2023年春“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶撁恕备叨谥新摽紨祵W試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則()A. B.5 C.4 D.32.若隨機事件，滿足，，，則()A. B.C. D.3.已知直線為曲線在點處的切線，則點到直線的距離為()A. B. C. D.104.已知隨機變量的分布列如表，則的均值等于()0123A. B. C.1 D.25.某醫院需要從4名女醫生和3名男醫生中抽調3人參加社區的健康體檢活動，則至少有1名男醫生參加的概率為()A. B. C. D.6.設(是自然對數的底數)，，，則的大小關系為()A. B. C. D.7.已知數列為等差數列，其首項為，公差為，數列為等比數列，其首項為，公比為，設，為數列的前項和，則當時，的取值可以是下面選項中的()A. B. C. D.8.若存在正實數，使得不等式成立(是自然對數的底數)，則的最大值為()A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在陽馬中，側棱底面，，，，則下列結論正確的有()A.四面體是鱉臑B.陽馬的體積為C.若，則D.到平面的距離為10.在平面直角坐標系中，已知定點，，動點滿足，記動點的軌跡為曲線，直線，則下列結論中正確的是()A.曲線的方程為 B.直線與曲線的位置關系無法確定C.若直線與曲線相交，其弦長為4，則 D.的最大值為311.關于函數，下列說法正確的是()A.上單調遞增B函數有且只有1個零點C.存在正實數，使得恒成立D.對任意兩個正實數，且，若，則12.已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于兩點，在第一象限，過分別作拋物線的切線，且相交于點，若交軸于點，則下列說法正確的有()A.點在拋物線的準線上 B.C. D.若，則的值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在等比數列中，，則______________.14.展開式中項的系數為__________．15.設某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產線，生產規格的芯片，現有20塊該規格的芯片，其中甲、乙、丙生產的芯片分別為6塊、6塊、8塊，且甲、乙、丙生產該芯片的次品率依次為.現從這20塊芯片中任取1塊芯片，則取得的芯片是次品的概率為______.16.黎曼猜想由數學家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想研究的是無窮級數，我們經常從無窮級數的部分和入手.請你回答以下問題：(1)_____；(其中表示不超過的最大整數，如)(2)已知正項數列的前項和為，且滿足，則_________.(參考數據：)四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(，是自然對數的底數).(1)若，求的極值；(2)若在上單調遞增，求的取值范圍.18.手機碎屏險，即手機碎屏意外保險，是一種隨著智能手機的普及，應運而生的保險.為方便手機用戶，某品牌手機廠商針對兩款手機推出碎屏險服務，保修期為1年，如果手機屏幕意外損壞，手機用戶可以享受1次免費更換服務，兩款手機的碎屏險費用和發生屏幕意外損壞的概率如下表：碎屏險費/元50屏幕意外損壞概率005008(1)某人分別為款各一部手機購買了碎屏險，已知兩部手機在保修期內屏幕意外損壞的概率分別為0.05，0.08，手機屏幕意外損壞相互獨立.記兩部手機在保修期內免費更換屏幕的次數一共為，求的分布列和數學期望；(2)已知在該手機廠商在售出兩款手機中，分別有24000部和10000部上了碎屏險，兩款手機更換屏幕的成本分別為400元和600元.若手機廠商計劃在碎屏險服務上的業務收入不少于50萬元，求款手機的碎屏險費最低應定為多少？(業務收入=碎屏險收入—屏幕更換成本)19.如圖，已知三棱柱中，，四邊形是菱形.(1)求證：平面；(2)若，求二面角的正弦值.20.已知數列的前項和為，.(1)求的值，并求數列的通項公式；(2)若數列的前項和為，證明：.21.已知橢圓，離心率，左、右頂點與上頂點圍成的三角形的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓上異于橢圓右頂點的四個不同的點，直線、直線均不與坐標軸垂直，直線過點且與直線垂直，，證明：直線和直線的交點在一個定圓上.22.