第三章導數及其應用專題3.3導數與函數的極值、最值1.借助函數圖象，了解函數在某點取得極值的必要和充分條件.2.會用導數求函數的極大值、極小值.3.掌握利用導數研究函數最值的方法.4.會用導數研究生活中的最優化問題．考點一利用導數求解函數的極值問題考點二利用導數求函數最值（不含參問題）考點三利用導數求函數最值（含參問題）知識梳理1．函數的極值(1)一般地，設函數y＝f(x)的定義域為D，設x0∈D，如果對于x0附近的任意不同于x0的x，都有①f(x)<f(x0)，則稱x0為函數f(x)的一個極大值點，且f(x)在x0處取極大值；②f(x)>f(x0)，則稱x0為函數f(x)的一個極小值點，且f(x)在x0處取極小值．極大值點與極小值點都稱為極值點，極大值與極小值都稱為極值．顯然，極大值點就是在其附近函數值最大的點，極小值點就是在其附近函數值最小的點．(2)一般地，如果x0是y＝f(x)的極值點，且f(x)在x0處可導，則必有f′(x0)＝0.(3)求可導函數f(x)的極值的步驟①確定函數的定義域，求導數f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③列表；④利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據極值點左右兩側單調性的變化情況求極值．2．函數的最大(小)值(1)函數f(x)在區間[a，b]上有最值的條件：一般地，如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求函數y＝f(x)在區間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數y＝f(x)在區間(a，b)內的極值；②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．第一部分核心典例題型一利用導數求解函數的極值問題1．若函數在處取得極值，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【詳解】因為，所以，又函數在處取得極值，所以，即．此時，當或時，，當時，，故是的極大值點，故符合題意．故選：D．2．已知函數有極大值和極小值，則a的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【詳解】函數，，函數有極大值和極小值，所以其導函數有兩個不同的解，所以或.故選：B3．設函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】的定義域為，令其分子為，在區間上有兩個零點，故，解得，故選：B.4．已知函數，其導函數的圖象如圖所示，則（

）A．在上為減函數 B．在處取極小值C．在上為減函數 D．在處取極大值【答案】C【詳解】由導函數圖象知，在和上單增，在，上單減，在處取極大值，在處取極小值.故選：C.5．已知函數在區間恰有3個零點，4個極值點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，所以，因為在區間內恰好有3個零點，4個極值點，結合函數圖象可得：，解得，的取值范圍是.故選：A.題型二利用導數求函數最值（不含參問題）6．函數在區間上的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對于函數，.當時，；當時，.所以，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.所以，.故選：C.7．函數在上的最小值是（

）A． B． C．0 D．【答案】C【詳解】因為，所以，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；所以當時，函數值為0，當時，函數值為，所以其最小值為0.故選：C.8．函數在上的最值是（

）A．最大值是4，最小值是 B．最大值是2，最小值是C．最大值是4，最小值是 D．最大值是2，最小值是【答案】A【詳解】因為，所以，由有：或，由有：，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以在上的最大值是4，最小值是，故B，C，D錯誤.故選：A.9．函數的最小值為（

）A． B． C．5 D．6【答案】D【詳解】根據題意，有于是從而x06因此所求函數的最小值為6．故選：D.10．函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】當時，，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，所以在處取得極小值，，當時，，故，，當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增，且，顯然，綜上：只有D選項滿足要求.故選：D題型三利用導數求函數最值（含參問題）11．函數在上的最大值為4，則的值為（

）A．7 B． C．3 D．4【答案】D【詳解】解：∵，∴∴導數在時，，單調遞減；導數在時，，單調遞增；∵，，∴在處取得最大值為，即，故選：D.12．已知數列滿足，若數列的最小項為1，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】數列，令，，由，解得，此時函數單調遞增；由，解得，此時函數單調遞減．對于來說，最小值只能是或中的最小值．，∴最小，∴，解得．故選：B．13．若函數，（且）有兩個零點，則m的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令,,①當,時，，則,則函數在上單調遞增，時，，所以,則函數在上單調遞減；②當時，,，所以,則函數在上單調遞增，當時，，所以,則函數在上單調遞減．故當且時，在時遞減；在時遞增，則為的極小值點，且為最小值點，且最小值.又函數有兩個零點，所以方程有兩個不相等的實根，而，所以且，解得,故選：A.14．已知函數在上存在最小值，則函數的零點個數為（

）A．0 B．1個C．2個 D．無法確定【答案】C【詳解】，當時即時，在上恒成立，此時為上的增函數，故不存在最小值.當時即時，在上有兩個不同的零點，當時，；當時，，故在上為增函數，在為減函數，當時，，當時，，故當時，存在最小值，此時有兩個不同的零點故選：C.y（單位：kg）與干周x（樹干橫截面周長，單位：cm）可用模型模擬，其中，，均是常數.則下列最符合實際情況的是（

）A．時，y是偶函數 B．模型函數的圖象是中心對稱圖形C．若，均是正數，則y有最大值 D．蘋果樹負載量的最小值是【答案】C【詳解】因為的定義域為，不關于原點對稱，故A不正確；模型函數的圖象也不可能是中心對稱圖象，故B不正確；，則或，若，，均是正數，則，令，則；令，則，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，y有最大值，故C正確；，若，則，函數在上單調遞增，所以，蘋果樹負載量的最小值不是，故D不正確.故選：C.第二部分課堂達標一、單選題1．如圖是函數的導函數的圖象，下列結論正確的是（

