2022學年第二學期寧波市九校聯考高二數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數z滿足，則對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.設集合，，則中元素的個數為()A.2 B.3 C.4 D.53.已知隨機變量，，它們的分布密度曲線如下圖所示，則下列說法中正確的是()A.， B.，C.， D.，4.已知平面向量，滿足，則在上的投影向量為()A. B. C. D.5.若，，則()A. B. C. D.6.在中，點O滿足，過點O的直線分別交射線AB，AC于點M，N，且，，則的最小值為()A. B. C.3 D.47.已知是定義在上的奇函數，且，若對任意的，，均有成立，則不等式的解集為()A. B.C. D.8.三面角是立體幾何的重要概念之一.三面角是指由有公共端點且不共面的三條射線，，以及相鄰兩射線之間的平面部分所組成的空間圖形.三面角余弦定理告訴我們，若，，，平面與平面所成夾角為，則.現已知三棱錐，，，，，，則當三棱錐的體積最大時，它的外接球的表面積為()A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列等式成立的是()A. B.C. D.10.以下四個正方體中，滿足平面CDE的有()A B.C. D.11.已知函數的定義域為，是偶函數，的圖象關于點中心對稱，則下列說法正確的是()A. B.C.， D.，12.一個不透明的袋子中裝有大小形狀完全相同的紅、黃、藍三種顏色的小球各一個，每次從袋子中隨機摸出一個小球，記錄顏色后放回，當三種顏色的小球均被摸出過時就停止摸球.設“第i次摸到紅球”，“第i次摸到黃球”，“第i次摸到藍球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，則()A. B.C， D.，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實數a，b滿足且，則m＝______.14.現有一枚質地不均勻的硬幣，若隨機拋擲它兩次均正面朝上的概率為，則隨機拋擲它兩次得到正面、反面朝上各一次的概率為______；若隨機拋擲它10次得到正面朝上的次數為，則______.(第一空2分，第二空3分)15.已知函數，若有4個零點，則實數a的范圍是______.16.已知平面向量，，滿足，，則的最小值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______，請從下列兩個條件中任選一個填入上方橫線中作為已知條件，并解答本題(如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分)：①；②，(1)求A；(2)若D為邊BC上一點，且，試判斷是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，并說明理由.18.已知函數的圖象關于直線對稱，且在上沒有最小值.(1)求的單調增區間；(2)已知函數(且)，對任意，總存在，使得，求實數a的取值范圍.19.航班正點率是指航空旅客運輸部門在執行運輸計劃時，航班實際出發時間與計劃出發時間較為一致的航班數量與全部航班數量的比率.人們常用航班正點率來衡量一個航空公司的運行效率和服務質量.現隨機抽取10家航空公司，對其近一年的航班正點率和顧客投訴次數進行調查，得到數據如下：航空公司編號12345678910航班正點率/%82777776747371709169顧客投訴次數/次2158796874937212218125整理數據得：，，，，，(1)(i)證明：樣本相關系數；(ii)根據以上數據計算樣本相關系數(結果保留2位小數)，并由此推斷顧客投訴次數與航班正點率之間的線性相關程度(若，則認為線性相關程度很強；若，則認為線性相關程度一般；若，則認為線性相關程度很弱).(2)用一元線性回歸模型對上表中的樣本數據進行擬合，得到顧客投訴次數關于航班正點率的經驗回歸方程為.現有一家航空公司擬通過加強內部管理來減少由于公司自身原因引起的航班延誤次數，并希望一年內收到的顧客投訴不超過73次，試估計該公司的航班正點率應達到多少？