第08講三角形的內角和（核心考點講與練）一．三角形內角和定理（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．（3）三角形內角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．（4）三角形內角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數．①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．二．三角形的外角性質（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質②將它們轉化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．一．三角形內角和定理（共9小題）1．（2021春?上海期中）如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．無法確定2．（2021春?金山區期末）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是△ABC的角平分線，BD與CE交于點O，如果設∠BAC＝n°（0＜n＜180），那么∠BOE的度數是（）A．90°﹣n° B．90°+n° C．45°+n° D．180°﹣n°3．（2021春?浦東新區期末）若一個三角形的兩個內角的度數分別為60°，50°，則這個三角形是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定4．（2021春?浦東新區校級期末）如圖，直線a∥b，在Rt△ABC中，點C在直線a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，則∠A的度數為度．5．（2021春?奉賢區期末）已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三個內角，下列條件不能確定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝90° C．∠A+∠B＝∠C D．∠A+∠B＝2∠C6．（2021春?楊浦區期末）下列說法中，正確的是（）A．三角形的高都在三角形內 B．三角形的三條中線相交于三角形內一點 C．三角形的一個外角大于任何一個內角 D．三角形最大的一個內角的度數可以小于60度7．（2021春?上海期中）如圖，已知在△ABC中，∠A＝90°，∠1+∠2的度數是（）A．180° B．270° C．360° D．無法確定8．（2020秋?虹口區期末）定義：當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”，若Rt△ABC是特征三角形，∠A是特征角，BC＝6，則Rt△ABC的面積等于．9．（2021春?奉賢區期中）在△ABC中，若存在一個內角是另外一個內角度數的n倍（n為大于1的正整數），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC為2倍角三角形．（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，則△DEF為倍角三角形；（2）如圖，直線MN⊥直線PQ于點O，點A、點B分別在射線OP、OM上；已知∠BAO、∠OAG的角平分線分別與∠BOQ的角平分線所在的直線交于點E、F；①說明∠ABO＝2∠E的理由；②若△AEF為4倍角三角形，直接寫出∠ABO的度數．二．三角形的外角性質（共5小題）10．（2021春?浦東新區期中）如圖，E為△ABC的BC邊上一點，點D在BA的延長線上，DE交AC于點F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，則∠D＝．11．（2021秋?普陀區期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，如果∠B＝80°，∠C＝40°，那么∠ADC的度數等于．12．（2020春?浦東新區期末）已知：如圖，△ABC的兩個外角的平分線交于點P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度數．13．（2020春?楊浦區期末）如圖，已知點D為△ABC的邊BC延長線上一點，DF⊥AB于點F，交AC于點E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度數．解：因為DF⊥AB（已知），所以∠DFB＝90°（垂直的意義）．因為∠DFB+∠B+∠D＝180°（），又∠D＝42°，所以∠B＝°（等式性質）．因為∠ACD＝∠A+∠B（），又∠A＝35°，∠B＝°，所以∠ACD＝°（等式性質）．14．（2019春?閔行區期中）（1）在銳角△ABC中，BC邊上的高所在直線和AB邊上的高所在直線的交點為P，∠APC＝110°，求∠B的度數；（2）如圖1，AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD．當點D在直線AC上時，∠APC＝100°，則∠B的度數；（3）在（2）的基礎上，當點D在直線AC外時，如圖2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度數．