）A．在處取得極大值 B．是函數的極值點C．是函數的極小值點 D．函數在區間上單調遞減【答案】C【詳解】由圖象可知：當時，單調遞減，當時，單調遞增，故是函數的極小值點，無極大值.故選：C2．函數的極值點為（

）A．和 B．和 C． D．【答案】C【詳解】因為，則，由題意可得，解得或，令，可得或，列表如下：x00+減極小值增增因此，函數的極值點為.故選：C.3．已知函數的導函數則的極值點的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】由得，，，或時，，不是極值點，或時，，時，，因此都是極值點．極點點有2個．故選：C．4．函數的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得.由，得，由，得，則在上單調遞減，在上單調遞增，故.故選：D.5．函數在上的最小值為（

）A． B． C．0 D．【答案】B【詳解】因為，所以，當時，，即在時單調遞增，當時，，即在時單調遞減，則在時取得極小值，也是最小值，故.故選：B6．某工廠生產一種產品，每個月的固定成本為元，每生產一件產品，成本增加元．已知每個月該工廠的銷售額與月產量的關系是，，則該工廠每個月的利潤的最大值為（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】C【詳解】設每個月該工廠的利潤為，則（），求導得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，則當時，取得最大值，所以該工廠每個月的利潤的最大值為元．故選：C7．設函數（其中為自然對數的底數），若存在實數a使得恒成立，則實數m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】函數的定義域為，由，得，所以，令，由題意知，函數和函數的圖象，一個在直線上方，一個在直下方，等價于一個函數的最小值大于另一個函數的最大值，由，得，所以當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，沒有最小值，由，得，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以有最大值，無最小值，不合題意，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以即，所以，即m的取值范圍為．故選：A．8．如圖，正方形的中心與正方形的中心重合，正方形的面積為2，截去如圖所示的陰影部分后，將剩下的部分翻折得到正四棱錐(A，B，C，D四點重合于點M)，當四棱錐體積達到最大值時，圖中陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】取正方形中心為，連接交于點，正方形的面積為2，故正方形的邊長為，，設，則，所得的棱錐側面的高，故棱錐的高為，四棱錐體積為，令，則，當時，，當時，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴當時，體積最大，此時，，由勾股定理可得，點到邊長的距離，，∴陰影部分面積.故選：A．二、多選題9．已知函數，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為C．曲線在處的切線過原點 D．函數的導函數存在最大值1【答案】AD【詳解】函數，定義域為，，令，解得，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，無最大值，故A正確，B錯誤；已知，，則曲線在處的切線為，切線不過原點，故C錯誤；因為，當時，有最大值1，故D正確.故選：AD．10．已知函數，.下列結論正確的是（

）A．函數不存在最大值，也不存在最小值 B．函數存在極大值和極小值C．函數有且只有1個零點 D．函數的極小值就是的最小值【答案】BCD【詳解】，則，令，令或，所以函數在上單調遞減，在和上單調遞增，且，，如圖，所以，函數在處取得極大值，在處取得極小值，極小值即為最小值，且函數有且只有一個零點0.故選：BCD.三、填空題11．已知的兩個極值點分別為，2，則函數在區間上的最大值為．【答案】/【詳解】，因為的兩個極值點分別為，2，所以，所以，所以，，令，解得：或；令，解得：.所以在和上單調遞增，在上單調遞減，所以，2是的兩個極值點，則，所以函數在區間上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在區間上的最大值為.故答案為：.12．如果存在函數（為常數），使得對函數定義域內任意的都有成立，那么為函數的一個“線性覆蓋函數”．已知，，若為函數在區間上的一個“線性覆蓋函數”，則實數的取值范圍．【答案】【詳解】由題意可知對任意的恒成立，即對任意的恒成立，從而得對任意的恒成立，設，，則，，易知在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以.故答案為:.四、解答題13．已知函數在時取得極大值4.(1)求實數a，b的值；(2)求函數在區間上的最值.【詳解】（1），由題意得，解得.此時，，當時，，所以在單調遞增，當時，，所以在單調遞減，當時，，所以在單調遞增，所以在時取得極大值.所以.（2）由（1）可知，在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增.又因為，，，，所以函數在區間上的最大值為4，,最小值為0.14．喀什二中擬在高二年段舉行手工制作書柜比賽，現有一邊長為的正方形硬紙板，紙板的四角截去四個邊長為的小正方形，然后做成一個無蓋方柜，(1)試把方柜的容積表示為的函數？(2)多大時，方柜的容積最大？并求最大容積．【詳解】（1），又，解得，故關于的函數為，；（2），令，解得（舍去）或，令，解得，故在上單調遞增，在上單調遞減，故時，方柜的容積最大，最大容積為.15．（1）已知對于恒成立，求實數的取值范圍；（2）已知函數，若不等式在R上恒成立，試求a的取值范圍.【詳解】（1）對于恒成立，令，，只需即可，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得極小值，也是最小值，所以，故，實數的取值范圍是；（2），故在R上恒成立，即在R上恒成立，令，只需，則，當時，，單調遞增，當時，，單調