參考公式：樣本相關系數.20.2023年4月23日是第28個“世界讀書日”.為了倡導學生享受閱讀帶來的樂趣、尊重和保護知識產權，立德中學舉辦了一次閱讀知識競賽.初賽中每支隊伍均要參加兩輪比賽，只有兩輪比賽均通過的隊伍才能晉級.現有甲、乙兩隊參賽，初賽中甲隊通過第一輪和第二輪的概率均為，乙隊通過第一輪和第二輪的概率分別為，，且各隊各輪比賽互不影響.(1)記甲、乙兩隊中晉級的隊伍數量為X，求X的分布列和數學期望；(2)經過激烈的比拼，甲、乙兩隊成功進入決賽爭奪冠軍.決賽共有兩道搶答題.第一題中，某支隊伍若搶到并答對則加10分，若搶到但答錯則對方加10分.第二題中，某支隊伍若搶到并答對則加20分，若搶到但答錯則對方加20分.最終得分高的隊伍獲勝.假設兩支隊伍在每一題中搶到答題權的概率均為，且每一題答對的概率分別與初賽中通過對應輪次的概率相等.各隊各題作答互不影響.已知甲隊獲得了冠軍，計算第二題是由甲隊搶到答題權的概率.21.如圖，四面體中，平面平面，，，，(1)若，證明：平面；(2)設過直線且與直線BC平行的平面為，當與平面所成的角最大時，求平面與平面的夾角的余弦值.22.已知，.定義，設，．(1)若，(i)畫出函數的圖象；(ii)直接寫出函數單調區間；(2)定義區間的長度.若，，則.設關于x的不等式的解集為D.是否存在t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

2022學年第二學期寧波市九校聯考高二數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數z滿足，則對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據復數的除法運算法則，求出復數z，即可求解.【詳解】由，得，所以，在復平面內對應的點為所以對應點位于第一象限.故選：A.2.設集合，，則中元素的個數為()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】在同一坐標系下畫出兩集合對應函數圖象，交點個數即為交集元素個數【詳解】對于函數，當時，；當時，.對于函數，，則且端點處取最大值.兩函數圖象在同一坐標系下大致如下，則兩函數圖象有3個交點，即中元素的個數為3個.故選：B3.已知隨機變量，，它們的分布密度曲線如下圖所示，則下列說法中正確的是()A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由圖結合正態分布曲線特點可得答案.【詳解】由圖可得隨機變量的均值比隨機變量的均值小，則.又由圖得，隨機變量的分布比隨機變量的分布更加分散，則.故選：B4.已知平面向量，滿足，則在上的投影向量為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，根據投影向量的定義及數量積的運算律求投影向量即可.【詳解】由知：，可得，所以在上的投影向量為.故選：A5.若，，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據同角三角函數的關系結合角度范圍可得，再根據二倍角公式可得，結合誘導公式可得.【詳解】因為，所以，又，所以，所以，所以＝故選：D6.在中，點O滿足，過點O的直線分別交射線AB，AC于點M，N，且，，則的最小值為()A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】利用共線定理的推論可得，然后妙用“1”可得.【詳解】由題可知，，因為，，所以，，又，所以，所以，因為三點共線，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立.所以的最小值為.故選：A7.已知是定義在上的奇函數，且，若對任意的，，均有成立，則不等式的解集為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構造函數，則在上遞增，判斷也是是定義在上的奇函數，可得在上遞增，分類討論列不等式求解即可.