第一節空間幾何體的結構特征及其三視圖和直觀圖總綱目錄教材研讀1.空間幾何體的結構特征考點突破2.三視圖與直觀圖考點二空間幾何體的三視圖考點一空間幾何體的結構特征考點三空間幾何體的直觀圖1.空間幾何體的結構特征教材研讀2.三視圖與直觀圖

1.下列說法正確的是

()A.有兩個面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C.有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D.棱臺各側棱的延長線交于一點答案

D由棱柱和棱錐的概念可知,A、B、C均錯誤.由于棱臺是由平

行于棱錐底面的平面截棱錐所得到的截面與底面之間的部分,故棱臺各

側棱的延長線交于一點.D2.如圖,下列幾何體各自的三視圖中,有且僅有兩個視圖相同的是

()

A.①②

B.②③

C.②④

D.③④答案

C由幾何體的結構可知,圓錐、正四棱錐兩個幾何體各自的正

視圖和側視圖相同,且其不與俯視圖相同;正方體的三個視圖都相同,正

三棱臺的三個視圖都不相同.C3.(2015北京西城二模)一個幾何體的三視圖中,正(主)視圖和側(左)視圖

如圖所示,則俯視圖不可能為

()

答案

C正(主)視圖為矩形且中間為虛線,而與選項C對應的正(主)視

圖中間應為實線.故選C.C4.(2017北京西城一模)在正方形網格中,某四面體的三視圖如圖所示.如

果小正方形網格的邊長為1,那么該四面體最長棱的棱長為

()

A.4

B.6

C.4

D.2

B答案

B將該四面體還原在正方體中,為三棱錐P-ABC,如圖所示,最長

棱為PA=

=

=6.

典例1(1)下列結論正確的是

()A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉軸,其余兩邊旋轉形成的曲面所圍

成的幾何體是圓錐C.若棱錐的側棱長與底面多邊形的邊長都相等,則此棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是母線考點一空間幾何體的結構特征考點突破(2)有以下四個命題:①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體;②底面是矩形的平行六面體是長方體;③四棱錐的四個側面都可以是直角三角形;④由直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐.其中真命題的序號是

.答案(1)D(2)①③解析(1)A錯誤,如圖①,由兩個結構相同的三棱錐疊放在一起構成的

幾何體,各面都是三角形,但它不是三棱錐.

圖①圖②圖③B錯誤,如圖②③,分別以△ABC的邊AB、AC所在直線為旋轉軸旋轉,所

得的幾何體都不是圓錐.C錯誤,假設存在六棱錐滿足所有棱長都相等,則底面多邊形是正六邊

形.由幾何圖形知,若以正六邊形為棱錐底面,則側棱長必然要大于底面

邊長.D正確.(2)命題①符合平行六面體的定義,故命題①是正確的;底面是矩形的平行六面體的側棱可能與底面不垂直,故命題②是錯誤

的;③正確,如圖a,四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,可證明∠PDC,∠PDA,∠PAB,∠PCB為直角,這樣四個側面都是直角三角

形;④錯誤,當以斜邊所在直線為旋轉軸時,其余兩邊旋轉形成的曲面所圍

成的幾何體不是圓錐,如圖b所示,它是由兩個同底圓錐構成的幾何體.

方法技巧解決與空間幾何體結構特征有關的問題的技巧(1)要想真正把握幾何體的結構特征,必須多角度、全方面分析,多觀察

實物,提高空間想象能力;(2)緊扣結構特征是判斷的關鍵,熟悉空間幾何體的結構特征,依據條件

構建幾何模型,在條件不變的情況下,變換模型中的線面關系或增加

線、面等基本元素,然后依據題意判定;(3)通過反例對結構特征進行辨析,即要說明一個命題是錯誤的,只要舉

出一個反例即可.1-1用任意一個平面截一個幾何體,各個截面都是圓面,則這個幾何體

一定是

()A.圓柱

B.圓錐C.球體

D.圓柱、圓錐、球體的組合體答案

C截面都是圓面,則原幾何體為球體,選C.C1-2如果四棱錐的四條側棱都相等,就稱它為“等腰四棱錐”,四條側

棱稱為它的腰,以下四個命題中,假命題是

()A.“等腰四棱錐”的腰與底面所成的角都相等B.“等腰四棱錐”的側面與底面所成的二面角都相等或互補C.“等腰四棱錐”的底面四邊形必存在外接圓D.“等腰四棱錐”的各頂點必在同一球面上B答案

