福建省福州市八縣（市、區）一中2022-2023學年高二上學期期末聯考數學試題（含解析）2022～2023學年第一學期高二八縣(市)期考聯考高中二年數學科試卷命題學校：考試日期：月日完卷時間：120分鐘滿分：150分第I卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．(在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1.已知空間向量，，且，則x=()A.1 B.-13 C.13 D.-52.若直線l的方向向量是，則直線l的傾斜角為()A. B. C. D.3.已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，過點的直線l交橢圓于A,B兩點，若的周長為8，則C的方程為()A. B. C. D.4.若一圓與兩坐標軸都相切，且圓心在第一象限，則圓心到直線的距離為()A. B. C.5 D.35.已知等差數列的前項和為，且，則()A.1240 B.1550 C.1860 D.21706.如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為1，E為PC的中點，則線段PA上的動點M到直線BE的距離的最小值為()A. B. C. D.7.已知橢圓與拋物線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且軸，則橢圓的離心率是()A. B. C. D.8.初中時通常把反比例函數的圖像叫做雙曲線，它的圖像就是在圓錐曲線定義下的雙曲線，只是因為坐標系位置的不同，所以方程的形式才不同，當K>0時只需把反比例函數的圖像繞著原點順時針旋轉，便得到焦點在x軸的雙曲線的圖形.所以也可以理解反比例函數的圖像是以x軸，y軸為漸近線，以直線y=x為實軸的等軸雙曲線，那么當k=4時，雙曲線的焦距為()A8 B.4 C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．(在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．)9.正四面體ABCD中，棱長為a，高為h，外接球半徑為R，內切球半徑為r，AB與平面BCD所成角為，二面角A-BD-C的大小為，則()A B. C. D.10.已知等差數列的前n項和為，且滿足，公差，則()A. B. C.有最大值 D.11.已知拋物線焦點到準線的距離為，直線過點且與拋物線交于A、B兩點，若是線段AB的中點，則()A. B. C.直線的方程為 D.12.在數列中，若為常數)，則稱為“平方等差數列”.下列對“平方等差數列”的判斷，其中正確的為()A.是平方等差數列B.若是平方等差數列，則是等差數列C.若是平方等差數列，則為常數)也是平方等差數列D.若是平方等差數列，則為常數)也是平方等差數列第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.在等差數列中，若，，則______14.已知雙曲線的漸近線方程為，且過點，則雙曲線的標準方程為________15.將全體正奇數排成一個蛇形三角形數陣：按照以上排列的規律，記第行第個數為，如，若，則_____.16.如圖，已知一酒杯的內壁是由拋物線旋轉形成的拋物面，當放入一個半徑為1的玻璃球時，玻璃球可碰到酒杯底部的A點，當放入一個半徑為2的玻璃球時，玻璃球不能碰到酒杯底部的A點，則p的取值范圍為______.四、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．(共6大題，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分)17.在數列中，，點在直線x-y+3=0上.(1)求數列的通項公式；(2)為等比數列，且，記為數列的前n項和，求.18.已知平行四邊形的三個頂點坐標為、、.(1)求所在直線方程；(2)求平行四邊形的面積.19.如圖，點A(-2，1)，B，C三點都在拋物線上，拋物線的焦點為F，且F是的重心.(1)求拋物線的方程和焦點F的坐標；(2)求BC中點M的坐標及線段BC的長.20.如圖，等腰梯形中，，沿AE把折起成四棱錐，使得.(1)求證：平面平面；(2)求點到平面距離.21.已知數列滿足：(1)證明數列為等差數列，并求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和.22.把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱中底面長軸，短軸長，為下底面橢圓的左右焦點，為上底面橢圓的右焦點，，P為的中點，MN為過點的下底面的一條動弦(不與AB重合).(1)求證：平面PMN(2)求三棱錐的體積的最大值. 2022～2023學年第一學期高二八縣(市)期考聯考高中二年數學科試卷命題學校考試日期：月日完卷時間：120分鐘滿分：150分第I卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．(在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1.已知空間向量，，且，則x=()A.1 B.-13 C.13 D.-5【答案】B【解析】【分析】由空間向量垂直的坐標表示求解即可.【詳解】因為，，且，所以，解得，故選：B.2.若直線l的方向向量是，則直線l的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由斜率與傾斜角，方向向量關系求解【詳解】由直線l的方向向量是得直線的斜率為，設直線的傾斜角是，故選：B.3.