【詳解】因為對任意的，，均有成立，不妨設，則，所以，構造函數，則在上遞增，因為是定義在上的奇函數，所以也是是定義在上的奇函數，所以在上遞增，不等式化為，因為，則，或；時，，不合題意；綜上不等式的解集為，故選：D.8.三面角是立體幾何的重要概念之一.三面角是指由有公共端點且不共面的三條射線，，以及相鄰兩射線之間的平面部分所組成的空間圖形.三面角余弦定理告訴我們，若，，，平面與平面所成夾角為，則.現已知三棱錐，，，，，，則當三棱錐的體積最大時，它的外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，作，平面，則，先表示出，接著用條件表示成，要使三棱錐的體積最大，則最大，利用基本不等式得出時，其體積最大，然后補全三棱錐成棱柱，根據棱柱外接球半徑即可求解.【詳解】由題知，，，，平面與平面所成夾角為，作，平面，則，由題意得，，，，，，所以，要使三棱錐的體積最大，則最大，在中，由余弦定理得，，整理得，，，即，當且僅當時，等號成立，則，，，因，解得，所以，，即，，，所以補全三棱錐成棱柱，如下圖，則四邊形是菱形，點為其外接球的球心，即中點，所以，，，所以外接球半徑為，即三棱錐外接球的表面積為.故選：B【點睛】三棱錐外接球表面積問題，從以下幾個角度分析：(1)面面角的定義以及辨析；(2)求解最值時，基本不等式的利用；(3)幾何體割補法的應用；(4)數形結合思想的應用.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列等式成立的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用排列數、組合數公式對各選項逐一計算判斷作答.【詳解】根據階乘的概念可知，，故A錯誤；，故B正確；因為，所以，故C正確；根據組合數的性質可知，故D錯誤；故選：BC10.以下四個正方體中，滿足平面CDE的有()A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據直線與平面內的直線不垂直可判斷AC，根據直線與平面垂直的判定定理判斷BD.【詳解】對A，，，與所成角為，故與平面CDE不垂直，故A錯誤；對B，在正方體中，平面，平面，所以，又，，平面CDE，所以平面CDE，故B正確；對C，連接，如圖，在正方體中，由正方體面上的對角線相等可知，為正三角形，所以，又，與所成的角為，所以與平面CDE不垂直，故C不正確；對D，連接，如圖，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，再由平面，所以平面CDE，故D正確.故選：BD11.已知函數的定義域為，是偶函數，的圖象關于點中心對稱，則下列說法正確的是()A. B.C.， D.，【答案】BCD【解析】【分析】根據是偶函數可得函數關于直線對稱，由的圖象關于點中心對稱可得關于點成中心對稱，據此可推導出函數為周期函數，判斷A，再由函數的周期求出判斷B，由周期性及對稱性可判斷C，由以上分析利用求解可判斷D.【詳解】因為是偶函數，所以，可得，故關于直線對稱，因為的圖象關于點中心對稱，所以關于點成中心對稱，所以，又由可得，所以，即，所以，兩式相減可得，即，所以，故A錯誤；由周期，，又，所以，即，故B正確；由周期，，，由可得，，，故C正確；由上述分析可知，又因為，所以，所以，故D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：當函數滿足時，函數關于直線對稱，當函數滿足時，函數關于點成中心對稱.12.一個不透明的袋子中裝有大小形狀完全相同的紅、黃、藍三種顏色的小球各一個，每次從袋子中隨機摸出一個小球，記錄顏色后放回，當三種顏色的小球均被摸出過時就停止摸球.設“第i次摸到紅球”，“第i次摸到黃球”，“第i次摸到藍球”，“摸完第i次球后就停止摸球”，則()A. B.C.， D.，【答案】ACD【解析】【分析】對選項AC，求出包含的事件數為，從而得到，并計算出；選項B，計算出，，利用條件概率公式計算出答案，選項D，得出，，和，，利用條件概率公式得到答案.