已知函數(是常數，是自然對數的底數).(1)當時，求函數的最大值；(2)當時，①證明：函數存在唯一的極值點；②若，且，證明：.2023年春“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶撁恕备叨谥新摽紨祵W試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則()A. B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】先求得，進而求得的值.【詳解】故選：D2.若隨機事件，滿足，，，則()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據，計算得到，然后根據條件概率的計算公式計算即可.【詳解】由題可知：所以所以故選：D3.已知直線為曲線在點處的切線，則點到直線的距離為()A. B. C. D.10【答案】B【解析】【分析】利用導數求曲線在切點處切線的斜率，得切線方程，再求點到直線距離.【詳解】由，有，則曲線在點處的切線斜率為，所以切線方程為，即，則點到直線的距離為.故選：B.4.已知隨機變量的分布列如表，則的均值等于()0123A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用分布列中各取值的概率之和為1，得到m的值，運用均值公式計算均值.【詳解】由，得，則.故選：C5.某醫院需要從4名女醫生和3名男醫生中抽調3人參加社區的健康體檢活動，則至少有1名男醫生參加的概率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：根據題意，由組合數公式計算從7名醫生中抽調3人的所有可能結果，計算至少有1名男醫生參加的事件包含的選法，由古典概型公式計算可得答案；方法二：計算抽調3人全部為女醫生的概率，利用對立事件的概率公式，求出至少有1名男醫生參加的概率.【詳解】方法一：依題意，從7名醫生中抽調3人的所有可能結果共有(種)，至少有1名男醫生參加的事件包含的結果共有(種)，所以至少有1名男醫生參加的概率為.方法二：抽調3人全部為女醫生的概率為，則至少有1名男醫生參加的概率為.故選：C．6.設(是自然對數的底數)，，，則的大小關系為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由不等式的性質和對數式的運算比較數的大小.【詳解】由，有，得，由，得，，即，所以.故選：A7.已知數列為等差數列，其首項為，公差為，數列為等比數列，其首項為，公比為，設，為數列的前項和，則當時，的取值可以是下面選項中的()A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意求出數列、的通項公式，可得出數列的通項公式，利用分組求和法可求得，分析數列的單調性，可得出，即可得出結果.【詳解】因為數列為等差數列，其首項為，公差為，所以.因為數列為等比數列，其首項為，公比為，所以，所以，則，因為對任意的，，所以數列單調遞增，因為，，所以，當時，.故選：A.8.若存在正實數，使得不等式成立(是自然對數的底數)，則的最大值為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同構法將題給不等式轉化為，再構造函數，并利用導數求得其最大值，進而求得的最大值.【詳解】設，則，則在上單增，則設，則，當時，，當時，得在上單增，在上單減，則當時取得最大值，故.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分.9.《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在陽馬中，側棱底面，，，，則下列結論正確的有()A.四面體是鱉臑B.陽馬的體積為C.若，則D.到平面的距離為【答案】BCD【解析】【分析】由△不是直角三角形否定選項A；求得陽馬的體積判斷選項B；以為基底表示向量進而判斷選項C；求得到平面的距離判斷選項D.【詳解】A錯，連接AC，則△中，，則△不是直角三角形，則四面體不是鱉臑；B對，.C對，D對，設到平面的距離為d，又，由，得，則到平面的距離為故選：BCD10.在平面直角坐標系中，已知定點，，動點滿足，記動點的軌跡為曲線，直線，則下列結論中正確的是()A.曲線的方程為 B.