遼寧省營口市2022-2023學年高二上學期期末數學試題含解析2022-2023學年度上學期期末教學質量監測二年級數學試卷第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若拋物線C：上點A到焦點F的距離為3，則點A到x軸的距離為()A.1 B.2 C.3 D.42.正常情況下，某廠生產的零件尺寸X服從正態分布(單位：m)，，則()A.0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.93.過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線的標準方程為()A. B. C. D.4.在射擊比賽中，甲乙兩人對同一目標各進行一次射擊，甲擊中目標的概率為，乙擊中目標的概率為，在目標被擊中的情況下，甲擊中目標的概率為()A. B. C. D.5.平行六面體中，，則()A.1 B.2 C.3 D.－16.空間中平面、平面、平面兩兩垂直，點P到三個平面的距離分別為、、，若，則點P的軌跡是()A.一條射線 B.一條直線 C.三條直線 D.四條直線7.有5名學生全部分配到4個地區進行社會實踐，且每名學生只去一個地區，其中A地區分配了1名學生的分配方法共()種A.120 B.180 C.405 D.7818.希臘數學家帕普斯在他的著作《數學匯篇》中，完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統一定義，并對這一定義進行了證明，他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數e的點的軌跡叫做圓錐曲線：當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.現有方程表示的圓錐曲線的離心率為()A. B. C.3 D.5二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法正確的是()A.相關系數r越大，兩個變量之間的線性相關性越強B.相關系數r與回歸系數同號C.當時，是A與B獨立的充要條件D.正態曲線越“胖”，方差越小10.某校的高一和高二年級各10個班級，從中選出五個班級參加活動，下列結論正確的是()A.高二六班一定參加的選法有種B.高一年級恰有2個班級的選法有種C.高一年級最多有2個班級的選法為種D.高一年級最多有2個班級的選法為種11.若拋物線C：，且A、B兩點在拋物線上，F為焦點，下列結論正確的是()A.若A、B、F共線，則面積的最小值為2B.若，則AB恒過C.經過點且與拋物線有一個公共點的直線共有兩條D.若，則A、B兩點到準線的距離之和大于等于1012.如圖所示，三棱錐中，AP、AB、AC兩兩垂直，，點M、N、E滿足，，，、，則下列結論正確的是()A.當AE取得最小值時，B.AE與平面ABC所成角為，當時，C.記二面角為，二面角為，當時，D當時，第II卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.擲一枚質地均勻的骰子，若將擲出的點數記為得分，則得分的均值為______.14.為了迎接節日，商場將相同樣式的紅、黃、藍三種顏色的彩燈各3盞，串成一排懸掛，共有______種不同的懸掛方式.(用數字作答)15.由曲線圍成的圖形的面積為_______________．16.已知雙曲線C：，點，、分別為雙曲線的左右焦點，線段交雙曲線左支于點P，點關于的對稱點為Q，則的周長為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等腰三角形ABC，底邊上兩頂點坐標為，，頂點A在直線上，(1)求BC邊垂直平分線的方程；(2)求點A的坐標.18.某市銷售商為了解A、B兩款手機的款式與購買者性別之間的是否有關系，對一些購買者做了問卷調查，得到2×2列聯表如下表所示：購買A款購買B款總計女25男40總計100已知所調查的100人中，A款手機的購買者比B款手機的購買者少20人.(1)將上面的2×2列聯表補充完整；(2)是否有99%的把握認為購買手機款式與性別之間有關，請說明理由；(3)用樣本估計總體，從所有購買兩款手機的人中，選出4人作為幸運顧客，求4人中購買A款手機的人數不超過1人的概率.