【詳解】對于AC，“摸完第n次球后就停止摸球”，有放回的摸n次，有種可能，若恰好摸球n次就停止摸球，則恰好第n次三種顏色都被摸到，即前次摸到2種顏色，第n次摸到第三種顏色，共種情況，則，，，AC正確；對于B，事件表示第一次摸到紅球，摸到第4次，摸球結束，若第2次或第3次摸到的球為紅球，此時有種情況，不妨設第2次摸到的球為紅球，則第3次和第4次摸到的球為藍球或黃球，有2種可能，故有種情況，若第2次和第3次都沒有摸到紅球，則第2次和第3次摸到的球顏色相同，第4次摸到的球和第2,3次摸到的球顏色不同，故有種情況，故，其中摸4次球可能的情況有種，故，其中，故，B錯誤；對于D，表示“第次摸到藍球，第次摸到黃球，第次摸到紅球，停止摸球”，則前次摸到的球是藍球或黃球，故有種可能，故，，表示“在前次摸球中，第次摸到藍球，第次摸到黃球”，故有種可能，故，，則，，D正確.故選：ACD【點睛】常見的條件概率處理方法，其一是用樣本點數的比值處理，需要弄情況事件包含的樣本點數，其二是用概率的比值處理，也可以縮小樣本空間，從而確定概率，解決實際問題的關鍵在于分析情況基本事件.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知實數a，b滿足且，則m＝______.【答案】100【解析】【分析】根據指數與對數的互化公式，表示出，再結合換底公式表示出，最后結合對數運算即可求解【詳解】由可得，又，即，所以，即故答案為：14.現有一枚質地不均勻的硬幣，若隨機拋擲它兩次均正面朝上的概率為，則隨機拋擲它兩次得到正面、反面朝上各一次的概率為______；若隨機拋擲它10次得到正面朝上的次數為，則______.(第一空2分，第二空3分)【答案】①.##②.【解析】【分析】根據獨立事件的乘法公式求出拋擲一枚硬幣正面朝上概率，再由獨立重復試驗求出正面、反面朝上各一次的概率為，由二項分布的期望公式求期望.【詳解】設這枚硬幣正面朝上的概率為，反面朝上的概率為，則兩次正面朝上的概率為，解得，所以隨機拋擲兩次得到正面，反面朝上各一次的概率為.由題易知隨機變量服從二項分布~，則.故答案為：；.15.已知函數，若有4個零點，則實數a的范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題可得方程與方程各有兩個根，對于前者轉化為函數圖象與直線有兩個交點，后者由判別式結合韋達定理可得a范圍，綜合后可得答案.【詳解】當時，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，據此可得大致圖象如下，又方程的解的個數相當于函數圖象與直線交點個數，方程最多2個根，有4個零點，則方程與方程各有兩個根.設方程兩根為，則.故答案為：.【點睛】16.已知平面向量，，滿足，，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】求出向量的模及夾角，記，得出對應點的軌跡，利用數形結合求最值.【詳解】由，即，所以，記，因為，所以在以為圓心，1為半徑的圓上，在以為圓心，2為半徑的圓上，其中，所以，作A關于直線l(所在直線)的對稱圓，的對稱點記為，知，則，如圖，由圖可知，當共線時，存在最小值，因為，所以最小值為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：利用向量的的幾何表示，原問題轉化為求最小值，數形結合，利用共線線段最短得解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______，請從下列兩個條件中任選一個填入上方的橫線中作為已知條件，并解答本題(如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分)：①；②，(1)求A；(2)若D為邊BC上一點，且，試判斷是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，并說明理由.【答案】(1)(2)直角三角形，理由見解析【解析】【分析】(1)選①：利用誘導公式化簡，再由正弦定理邊化角，然后由二倍角公式化簡可得；選②：根據面積公式和余弦定理列方程可解；(2)根據已知先得，然后平方，聯立余弦定理求解可得，，然后可判斷三角形形狀.