分層提分分層提分題組A基礎過關練一．選擇題（共2小題）1．（2018春?閔行區期末）如果三角形三個內角的比為1：2：3，那么它是（）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形2．（2018春?普陀區期末）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD與CE交于O點，如果設∠BAC＝n°，那么用含n的代數式表示∠BOC的度數是（）A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°二．填空題（共17小題）3．（2021春?靜安區期末）如圖，△ABC的三個頂點分別在直線a、b上，且a∥b，若∠1＝126°，∠2＝80°，則∠3＝度．4．（2021春?普陀區期中）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，那么△ABC是三角形．（填“銳角”、“鈍角”或“直角”）5．（2021春?黃浦區期末）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝1：1：2，那么△ABC的形狀是三角形．6．（2021春?奉賢區期末）將一副三角板如圖所示擺放（其中一塊三角板的一條直角邊與另一塊三角板的斜邊擺放在一直線上），那么圖中∠α＝度．7．（2020春?寶山區期末）如圖，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，若△ABD的周長比△BCD的周長多1厘米，則BD＝．8．（2020春?楊浦區期中）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，點D在BC上，將△ACD沿直線AD翻折后，點C落在點E處，聯結DE，如果DE∥AB，那么∠CAD的度數是度．9．（2020春?松江區期末）如圖，在△ABC中，兩個內角∠BAC與∠BCA的角平分線交于點D，若∠B＝70°，則∠D＝度．10．（2019秋?浦東新區期中）在△ABC中，若其中一個內角等于另外兩個內角的差，則必有一個內角等于°．11．（2018秋?寶山區期末）如圖，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠ABE＝°．12．（2018春?金山區期末）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線BE、CD相交于點F，∠A＝60°，則∠BFC＝．13．（2020春?楊浦區期中）如圖所示，∠DBA＝140°，∠A與∠C的度數之比為2：5，則∠A＝度．14．（2020秋?長寧區期末）在△ABC中，∠C＝90°，如∠A比∠B小24°，則∠A＝度．15．（2020?松江區二模）如果一個三角形中有一個內角的度數是另外兩個內角度數差的2倍，我們就稱這個三角形為“奇巧三角形”．已知一個直角三角形是“奇巧三角形”，那么該三角形的最小內角等于度．16．（2019秋?嘉定區期末）如圖，將三角形ABC沿射線AC向右平移后得到三角形CDE，如果∠BAC＝36°，∠BCA＝72°，那么∠BCD的度數是．17．（2019秋?浦東新區校級月考）已知任意一個三角形三個內角的和為180°，如果有一個三角形三個內角的度數比是1：3：5，這個三角形中最大的內角是度．18．（2018春?長寧區期末）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，AE平分∠BAC，AD⊥BC，垂足為點D，那么∠DAE＝度．19．（2020春?虹口區期中）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝36°，則∠C的一個外角等于度．三．解答題（共8小題）20．（2019春?青浦區期末）在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C＝3：4：5，求三角形各內角度數．21．（2019春?