附：0.10.050.0100050.001k2.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，19.在下面兩個條件中任選一個，補充在問題中，并對其求解.條件1：展開式第二項與第六項的二項式系數相等；條件2：所有項的系數和為4096.問題：在的展開式中，______.(1).求n的值及二項式系數最大的項；(2).若，求.20.已知三棱柱，，，，在平面ABC上的射影為B，二面角的大小為，(1)求與BC所成角余弦值；(2)在棱上是否存在一點E，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.21.某一部件由4個電子元件按如圖方式連接而成，4個元件同時正常工作時，該部件正常工作，若有元件損壞則部件不能正常工作，每個元件損壞的概率為，且各個元件能否正常工作相互獨立.(1)當時，求該部件正常工作的概率；(2)使用該部件之前需要對其進行檢測，有以下2種檢測方案：方案甲：將每個元件拆下來，逐個檢測其否損壞，即需要檢測4次；方案乙：先將該部件進行一次檢測，如果正常工作則檢測停止，若該部件不能正常工作則需逐個檢測每個元件；進行一次檢測需要花費a元.①求方案乙的平均檢測費用；②若選方案乙檢測更劃算，求p的取值范圍.22.已知橢圓C：，短軸長為4，離心率為，直線l過橢圓C的右焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點.(1)求橢圓C的標準方程；(2)求面積的取值范圍；(3)若圓O以橢圓C的長軸為直徑，直線l與圓O交于C、D兩點，若動點滿足，試判斷直線MC與圓O的位置關系，并說明理由．2022-2023學年度上學期期末教學質量監測二年級數學試卷第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若拋物線C：上點A到焦點F的距離為3，則點A到x軸的距離為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據題意結合拋物線的定義運算求解.【詳解】由題意可知：拋物線C：的準線為，由拋物線C：上點A到焦點F的距離為3，即點A到準線l的距離為3，故點A到x軸的距離為.故選：B.2.正常情況下，某廠生產的零件尺寸X服從正態分布(單位：m)，，則()A.0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.9【答案】D【解析】【分析】根據正態分布概率的對稱性求解.【詳解】因為，所以，所以，故選:D.3.過點且與橢圓有相同焦點的雙曲線的標準方程為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據橢圓的標準方程可求焦點坐標為，根據焦點坐標及點可求雙曲線的方程.【詳解】橢圓的標準方程為，故，可得焦點坐標為.設雙曲線的方程為，故，解得，故雙曲線的標準方程為.故選:A.4.在射擊比賽中，甲乙兩人對同一目標各進行一次射擊，甲擊中目標的概率為，乙擊中目標的概率為，在目標被擊中的情況下，甲擊中目標的概率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先得出目標被擊中的概率，再得出甲擊中目標的概率，即可得出答案.【詳解】由題意得目標被擊中的概率為：，甲擊中目標的概率為：，則在目標被擊中的情況下，甲擊中目標的概率為：，故選：C.5.平行六面體中，，則()A.1 B.2 C.3 D.－1【答案】B【解析】【分析】根據平行六面體的性質結合向量的運算即可得出答案.【詳解】因為平行六面體的六個面均為平行四邊形，則，，，則，而，，則，則，即，故選：B.6.空間中平面、平面、平面兩兩垂直，點P到三個平面的距離分別為、、，若，則點P的軌跡是()A.一條射線 B.一條直線 C.三條直線 D.四條直線【答案】D【解析】【分析】根據長方體的體對角線性質建立一個以、、分別為長方體的長寬高，平面，平面，平面分別為平面、平面、平面，此時有四條體對角線滿足要求.【詳解】以、、分別為長方體的長寬高，如圖：，則若平面，平面，平面分別為平面、平面、平面，根據長方體的體對角線性質可得，只有在長方體體對角線上的點滿足，則點P的軌跡是四條直線，故選:D.7.