直線與曲線的位置關系無法確定C.若直線與曲線相交，其弦長為4，則 D.的最大值為3【答案】AD【解析】【分析】設，代入，得曲線的方程判斷選項A；由直線過的定點，判斷直線與曲線的位置關系，驗證選項B；由弦長與直徑相等得直線過圓心，圓心代入直線方程求解k，驗證選項C；的最大值為B點到圓心距離加上半徑，計算驗證選項D.【詳解】設動點，由，則，化簡得，A選項正確；直線過定點，點在圓內，直線與曲線相交，B選項錯誤；弦長為4，等于圓的直徑，圓心在上，代入直線方程得，C選項錯誤；由，圓心，半徑為2，，D選項正確.故選：AD11.關于函數，下列說法正確的是()A.在上單調遞增B.函數有且只有1個零點C.存在正實數，使得恒成立D.對任意兩個正實數，且，若，則【答案】ABD【解析】【分析】求得在上單調性判斷選項A；求得函數零點個數判斷選項B；利用導數判斷是否存在正實數使得恒成立判斷選項C；利用導數證明若，則判斷選項D.【詳解】A對，，則當時，，單調遞增.B對，設，，則在上單減，又，則在上有且只有一個零點.C錯，，設，則，令，則則當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.則當，取得最大值，則恒成立，則恒成立，在上單減.當時，，則無最小值，故不存在正實數恒成立.D對，設，由得，即，即設，則則在上單減，，故成立.故選：ABD12.已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于兩點，在第一象限，過分別作拋物線的切線，且相交于點，若交軸于點，則下列說法正確的有()A.點在拋物線的準線上 B.C. D.若，則的值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，設，，表示出切線，，算出點P坐標即可；對于BC，根據兩直線斜率的乘積即可判斷；對于D，用焦半徑公式，算出兩個長度即可.【詳解】由題意知，故l：，與拋物線聯立，可得，則，設，，則．對于A，由拋物線可得，所以直線的斜率，則直線的方程為，同理可得直線的方程為，聯立解得．又，故點P在拋物線的準線上，故A正確；對于B，，故，故B錯誤；對于C，直線l的方程為，則，直線方程為，可得所以，故則FQ⊥BQ，故C正確；對于D，由，直線l的方程為，與拋物線聯立可得，解得，則，則，得，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在等比數列中，，則______________.【答案】3【解析】【分析】利用等比數列通項公式求出，由此能求出．【詳解】在等比數列中，，，，解得，，解得．故答案為：3.14.展開式中項的系數為__________．【答案】【解析】【分析】根據二項式定理將每個冪次展開，在展開式中找出項的系數求和即可.【詳解】因為展開式的第一項沒有的項，所以展開式中的系數為.故答案為：．15.設某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產線，生產規格的芯片，現有20塊該規格的芯片，其中甲、乙、丙生產的芯片分別為6塊、6塊、8塊，且甲、乙、丙生產該芯片的次品率依次為.現從這20塊芯片中任取1塊芯片，則取得的芯片是次品的概率為______.【答案】0.07##【解析】【分析】利用條件概率即可求得從這20塊芯片中任取1塊芯片取得的芯片是次品的概率.【詳解】記“20塊芯片中任取1塊芯片，取得的芯片是次品”為事件B，分別記從這20塊芯片中任取1塊芯片，則該芯片為甲、乙、丙生產為事件則，則故答案：0.0716.黎曼猜想由數學家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想研究的是無窮級數，我們經常從無窮級數的部分和入手.請你回答以下問題：(1)_____；(其中表示不超過的最大整數，如)(2)已知正項數列的前項和為，且滿足，則_________.(參考數據：)【答案】①.1②.88【解析】【分析】利用放縮法和裂項相消，求的范圍，可得的值；由求出，利用利用放縮法和裂項相消，結合條件中的參考數據，求的范圍，可得的值.【詳解】(1)，，所以，所以；(2)當時，，解得，因為，所以，當時，，所以，即，所以是以為首項，為公差的等差數列，所以，因為，所以，所以，當時，，即，所以，令，則，因為，，，所以，，因為，，，所以，所以，即故答案為：1,88.【點睛】方法點睛：放縮法證明與數列求和有關的不等式，若可直接求和，就先求和再放縮；若不能直接求和，一般要先將通項放縮后再求和，放縮為可以求和且“不大不小”，大多是等比模型或裂項相消模型.