徐匯區校級期中）如圖，在△ABC中，D為AB邊上一點，E為BC邊上一點，∠BCD＝∠BDC（1）若∠ACD＝15°，∠CAD＝40°，則∠B＝度（直接寫出答案）；（2）請說明：∠EAB+∠AEB＝2∠BDC的理由．22．（2020春?浦東新區期末）已知：如圖，△ABC的兩個外角的平分線交于點P，如果∠A＝40°，求∠BPC的度數．23．（2020春?浦東新區期末）已知△ABC中，∠A＝60°，∠B﹣∠C＝58°，求∠B的度數．24．（2021春?浦東新區校級期中）如圖，已知∠AGH＝∠B，∠CGH＝∠BEF，EF⊥AB于F，試說明CG⊥AB．25．（2019秋?虹口區校級月考）如圖，在△ABC中，如果BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線且他們相交于點P，設∠A＝n°．（1）求∠BPC的度數（用含n的代數式表示），寫出推理過程．（2）當∠BPC＝125°時，∠A＝．（3）當n＝60°時，EB＝7，BC＝12，DC的長為．26．（2020春?楊浦區期末）如圖，已知點D為△ABC的邊BC延長線上一點，DF⊥AB于點F，交AC于點E，∠A＝35°，∠D＝42°，求∠ACD的度數．解：因為DF⊥AB（已知），所以∠DFB＝90°（垂直的意義）．因為∠DFB+∠B+∠D＝180°（），又∠D＝42°，所以∠B＝°（等式性質）．因為∠ACD＝∠A+∠B（），又∠A＝35°，∠B＝°，所以∠ACD＝°（等式性質）．27．（2019春?黃浦區期末）（1）已知：如圖1，P是直角三角板ABC斜邊AB上的一個動點，CD、CE分別是∠ACP和∠BCP的平分線．當點P在斜邊AB上移動時，∠DCE＝°；（2）把直角三角板的直角頂點C放在直尺的一邊MN上：①點A和點B在直線MN的上方（如圖2），此時∠ACM與∠BCN的數量關系是∠ACM+∠BCN＝；②當把這把直角三角板繞頂點C旋轉到點A在直線MN的下方、點B仍然在直線MN的上方時（如圖3），∠ACM與∠BCN的數量關系是；③當把這把直角三角板繞頂點C旋轉到點A和點B都在直線MN的下方時（如圖4），∠ACM與∠BCN的數量關系是．題組B能力提升練一．選擇題（共2小題）1．（2019秋?浦東新區校級月考）BP和CP是△ABC兩個外角的平分線，則∠BPC為（）A． B．90°+ C．90°﹣ D．∠A2．（2020春?黃浦區期末）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，BD與CE交于點O．如果∠BAC＝n°，那么用含n的代數式表示∠BOC（）A．（45+n）° B．（180﹣n）° C．（90+n）° D．（90+n）°二．填空題（共13小題）3．（2020春?奉賢區期末）在△ABC中，∠C＝40°，把△ABC沿BC邊上的高AH所在直線翻折，點C落在射線CB上的點C'處，如果∠BAC'＝20°，那么∠BAC＝度．4．（2020春?普陀區期末）如圖，點D是△ABC兩條角平分線AP、CE的交點，如果∠BAC+∠BCA＝140°，那么∠ADC＝°．5．（2020春?嘉定區期末）△ABC的三個內角的度數之比是1：3：5，如果按角分類，那么△ABC是三角形．6．（2020春?金山區期末）在△ABC中，∠A＝50°，D點是∠ABC和∠ACB角平分線的交點，則∠BDC＝．7．（2019春?奉賢區期末）如圖，將一副直角三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，那么∠AOD+∠BOC＝．8．（2019春?青浦區期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜邊AC上的高．如果∠1＝54°，那么∠C＝度．9．（2019春?奉賢區期末）如圖，在△BDE中，∠E＝90°，AB∥CD，∠ABE＝20°，則∠EDC＝．10．（2019秋?虹口區校級月考）如圖所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A＝45°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于點E．∠E＝．11．（2019春?浦東新區期末）如圖，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF與CE交于G，若∠BDC＝m°，∠BGC＝n°，則∠A的度數為．（用m，n表示）12．（2019春?虹口區期末）△ABC中，∠A＝70°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，則∠BPC＝°．13．（2017春?浦東新區期末）如圖，已知在△ABC中，∠A＝40°，將一塊直角三角板放在△ABC上使三角板的兩條直角邊分別經過B、C，直角頂點D落在△ABC的內部，那么∠ABD+∠ACD＝度．14．（2020秋?