有5名學生全部分配到4個地區進行社會實踐，且每名學生只去一個地區，其中A地區分配了1名學生的分配方法共()種A.120 B.180 C.405 D.781【答案】C【解析】【分析】先選一名學生分配到地，剩下的4名學生在其他三個地區任選一個，由乘法原理可得．【詳解】由題意，先選一名學生分配到地，剩下的4名學生在其他三個地區任選一個，方法數為，故選：C．8.希臘數學家帕普斯在他的著作《數學匯篇》中，完善了歐幾里得關于圓錐曲線的統一定義，并對這一定義進行了證明，他指出，到定點的距離與到定直線的距離的比是常數e的點的軌跡叫做圓錐曲線：當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線.現有方程表示的圓錐曲線的離心率為()A. B. C.3 D.5【答案】D【解析】【分析】將原等式變為結合幾何意義求解.【詳解】由得，即，表示動點到定點的距離與到定直線的距離之比等于5，所以該圓錐曲線的離心率為5，故選:D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法正確的是()A.相關系數r越大，兩個變量之間的線性相關性越強B.相關系數r與回歸系數同號C.當時，是A與B獨立的充要條件D.正態曲線越“胖”，方差越小【答案】BC【解析】【分析】A選項，結合相關系數的意義作出判斷，A錯誤；B選項，分r為正和r為負兩種情況進行說明；C選項，從條件概率公式和獨立事件的定義進行分析即可；D選項，從正態曲線的性質得到方差越大.【詳解】相關系數，相關系數越大，兩個變量之間的線性相關性越強，A錯誤；相關系數r為正時，則兩個變量為正相關，故回歸系數為正，相關系數r為負時，則兩個變量為負相關，故回歸系數為負，故相關系數r與回歸系數同號，B正確；當時，，因為，所以，即，故A與B獨立，若A與B獨立，則，因為，所以，所以當時，是A與B獨立的充要條件，C正確；正態曲線越“胖”，說明隨機變量的取值越分散，故方差越大，D錯誤.故選：BC10.某校高一和高二年級各10個班級，從中選出五個班級參加活動，下列結論正確的是()A.高二六班一定參加的選法有種B.高一年級恰有2個班級的選法有種C.高一年級最多有2個班級的選法為種D.高一年級最多有2個班級的選法為種【答案】BCD【解析】【分析】對于AB根據組合知識即可驗證，對于CD先用組合知識求出從兩個年級中選出五個班級參加活動共有種，再根據分類加法原則得出從兩個年級中選出五個班級參加活動共有種，兩者相等得出，再得出高一年級最多有2個班級的選法即可驗證.【詳解】對于A：高二六班一定參加的選法有種，故A錯誤；對于B：高一年級恰有2個班級的選法有種，故B正確；對于C與D：從兩個年級中選出五個班級參加活動共有種，其中若高一年級0個，高二年級5個，有種，其中若高一年級1個，高二年級4個，有種，其中若高一年級2個，高二年級3個，有種，其中若高一年級3個，高二年級2個，有種，其中若高一年級4個，高二年級1個，有種，其中若高一年級5個，高二年級0個，有種，則，則，而高一年級最多有2個班級的選法為種，故C與D都正確；故選：BCD.11.若拋物線C：，且A、B兩點在拋物線上，F為焦點，下列結論正確的是()A.若A、B、F共線，則面積的最小值為2B.若，則AB恒過C.經過點且與拋物線有一個公共點的直線共有兩條D.若，則A、B兩點到準線的距離之和大于等于10【答案】AD【解析】【分析】對A，設直線的方程為，，，將直線與拋物線方程聯立，得到韋達定理式，代入，求出其最小值即可；對B，設直線直線的方程為，分別求出坐標，求出并化簡直線方程，即可得到定點坐標；對C，首先討論直線水平時的情況，然后再設直線方程為，聯立拋物線方程，利用即可；對D，分直線過焦點和不過焦點兩種情況討論即可.【詳解】對A，由題得，設直線的方程為，，，聯立拋物線方程得，，，，，當且僅當時，等號成立，此時直線方程為，故面積的最小值為2，故A正確；對B，設直線的方程為，顯然，聯立拋物線方程得，解得或0(舍)，此時，，，則用代換可得，當存在時，，，則直線的方程為，即，此時經過定點，當不存在時，此時，解得，此時，綜上恒過定點，故B錯誤；對C，當直線方程為時，得，，此時直線與拋物線只有一個公共點，設過點的直線方程為，聯立拋物線方程得，因為直線與拋物線有一個公共點，故，解得，此時直線方程為，綜上，經過點且與拋物線有一個公共點的直線共有三條，故C錯誤，對D，當直線經過，在A選項基礎上得，拋物線的準線方程為，根據拋物線定義得，，故，當且僅當時等號成立，故此時，若，則、兩點到準線的距離之和為，當直線不經過，分別過點和點作準線的垂線段，垂足分別為點，分別連接，根據拋物線定義得，，在中，，即，故此時、兩點到準線的距離之和大于10，綜上所述，若,則、兩點到準線的距離之和大于等于10，故D正確.