已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，過點的直線l交橢圓于A,B兩點，若的周長為8，則C的方程為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由橢圓的定義知的周長為，結合已知條件求出，再由離心率求出，進而求出，從而得出答案.【詳解】依題意的周長為，.則C的方程為.故選:D4.若一圓與兩坐標軸都相切，且圓心在第一象限，則圓心到直線的距離為()A. B. C.5 D.3【答案】A【解析】【分析】根據題意可設圓的方程為，且，代入點到直線的距離公式即可求解.【詳解】因為圓與兩坐標軸都相切，且圓心在第一象限，則設圓心為，，，所以設圓的方程為且，則圓心到直線的距離為.故選：A5.已知等差數列的前項和為，且，則()A.1240 B.1550 C.1860 D.2170【答案】C【解析】【分析】根據等差數列前項和的性質得成等差數列，即可求得的值.【詳解】因為等差數列的前項和為，所以成等差數列所以，所以，解得.故選：C.6.如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為1，E為PC的中點，則線段PA上的動點M到直線BE的距離的最小值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：建立空間直角坐標系，求向量在上的投影的大小，再求點M到直線BE的距離，由此可求其最小值.方法二：證明為異面直線的公垂線段，由此可求動點M到直線BE的距離的最小值.【詳解】連接，記直線的交點為，由已知平面，，以點為原點，為軸的正方向建立空間直角坐標系，由已知，所以，則，所以，，，設，則，所以在上的投影向量的模為，又，所以動點M到直線BE的距離，所以，所以當時，動點M到直線BE的距離最小，最小值為，故選：D.方法二：因為為等邊三角形，為的中點，所以，由已知，所以，所以，所以為異面直線，的公垂線段，所以的長為動點M到直線BE的距離最小值，所以動點M到直線BE的距離最小值為，故選：D.7.已知橢圓與拋物線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且軸，則橢圓的離心率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分析可得，求得，設設橢圓的下焦點為，利用勾股定理可求得，利用橢圓的定義可求得該橢圓的離心率的值.【詳解】易知點或，所以，，即，將代入拋物線方程可得，則，設橢圓的下焦點為，因為軸，則，由橢圓的定義可得，所以，橢圓的離心率為.故選：C.8.初中時通常把反比例函數的圖像叫做雙曲線，它的圖像就是在圓錐曲線定義下的雙曲線，只是因為坐標系位置的不同，所以方程的形式才不同，當K>0時只需把反比例函數的圖像繞著原點順時針旋轉，便得到焦點在x軸的雙曲線的圖形.所以也可以理解反比例函數的圖像是以x軸，y軸為漸近線，以直線y=x為實軸的等軸雙曲線，那么當k=4時，雙曲線的焦距為()A.8 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】結合所給信息，可得旋轉后，雙曲線變為等軸雙曲線，再由繞原點順時針旋轉所得坐標在等軸雙曲線上可得等軸雙曲線方程.【詳解】由所給信息，可知旋轉后雙曲線以兩條相互垂直的直線作為漸近線，則雙曲線為等軸雙曲線，設為.又注意到在函數圖像上，其與原點連線與x正半軸夾角為，則將點繞原點順時針旋轉后，該點落在x正半軸，設為，因旋轉前后到原點距離不變，則.即將點繞原點順時針旋轉后，可得，則滿足.可得雙曲線方程為，則，則焦距為.故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．(在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．)9.正四面體ABCD中，棱長為a，高為h，外接球半徑為R，內切球半徑為r，AB與平面BCD所成角為，二面角A-BD-C的大小為，則()A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據正四面體的性質結合外接球、內切球的性質以及線面、面面夾角逐項分析運算.【詳解】取的中點，的中心，連接，對A：∵為正四面體，則平面，故外接球的球心(也為內切球的球心)在上，則，A正確；對B：∵平面，平面，∴，故，即，解得，故，則，B錯誤；對C：由平面，可得AB與平面BCD所成角為，故，C正確；對D：∵為的中點，且，則，故二面角A-BD-C的大小為，在中，則，D錯誤.故選：AC.10.已知等差數列的前n項和為，且滿足，公差，則()A. B. C.有最大值 D.【答案】ACD【解析】【分析】首先根據已知條件得到，，，再依次判斷選項即可得到答案.【詳解】因為滿足，公差，所以，，且，即.對選項A，，即，故A正確.對選項B，，故B錯誤對選項C，因為，，所以，，所以當或時，有最大值.故C正確.對選項D，因為當或時，取得最大值，所以，故D正確.故選：ACD11.已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線過點且與拋物線交于A、B兩點，若是線段AB的中點，則()A. B. C.直線的方程為 D.【答案】BC【解析】【分析】根據拋物線的幾何性質可判斷B；利用點差法求解得直線斜率，從而可判斷C；由點在直線上可求得m，可判斷A；利用弦長公式可判斷D.【詳解】由題知，，故拋物線方程為.設，易知，則，由點差法可得又是線段AB中點，所以，所以直線l的斜率因為直線l過焦點，所以l的方程為，即對于A：將代入可得，A錯誤；對于B：B正確；對于C：C正確；對于D：將代入得，所以，所以，故D錯誤.故選：BC12.在數列中，若為常數)，則稱為“平方等差數列”.下列對“平方等差數列”的判斷，其中正確的為()A.是平方等差數列B.若是平方等差數列，則是等差數列C.若是平方等差數列，則為常數)也是平方等差數列D.