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(，是自然對數的底數).(1)若，求的極值；(2)若在上單調遞增，求的取值范圍.【答案】(1)極大值，無極小值(2)【解析】【分析】(1)利用極值定義即可求得極值；(2)利用導數構造關于的不等式，解之即可求得的取值范圍.【小問1詳解】，當時，，由，得，當時，，在上單增，當時，，在上單減，故當時，有極大值，無極小值.【小問2詳解】在上單調遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，則又，則.18.手機碎屏險，即手機碎屏意外保險，是一種隨著智能手機的普及，應運而生的保險.為方便手機用戶，某品牌手機廠商針對兩款手機推出碎屏險服務，保修期為1年，如果手機屏幕意外損壞，手機用戶可以享受1次免費更換服務，兩款手機的碎屏險費用和發生屏幕意外損壞的概率如下表：碎屏險費/元50屏幕意外損壞概率0.050.08(1)某人分別為款各一部手機購買了碎屏險，已知兩部手機在保修期內屏幕意外損壞的概率分別為0.05，0.08，手機屏幕意外損壞相互獨立.記兩部手機在保修期內免費更換屏幕的次數一共為，求的分布列和數學期望；(2)已知在該手機廠商在售出的兩款手機中，分別有24000部和10000部上了碎屏險，兩款手機更換屏幕的成本分別為400元和600元.若手機廠商計劃在碎屏險服務上的業務收入不少于50萬元，求款手機的碎屏險費最低應定為多少？(業務收入=碎屏險收入—屏幕更換成本)【答案】(1)分布列見解析，0.13(2)40元【解析】【分析】(1)由題意可列出的分布列，并求出各個值時的概率，從而可求得數學期望；(2)理解題意可分別求出屏幕更換總成本，碎屏險總收入和業務收入，從而可構造關于的表達式，從而可得出結論.【小問1詳解】的可能取值為、、的分布列為0120.8740.1220.04故次數的數學期望為0.13.【小問2詳解】依題意，可知、款手機發生屏幕意外損壞分別有24000×0.05＝1200部，10000×0.08＝800部屏幕更換總成本為1200×400+800×600＝960000元碎屏險總收入為24000+10000×50業務收入為24000+10000×50－960000＝24000－460000則24000+10000×50－960000≥500000，得，故款手機的碎屏險費最低應定為40元.19.如圖，已知三棱柱中，，四邊形是菱形.(1)求證：平面；(2)若，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)利用線面垂直判定定理即可證得平面；(2)建立空間直角坐標系，利用向量的方法即可求得二面角的正弦值.【小問1詳解】由四邊形是平行四邊形，，得四邊形是矩形，則由，，，、面，得面，又面，則由四邊形是菱形，得由，，，、面，得面【小問2詳解】由(1)可知，面，又面，得面面由四邊形是菱形，，得是正三角形.取、的中點分別為、，連，，則，.由面面，面面，面，得面以點為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示則，，面的一個法向量為設面的一個法向量為由，令，得設二面角的大小為，則又，則故二面角的正弦值為.20.已知數列的前項和為，.(1)求的值，并求數列的通項公式；(2)若數列的前項和為，證明：.【答案】(1)2，(2)證明見解析【解析】【分析】(1)根據數列的遞推式可得時，，采用作差的方法可得，結合累乘法即可求得答案；(2)由(1)可得的通項公式，利用裂項求和的方法，即可求得，從而證明結論..【小問1詳解】因為，所以當時，，兩式作差可得，整理得．，令，則，所以，所以，則，當時，也符合上式，綜上，．【小問2詳解】由(1)可知，，則，因為，所以，所以．21.已知橢圓，離心率，左、右頂點與上頂點圍成的三角形的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓上異于橢圓右頂點的四個不同的點，直線、直線均不與坐標軸垂直，直線過點且與直線垂直，，證明：直線和直線的交點在一個定圓上.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)根據題意列出關于的方程組，解出即可；(2)設直線，點，，將其與橢圓方程聯立得到韋達定理式，將其代入斜率為2的等式中，化簡得到關系，則得到直線所過定點，最后即可證明(2)中結論.【小問1詳解】