故選：AD.【點睛】結論點睛：若拋物線方程為，若過原點分別作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于點，則直線過定點.12.如圖所示，三棱錐中，AP、AB、AC兩兩垂直，，點M、N、E滿足，，，、，則下列結論正確的是()A.當AE取得最小值時，B.AE與平面ABC所成角為，當時，C.記二面角為，二面角為，當時，D當時，【答案】CD【解析】【分析】對于A：當AE取得最小值時，平面，根據已知可得三棱錐是正三棱錐，則點為正三角形的中心，即可根據相似與正三角形的中點性質得出答案；對于B：設的中點為，則平面，利用等體積法求出，根據已知結合幾何知識得出，即可得出，即可得出；對于C：過作，與交于，連接，，即可得出，，且，則為等腰直角三角形，且，設，根據已知得出，，即可得出，，即可得出答案；對于D：當時，點在以為直徑的圓上，即為與該圓的交點，即可得出，根據幾何知識計算即可得出答案.【詳解】對于A：當AE取得最小值時，平面，AP、AB、AC兩兩垂直，，，則三棱錐是正三棱錐，則點為正三角形的中心，則，，故A錯誤；對于B：設的中心為，則平面，由等體積法可得：，解得，當，時，易知點到直線的距離為，點到點與點的距離相等，都為，即，則，則,故B錯誤；對于C：過作，與交于，連接，，，，，面，面，故面，，面，面，故面，且都屬于平面，，平面平面，AP、AB、AC兩兩垂直，且平面，，平面，則平面，都垂直于，則，，且，則為等腰直角三角形，且，設，則當時，，，在中，，在△中，，則，故C正確；對于D：當時，點在以為直徑的圓上，即為與該圓的交點，設圓心，連接與交于點，連接，如圖，則，則，即，，AP、AB、AC兩兩垂直，，，，由，則，此時，，，，即，故，，，則，則，故D正確；故選：CD.第II卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.擲一枚質地均勻的骰子，若將擲出的點數記為得分，則得分的均值為______.【答案】【解析】【分析】根據離散形隨機變量的均值直接求出.【詳解】設得分為，則可能的取值為1,2,3,4,5,6，且，其中，則得分的均值為，故答案為：14.為了迎接節日，商場將相同樣式的紅、黃、藍三種顏色的彩燈各3盞，串成一排懸掛，共有______種不同的懸掛方式.(用數字作答)【答案】1680【解析】【分析】根據分步乘法計數原理，先從9個位置中選3個，掛紅色彩燈，再從剩下的6個位置中選3個，掛黃色彩燈，最后從剩下的3個位置中選3個，掛藍色彩燈，利用組合數得出各值，再相乘即可得出答案.【詳解】商場將相同樣式的紅、黃、藍三種顏色的彩燈各3盞，串成一排懸掛，先從9個位置中選3個，掛紅色彩燈，有種，再從剩下的6個位置中選3個，掛黃色彩燈，有種，最后從剩下的3個位置中選3個，掛藍色彩燈，有種，根據分步乘法計數原理，共有種，故答案為：1680.15.由曲線圍成的圖形的面積為_______________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：當時，曲線表示的圖形為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為，根據對稱性，可知由曲線圍成的圖形的面積為考點：本小題主要考查曲線表示的平面圖形的面積的求法，考查學生分類討論思想的運用和運算求解能力.點評：解決此題的關鍵是看出所求圖形在四個象限內是相同的，然后求出在一個象限內的圖形的面積即可解決問題.16.已知雙曲線C：，點，、分別為雙曲線的左右焦點，線段交雙曲線左支于點P，點關于的對稱點為Q，則的周長為______.【答案】.【解析】【分析】結合圖形，可得.后由雙曲線定義，及兩點間距離公式可得答案.【詳解】由題可得，，因，則，.又因點關于的對稱點為Q，則.