若是平方等差數列，則為常數)也是平方等差數列【答案】BD【解析】【分析】根據等差數列的定義，結合平方等差數列的定義逐一判斷即可.【詳解】對于A，當為奇數時，則為偶數，所以，當為偶數時，則為奇數，所以，即不符合平方等差數列的定義，故錯誤；對于B，若是平方等差數列，則為常數)，即是首項為，公差為的等差數列，故正確；對于C，若是平方等差數列，則為常數)，則，即，當為等差數列時，，則為平方等差數列，當不為等差數列時，則不為平方等差數列，故錯誤；對于D，因為是平方等差數列，所以，把以上的等式相加，得，，則，即數列是平方等差數列，故正確；故選:BD第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13.在等差數列中，若，，則______【答案】【解析】【分析】根據已知先求公差，然后由通項公式可得.【詳解】記等差數列的公差為，則有又，所以，解得所以故答案為：14.已知雙曲線的漸近線方程為，且過點，則雙曲線的標準方程為________【答案】【解析】【分析】由雙曲線的漸近線為，設雙曲線方程為，代入點的坐標即可求得.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，所以設雙曲線方程為，因為雙曲線過點，代入解得，所以雙曲線的方程為.故答案為：15.將全體正奇數排成一個蛇形三角形數陣：按照以上排列的規律，記第行第個數為，如，若，則_____.【答案】69【解析】【分析】觀察數陣的排列規律，先確定在數陣中的行的值，再確定在該行的項數，由此可求.【詳解】觀察可得數陣的第行排個數，從第3行起，奇數行的數從左至右排列為公差為-2的等差數列，偶數行的數從左至右排列為公差為2的等差數列，將數陣中的所有數從小到大排列記為數列，則，令，可得，因為2023在數陣的第行，所以，，所以，，所以，所以2023排在第45行，前45行共排了個數，即1035個數，所以第45最大數為，將第45行的數從左至右排列記為，則，所以，即，因為2023為數列的第項，故，所以，故.故答案為：69.16.如圖，已知一酒杯的內壁是由拋物線旋轉形成的拋物面，當放入一個半徑為1的玻璃球時，玻璃球可碰到酒杯底部的A點，當放入一個半徑為2的玻璃球時，玻璃球不能碰到酒杯底部的A點，則p的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】根據題意分析可得：圓與只有一個交點，圓與只有兩個交點，分別聯立方程分析運算.【詳解】如圖，由題意可得：圓與只有一個交點，聯立方程，消去x得，解得或，故，則，圓與只有兩個交點，聯立方程，消去x得，∵，可得若有根，則兩根同號，根據題意可知：有且僅有一個正根，故，則可得，解得，綜上所述：的取值范圍為.故答案為：.【點睛】方法點睛：在處理實際問題時，體現數形結合的思想，將圖形轉化為代數，這樣交點轉化為方程的根或函數的零點，利用方程或函數的知識分析求解.四、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．(共6大題，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分)17.在數列中，，點在直線x-y+3=0上.(1)求數列的通項公式；(2)為等比數列，且，記為數列的前n項和，求.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)由條件根據等差數列定義證明數列為等差數列，結合等差數列通項公式求其通項；(2)由條件求數列的首項和公比，根據等比數列求和公式求.【小問1詳解】因為點在直線上，所以，即，所以數列是以為公差的等差數列，因為，所以，故，所以；【小問2詳解】設數列的公比為，由(1)知，所以，所以，所以.,18.已知平行四邊形的三個頂點坐標為、、.(1)求所在的直線方程；(2)求平行四邊形的面積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)分析可知，則，可求得直線的斜率，再利用點斜式可得出直線的方程；(2)求出直線的方程，可計算得出點到直線的距離，并求出，再利用平行四邊形的面積公式可求得結果.【小問1詳解】解：因為四邊形為平行四邊形，則，則，所以，直線的方程為，即.【小問2詳解】解：直線的方程為，即，且，點到直線的距離為，所以，平行四邊形的面積為.19.如圖，點A(-2，1)，B，C三點都在拋物線上，拋物線的焦點為F，且F是的重心.(1)求拋物線的方程和焦點F的坐標；(2)求BC中點M的坐標及線段BC的長.【答案】(1)拋物線方程為，焦點坐標為；(2)，【解析】【分析】(1)由點A在拋物線上可得拋物線方程，后可得焦點坐標；(2)設BC直線方程為，將其與拋物線聯立，結合韋達定理及重心坐標公式可得答案.【小問1詳解】因在拋物線上，則.則拋物線方程為，焦點坐標為；【小問2詳解】設BC線段所在直線方程為，將其與拋物線方程聯立，由題.設，則由韋達定理.因F是的重心，則，則BC中點M的坐標為，.又M在直線上，則，故.則.20.如圖，等腰梯形中，，沿AE把折起成四棱錐，使得.(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)點到平面的距離為.【解析】【分析】(1)先證明平面，由此證明，再證明，根據線面垂直判定定理證明平面，再根據面面垂直判定定理證明平面平面；(2)建立空間直角坐標系，求平面的法向量和，再由距離公式求解.【小問1詳解】因為，所以，所以，又，，所以，故，又，平面，，所以平面，因為平面，所以，在等腰梯形ABCD中，，所以，所以，又，所以，因為平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面；【小問2詳解】由(1)平面，，以點為原點，為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，所以，設平