相平面法例題解析：要求：1.正確求出對于非線性系統在每個線性區的相軌跡方程，也就是之間關系的方程（或）。會畫相軌跡（模型中是給具體數的）。※※關鍵是確定開關線方程。2.※※※如果發生自持振蕩，計算振幅和周期。注意相平面法一般應：1）按照信號流向與傳輸關系。線性部分產生導數關系，非線性部分形成不同分區。連在一起就形成了不同線性分區對應的運動方程，即含有或者的運動方程。2）※※※根據不同線性分區對應的運動方程的條件方程確定開關線方程。開關線方程確定很關鍵。3）※※※根據不同線性分區對應的運動方程，利用解析法（分離變量積分法或者消去t法）不同線性分區對應的相軌跡方程，即和之間關系。4）※根據不同分區的初始值繪制出相軌跡，并求出穩態誤差和超調、以及自持振蕩的周期和振幅等。例2：具有死區特性的非線性系統分析。設系統開始處于靜止狀態。問題1.用相平面法分析系統在輸入r(t)=4.1(t)時的運動情況。

問題2.如果發生自持振蕩，求自持振蕩的周期和振幅。解：問題1：1）設系統結構圖，死區特性的表達式：2）線性部分：，則運動方程為：3）繪制平面相軌跡圖。因為，，，。代入則（1）當，，。代入，則各區的運動方程由于非線性特性有3個分區，相平面分為3個線性區。注意，當相平面選好后，輸入代入后，最后代入非線性特性。4）系統開關線：。5）由題意知初始條件，在II區，則從初始值出發繪制相軌跡：【注】：用解析法中的斜率法求：上課時按照此方法求相軌跡方程：II區：------不是標準線性系統運動方程的形式。根據斜率方程，則分離變量積分得則之間的相軌跡方程為結論：II區以為中心的圓，與右開關線的交點A（2，-2）I區：，，水平線，與左開關線的交點B（-2，-2）III區：------不是標準線性系統運動方程的形式。根據斜率方程，則分離變量積分得（注意新的初始值B（-2，-2））則之間的相軌跡方程為結論：III區以為中心的圓。以此例推，出現了一個封閉橢圓。——極限環問題2：若相平面中出現了穩定的極限環——對應著非線性的自持振蕩。問題：自持振蕩的周期怎么算呢？如圖：這是個橢圓，1）周期：II區：，這是因為：→，注意，在圖中為負的。I區：例3：具有繼電器特性的非線性系統分析2006-B(15分)非線性控制系統如圖。問題1：設，繪制起點在，的相軌跡圖。(10分)問題2：計算相軌跡旋轉一周所需時間。(5分)解：問題1：(10分)1）非線性環節數學表達式：；2）線性部分：所以描述線性部分的運動方程為：則3）繪制平面相軌跡。，令，，則各區的運動方程注意：條件方程也要改成的。4）開關線方程：5）由已知條件，起點，，從II區開始，下面繪制相軌跡：【注】：用解析法中消去參變量時間t的方法求相軌跡方程：上課時按照此方法求的，以下同。當然如果用斜率法求相軌跡方程也可以。不過，這個例子為常數，消去參變量時間t的方法更適合。Ⅱ區：，則；；相軌跡為開口向左的拋物線，；在右開關線處的交點為=1,---(1,-2)Ⅰ區：，則；；相軌跡為平行橫軸的直線（因為縱坐標不變-2，而橫坐標雖時間變化）；在左開關線處的交點為=-1,---(-1,-2)Ⅲ區：；；----相軌跡為開口向右的拋物線，在開關線處的交點(-1,2)以此類推，求得如圖的極限環。注意:每個區的初始值是不同的。當進入II區時的第一個位置即為II的初始值，每個區的初始值的求法就是根據上一個區的區域根軌跡方程可以求出進入下一區的初始值，以此一個個區經過后，會變成一個連續的曲線軌跡——非線性系統的相軌跡。問題：自持振蕩的周期怎么算呢？幅值怎么算呢？問題2：運動一周所需時間為（因為II區,則，注意，在圖中為負的。）振幅——代表此時的位移，也就是此時與橫軸的交點位置大小——即C點的橫坐標。這是因為，對于整個非線性系統的奇點是（0，0）。對于該點，最大的位移就是振幅，因此是C點的橫坐標2。注意:并不是所有開關線都是垂直于橫軸的，開關線關鍵要看各個線性區域的邊界條件。例4：2008年非線性控制系統如下圖所示。圖中。1、以為相變量，寫出相軌跡分區運動方程（8分）；2、若M=0.5，畫出起始于、的相軌跡（4分）；3、利用相軌跡計算穩態誤差及超調量（3分）。解：1.1）非線性特性：2）線性部分：（1）注意：線性部分關鍵是產生的運動方程，但是更關鍵的是，此運動方程必須能與非線性特性的輸出產生關系。3）繪制以平面的相軌跡。因此，代入式（1）中，則則即運動方程為因為，則（2）式（2）中代入非線性特性，于是各區的運動方程：M=0.5，則各區的運動方程：4）開關線方程：2.繪制相軌跡：起點為（0，0）在I區。I區：，積分分離后則，相軌跡為奇