青山區期末）如圖，三角形紙片ABC中，∠A＝75°，∠B＝72°．將三角形紙片的一角折疊，使點C落在△ABC內，如果∠1＝32°，那么∠2＝度．15．（2018春?閔行區期中）將△ABC沿著DE翻折，使點A落到點A′處，A′D、A′E分別與BC交于M、N兩點，且DE∥BC．已知∠A′NM＝27°，則∠NEC＝．三．解答題（共10小題）16．（2019春?浦東新區期末）如圖，已知在△ABC中，∠A＝（2x+10）°，∠B＝（3x）°，∠ACD是△ABC的一個外角，且∠ACD＝（6x﹣10）°，求∠A的度數．17．（2019春?閔行區期中）（1）在銳角△ABC中，BC邊上的高所在直線和AB邊上的高所在直線的交點為P，∠APC＝110°，求∠B的度數；（2）如圖1，AF和CE分別平分∠BAD和∠BCD．當點D在直線AC上時，∠APC＝100°，則∠B的度數；（3）在（2）的基礎上，當點D在直線AC外時，如圖2：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度數．18．（2018秋?浦東新區期末）如圖①，點O為直線MN上一點，過點O作直線OC，使∠NOC＝60°．將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OA在射線OM上，另一邊OB在直線MN的下方，其中∠OBA＝30°（1）將圖②中的三角尺沿直線OC翻折至△A′B′O，求∠A′ON的度數；（2）將圖①中的三角尺繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉，旋轉角為α（0＜α＜360°），在旋轉的過程中，在第幾秒時，直線OA恰好平分銳角∠NOC；（3）將圖①中的三角尺繞點O順時針旋轉，當點A點B均在直線MN上方時（如圖③所示），請探究∠MOB與∠AOC之間的數量關系，請直接寫出結論，不必寫出理由．19．（2019春?虹口區期末）如果一個三角形能用一條直線將其分割出兩個等腰三角形，那么我們稱這個三角形為“活三角形”，這條直線稱為該“活三角形”的“生命線”．（1）小明在研究“活三角形”問題時（如圖），他發現，在△ABC中，若∠BAC＝3∠C時，這個△ABC一定是“活三角形”．點D在BC邊上一點，聯結AD，他猜測：當∠DAC＝∠C時，AD就是這個三角形的“生命線”，請你幫他說明AD是△ABC的“生命線”的理由；（2）如小明研究結果可以總結為：，該三角形是一個“活三角形”．請通過自己操作研究，并根據上述結論，總結“活三角形”的其他特征；（注意從三角形邊、角特征及相互間關系總結）（3）如果一個等腰三角形是一個“活三角形”那么它的頂角大小為度．（直接寫出結果即可）20．（2018春?浦東新區期末）閱讀、填空并將說理過程補充完整：如圖，已知點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且∠AED＝∠B，延長DE與BC的延長線交于點F，∠BAC和∠BFD的角平分線交于點G．那么AG與FG的位置關系如何？為什么？解：AG⊥FG．將AG、DF的交點記為點P，延長AG交BC于點Q．因為AG、FG分別平分∠BAC和∠BFD（已知）所以∠BAG＝，（角平分線定義）又因為∠FPQ＝+∠AED，＝+∠B（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）∠AED＝∠B（已知）所以∠FPQ＝（等式性質）（請完成以下說理過程）21．（2018春?普陀區期中）如圖，已知△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝30°，點F是AB上一點，且∠BCF＝25°，點D在邊CA的延長線上，AE平分∠BAD，說明CF∥AE的理由．解：因為點D在邊CA的延長線上（已知），所以∠BAC+∠BAD＝180°（）．因為∠BAC＝70°（已知），所以∠BAD＝180°﹣∠BAC＝110°（等式性質）．因為AE平分∠BAD（已知），所以∠EAB＝∠BAD＝55°（）．因為∠AFC＝+＝55°（），所以＝（等量代換）．所以CF∥AE（）．22．（2018春?普陀區期中）如圖，已知∠A＝∠C，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC．說明∠1＝∠2的理由．解：因為∠A＝∠C（已知），所以AB∥DC（）．所以∠ABD＝∠CDB（）．因為BE平分∠ABD（已知），所以（）．同理．所以∠1＝∠2（）．23．（2017春?普陀區期中）如圖1，∠A1BC、∠A1CM的角平分線BA2、CA2相交于點A2，（1）如果∠A1＝68°，那么∠A2的度數是多少，試說明理由；（2）如圖2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分線BA3、CA3相交于點A3，請直接寫出∠A3的度