【小問1詳解】若選①：，，，，，，，所以，解得.若選②：，，，，因為，故.【小問2詳解】，且，即，，，即①，又由余弦定理得②，聯立①②可得，，從而，故是直角三角形.18.已知函數的圖象關于直線對稱，且在上沒有最小值.(1)求的單調增區間；(2)已知函數(且)，對任意，總存在，使得，求實數a的取值范圍.【答案】(1)(2)或.【解析】【分析】(1)由兩角和的正弦公式化簡，再由對稱軸及在上沒有最小值求出解析式，由正弦型函數的單調性求單調區間即可；(2)根據存在性及任意性問題轉化為，分別利用三角函數及對數型函數的性質求最值，解不等式即可.【小問1詳解】.的圖象關于直線對稱.，解得當時，.在上沒有最小值.，解得又，所以，所以.令，解得.所以的單調增區間為.【小問2詳解】任意，均存在，使得.....又(且)單調性相同，在定義域上是增函數..或或.19.航班正點率是指航空旅客運輸部門在執行運輸計劃時，航班實際出發時間與計劃出發時間較為一致的航班數量與全部航班數量的比率.人們常用航班正點率來衡量一個航空公司的運行效率和服務質量.現隨機抽取10家航空公司，對其近一年的航班正點率和顧客投訴次數進行調查，得到數據如下：航空公司編號12345678910航班正點率/%82777776747371709169顧客投訴次數/次2158796874937212218125整理數據得：，，，，，.(1)(i)證明：樣本相關系數；(ii)根據以上數據計算樣本相關系數(結果保留2位小數)，并由此推斷顧客投訴次數與航班正點率之間的線性相關程度(若，則認為線性相關程度很強；若，則認為線性相關程度一般；若，則認為線性相關程度很弱).(2)用一元線性回歸模型對上表中的樣本數據進行擬合，得到顧客投訴次數關于航班正點率的經驗回歸方程為.現有一家航空公司擬通過加強內部管理來減少由于公司自身原因引起的航班延誤次數，并希望一年內收到的顧客投訴不超過73次，試估計該公司的航班正點率應達到多少？參考公式：樣本相關系數.【答案】(1)(i)證明見解析；(ii)；顧客投訴次數與航班正點率之間的線性相關程度很強(2)76%.【解析】【分析】(1)(i)將展開，結合平均數意義化簡可得，然后分別用替代，用分別替代可證；(ii)根據所給數據代入公式計算,然后可作出判斷；(2)利用樣本中心點求，然后根據回歸方程解不等式可得.【小問1詳解】(i)證明：，在上式中分別用替代，得，同理，也有，故樣本相關系數.(ii)可知，.，，，，故顧客投訴次數與航班正點率之間的線性相關程度很強.【小問2詳解】令，得.即該公司的航班正點率應達到76%.20.2023年4月23日是第28個“世界讀書日”.為了倡導學生享受閱讀帶來的樂趣、尊重和保護知識產權，立德中學舉辦了一次閱讀知識競賽.初賽中每支隊伍均要參加兩輪比賽，只有兩輪比賽均通過的隊伍才能晉級.現有甲、乙兩隊參賽，初賽中甲隊通過第一輪和第二輪的概率均為，乙隊通過第一輪和第二輪的概率分別為，，且各隊各輪比賽互不影響.(1)記甲、乙兩隊中晉級的隊伍數量為X，求X的分布列和數學期望；(2)經過激烈的比拼，甲、乙兩隊成功進入決賽爭奪冠軍.決賽共有兩道搶答題.第一題中，某支隊伍若搶到并答對則加10分，若搶到但答錯則對方加10分.第二題中，某支隊伍若搶到并答對則加20分，若搶到但答錯則對方加20分.最終得分高的隊伍獲勝.假設兩支隊伍在每一題中搶到答題權的概率均為，且每一題答對的概率分別與初賽中通過對應輪次的概率相等.各隊各題作答互不影響.已知甲隊獲得了冠軍，計算第二題是由甲隊搶到答題權的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2)【解析】【分析】(1)設“甲隊晉級”為事件，“乙隊晉級”為事件，求得，，得到的可能取值為，求得相應的概率，出分布列，結合期望的公式，即可求解；(2)記事件“甲隊獲得冠軍”，“該題由甲隊搶到答題權”，結合條件概率公式，即可求解.【小問1詳解】解：設“甲隊晉級”為事件，“乙隊晉級”為事件，可得，，則隨機變量的可能取值為，可得；..所以隨機變量的分布列為012則期望.【小問2詳解】由題意，第二題得分的那隊獲得勝利，記事件“甲隊獲得冠