，,x＋y－2≥0，,3x＋y－9≤0))所表示的平面區域內某點(記為B)，則|PA|＋|AB|的取值范圍是()A．(2eq\r(2)，5) B.[2eq\r(2)，5]C．[2,5] D．[2eq\r(2)，5)解析：選B不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4≥0，,x＋y－2≥0，,3x＋y－9≤0))所表示的平面區域如圖中陰影部分所示，點P關于x軸的對稱點為P1(－1，－1)，|PA|＋|AB|＝|P1B|，過點P1作直線x＋y－2＝0的垂線，則|P1B|的最小值為eq\f(|－1－1－2|,\r(2))＝2eq\r(2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,3x＋y－9＝0))得B0(2,3)，則|P1B|的最大值為|P1B0|＝eq\r(2＋12＋3＋12)＝5.故2eq\r(2)≤|PA|＋|AB|≤5.4．(2018·浙江東部六校聯考)實數x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥a，,y≥x，,x＋y≤2))(a＜1)，且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，則a的值是()A.eq\f(2,11) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D．eq\f(11,2)解析：選B如圖所示，平移直線2x＋y＝0，可知在點A(a，a)處z取最小值，即zmin＝3a，在點B(1,1)處z取最大值，即zmax＝3，所以12a＝3，即a＝eq\f(1,4).5．(2018·余杭地區部分學校測試)若函數y＝f(x)的圖象上的任意一點P的坐標為(x，y)，且滿足條件|x|≥|y|，則稱函數f(x)具有性質S，那么下列函數中具有性質S的是()A．f(x)＝ex－1 B.f(x)＝ln(x＋1)C．f(x)＝sinx D．f(x)＝|x2－1|解析：選C作出不等式|x|≥|y|所表示的平面區域如圖中陰影部分所示，若函數f(x)具有性質S，則函數f(x)的圖象必須完全分布在陰影區域①和②部分，易知f(x)＝ex－1的圖象分布在區域①和③部分，f(x)＝ln(x＋1)的圖象分布在區域②和④部分，f(x)＝sinx的圖象分布在區域①和②部分，f(x)＝|x2－1|的圖象分布在①、②和③部分，故選C.6．(2018·湖州五校聯考)設x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,kx－y≥0，,x＋y≤1，))且目標函數z＝x＋ky－2(k>1)的最大值小于0，則實數k的取值范圍為________．解析：目標函數可變形為y＝－eq\f(1,k)x＋eq\f(z＋2,k).由于k>1，所以－1<－eq\f(1,k)<0，不等式組表示的平面區域如圖中陰影部分所示．根據目標函數的幾何意義，只有直線y＝－eq\f(1,k)x＋eq\f(z＋2,k)在y軸上的截距最大時，目標函數取得最大值．顯然在點A處取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＝0，,x＋y＝1))得交點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋k)，\f(k,1＋k)))，所以目標函數的最大值eq\f(1,1＋k)＋eq\f(k2,1＋k)－2<0，即k2－2k－1<0，解得1－eq\r(2)<k<1＋eq\r(2)，又k>1，所以實數k的取值范圍為(1,1＋eq\r(2))．答案：(1,1＋eq\r(2))7．(2018·金麗衢十二校聯考)若實數x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－3≤0，,3x－y－9≥0，,y≤3，))則eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍是________．解析：作出不等式組所表示的平面區域，如圖中陰影部分所示，eq\f(y＋1,x＋1)的幾何意義為可行域內一點(x，y)與點(－1，－1)連線的斜率，故由圖可知，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋1,x＋1)))min＝eq\f(0＋1,3＋1)＝eq\f(1,4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋1,x＋1)))max＝eq\f(3＋1,4＋1)＝eq\f(4,5)，故eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(4,5))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(4,5)))8．(2018·西安質檢)若變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|＋|y|≤1，,xy≥0，))則2x＋y的取值范圍為________．解析：作出滿足不等式組的平面區域，如圖中陰影部分所示，平移直線2x＋y＝0，經過點(1,0)時，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，經過點(－1,0)時，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范圍為[－2,2]．答案：[－2,2]9．已知D是以點A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)為頂點的三角形區域(包括邊界與內部)．如圖所示．(1)寫出表示區域D的不等式組．(2)設點B(－1，－6)，C(－3,2)在直線4x－3y－a＝0的異側，求a的取值范圍．解：(1)直線AB，AC，BC的方程分別為7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原點(0,0)在區域D內，故表示區域D的不等式組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0.))(2)根據題意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]＜0，即(14－a)(－18－a)＜0，解得－18＜a＜14.故a的取值范圍是(－18,14)．10．若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.))(1)求目標函數z＝eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)的最值；(2)若目標函數z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍．解：(1)作出可行域如圖，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直線eq\f(1,2)x－y＋eq\f(1,2)＝0，過A(3,4)取最小值－2，過C(1,0)取最大值1.所以z的最大值為1，最小值為－2.(2)直線ax＋2y＝z僅在點(1,0)處取得最小值，由圖象可知－1＜－eq\f(a,2)＜2，解得－4＜a＜2.故所求a的取值范圍為(－4,2)．三上臺階，自主選做志在沖刺名校1．設x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,\f(x,3a)＋\f(y,4a)≤1))若目標函數z＝eq\f(y＋3,x)的最小值為1，則a的值為________．解析：可行域如圖中陰影部分所示，目標函數z＝eq\f(y＋3,x)可看作是過點(0，－3)與可行域內一點(x，y)的直線的斜率．從可行域可看出，過點A時斜率最小，即eq\f(0－－3,3a－0)＝1，∴a＝1.答案：12．某工廠投資生產A產品時，每生產一百噸需要資金200萬元，需場地200m2，可獲利潤300萬元；投資生產B產品時，每生產一百噸需要資金300萬元，需場地100m2，可獲利潤200萬元．現某單位可使用資金1400萬元，場地900m2，問：應做怎樣的組合投資，可使獲利最大？解：先將題中的數據整理成下表，然后根據此表設未知數，列出約束條件和目標函數.資金(百萬元)場地(百平方米)利潤(百萬元)A產品(百噸)223B產品(百噸)312限制149設生產A產品x百噸，生產B產品y百噸，利潤為S百萬元，則約束條件為eq\b\lc\{\