故由雙曲線定義，，又由兩點間距離公式有：.則.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等腰三角形ABC，底邊上兩頂點坐標為，，頂點A在直線上，(1)求BC邊垂直平分線的方程；(2)求點A的坐標.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據中垂線過線段的中點且與線段垂直求解；(2)聯立點所在的兩條直線方程可求解.【小問1詳解】，且BC的中點，所以BC邊的垂直平分線的斜率為，且經過點，所求方程為，整理得.【小問2詳解】由題可得，等腰三角形ABC的頂點在BC邊的垂直平分線上，且在直線上，聯立得，，即18.某市銷售商為了解A、B兩款手機的款式與購買者性別之間的是否有關系，對一些購買者做了問卷調查，得到2×2列聯表如下表所示：購買A款購買B款總計女25男40總計100已知所調查100人中，A款手機的購買者比B款手機的購買者少20人.(1)將上面的2×2列聯表補充完整；(2)是否有99%的把握認為購買手機款式與性別之間有關，請說明理由；(3)用樣本估計總體，從所有購買兩款手機的人中，選出4人作為幸運顧客，求4人中購買A款手機的人數不超過1人的概率.附：0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，.【答案】(1)列聯表見解析；(2)有，理由見解析；(3).【解析】【分析】(1)由題目條件可將列聯表補充完整；(2)利用公式算得，后比較其與6.635大小可得結果；(3)由題目條件可得每次選出購買A款手機的人的概率均為，設X為4人中選出購買A款手機的人數，則，得.【小問1詳解】由題可得列聯表如下：購買A款購買B款總計女252045男154055總計4060100【小問2詳解】由題有：因為8.249＞6.635，所以有99%的把握認為購買手機款式與性別之間有關；【小問3詳解】從所有購買兩款手機的人中，選出4人可以看成做了4次獨立重復試驗，每次選出購買A款手機的人的概率均為，設X為4人中選出購買A款手機的人數，，所以，..19.在下面兩個條件中任選一個，補充在問題中，并對其求解.條件1：展開式第二項與第六項的二項式系數相等；條件2：所有項的系數和為4096.問題：在的展開式中，______.(1).求n的值及二項式系數最大的項；(2).若，求.【答案】(1)選擇條件見解析，；(2)64【解析】【分析】若選條件1，有；若選條件2，有.(1)因展開式一共有7項，則二項式系數最大的項為第4項；(2)令可得答案.【小問1詳解】設展開式的通項為：.若選條件1，有；若選條件2，令，有.因展開式一共有7項，則二項式系數最大項為第4項，則.【小問2詳解】令，得.20.已知三棱柱，，，，在平面ABC上的射影為B，二面角的大小為，(1)求與BC所成角的余弦值；(2)在棱上是否存在一點E，使得二面角為，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，【解析】【分析】(1)根據已知結合幾何知識得出與，即可得出為二面角的平面角，則，令，則，在中，得出，在中，根據，，，，列式求解即可得出，過B作，又因為平面ABC，所以BM、BC、兩兩垂直，即可以、、為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，得出，，即可根據直線間夾角的向量求法得出答案；(2)，所以，得出，則，根據平面的法向量的求法求出平面EBC與平面的法向量，即可根據二面角為，列式求解出，即可得出答案.【小問1詳解】連接，因為在平面ABC上的射影為B，所以平面ABC，取AC的中點F，由于，所以，連接，由三垂線定理可得，則為二面角的平面角，即，則，令，則，則在中，，所以，在中，，，，，所以，解得，過B作，又因為平面ABC，所以BM、BC、兩兩垂直，以、、為x、y、z軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系，可得，，，，則，，則，則與BC所成角的余弦值為【小問2詳解】設，所以，可求得，則，設平面EBC的法向量為，由，，得，解得，因為是三棱柱，所以，設平面的法向量，由，，得，解得，若二面角為，則，即，解得，所以的值為.21.某一部件由4個電子元