B

B不正確,反例見下圖:

“等腰四棱錐S-ABCD”中,底面ABCD為矩形,AB=4,BC=2,O為S在平面

ABCD上的射影,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F.∵OE≠OF,∴θ1≠θ2,又易知θ1與θ2不互補,∴“等腰四棱錐S-ABCD”的側面SAB與底面所成的二面角和側面SBC與底面所成的二面角既不相

等,也不互補.典例2(1)(2017北京豐臺一模)由一個正方體截去一個三棱錐所得的

幾何體的直觀圖如圖所示,則該幾何體的三視圖正確的是

()

考點二空間幾何體的三視圖(2)(2017北京海淀一模)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐中

最長棱的長度為

()

A.

B.

C.2

D.3解析(1)由直觀圖可知,該幾何體的正視圖是有一條從左上角到右下

角的對角線的正方形,俯視圖是有一條從左下角到右上角的對角線的正

方形,側視圖是有一條從左上角到右下角的對角線的正方形(對角線為

虛線),所以只有選項D符合題意.(2)將幾何體還原在長方體中,如圖.該幾何體為三棱錐P-ABC,可得最長

棱為長方體的一條體對角線PB=

=

.

答案(1)D(2)B方法指導三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側視圖和俯視圖的觀察

方向,注意看到的部分用實線,看不到的部分用虛線.(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的視圖.先根據已知的一部分視圖,還

原、推測直觀圖的可能形式,然后再找其剩下部分視圖的可能形式.當

然作為選擇題,也可將選項逐項代入,再看看給出的部分三視圖是否符

合.(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺、球的三

視圖,明確三視圖的形成原理,結合空間想象將三視圖還原為實物圖.2-1

(2018北京西城高三期末)一個棱長為2的正方體被一個平面截去

一部分后,剩余幾何體的三視圖如圖所示,則截去的幾何體是

()

A.三棱錐

B.三棱柱C.四棱錐

D.四棱柱答案

B由三視圖還原幾何體可知,截去的幾何體是三棱柱.B2-2

(2017北京東城一模)如果某四棱錐的三視圖如圖所示,那么該四棱

錐的四個側面中是直角三角形的有

()

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個答案

D由三視圖可得直觀圖是四棱錐,底面是正方形,有一側棱垂直

于底面,則四棱錐的四個側面都是直角三角形,故選D.D典例3有一塊多邊形的菜地,它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀

圖是直角梯形(如圖所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,則這塊菜地

的面積為

.

考點三空間幾何體的直觀圖2+

答案2+

解析如圖①,在直觀圖中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,

圖①∵在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=

.∵四邊形AECD為矩形,AD=1,∴EC=AD=1.∴BC=BE+EC=

+1.由此可還原原圖形如圖②.

圖②在原圖形中,A'D'=1,A'B'=2,B'C'=

+1,且A'D'∥B'C',A'B'⊥B'C',∴這塊菜地的面積S=

(A'D'+B'C')·A'B'=

×

×2=2+

.1.解決有關“斜二測畫法”問題時,一般在原圖形中建立直角坐標系,盡

量取原圖形中互相垂直的線段所在直線或圖形的對稱軸為坐標軸,圖形

的對稱中心為原點,注意兩個圖形中關鍵線段長度的關系.方法指導2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個關系:(1)S直觀圖=

S原圖形.(2)S原圖形=2

S直觀圖.3-1如圖,矩形O'A'B'C'是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,其中O'A'

=6cm,O'C'=2cm,則原圖形是

()

A.正方形