第一章綜合測試

第I卷（選擇題，共60分）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的）

1.已知集合/={1,2,3},5={2,3},則（）

A.4=8B.AHB=0C.AVBD.5UA

2.已知全集U=R,集合”={x|0VxW",N={x|xW0},則己f]&N)=()

A.{x10WxVl}B.{x10VxWl}C.D.

3.已知集合M={1,a2},P={-l,-a},若"UP有三個元素，則"口。=（)

A.{0,1}B.{0,-1}C.{0}D.{-1}

4.命題“vxeoJM+x?2。”的否定是()

A.3X<0,|X|+X2<0B.玉:20,國+0y0C.3x20,k|+x2VoD.3X<0,X|+X2>0

5.已知aV0,—lVbV0，貝U()

A.-a<ab<0B.-a>ab>0C.a>ab>ab2D.ab>a>ab2

6.已知集合4=卜卜2+x-2W。},S=貝u/n(48)=()

A.(-1,2)B.(-1,1)C.(-1,2]D.(-1,1]

7.“關于x的不等式x2-2“x+a>0的解集為R”的一個必要不充分條件是（)

A.0<a<lB.0<a<-C.OWaWlD.Q〈0或

33

8.若正數5b滿足2。+1±=1,則2』+6的最小值為（）

ba

A.4VIB.872C.8D.9

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分）

9.有下列命題中，真命題有（）

A.3xeN\使x為29的約數

B.VxeR,x2+x+2>0

C.存在銳角e,sina=1.5

D.已知/={a|a=2〃},8={/?/=3/〃},則對于任意的〃，weN,,都有4n8=0

10.已知下列結論中正確的是（）

ab

A.a<bB.a+b<ahC.回〉同D.ab<b2

11.如下圖，二次函數歹=加+bx+c（aH0）的圖像與x軸交于48兩點，與y軸交于C點，且對稱軸為

x=l,點3坐標為（-1,0）,則下面結論中正確的是（）

A.2a+b=0B.4a-2b+c<0C.b2-4ac>0D.當y<0時，x<-l或x>4

12.設。是一個數集，且至少含有兩個元素.若對任意的a,bwP,都有a+b,a-b,eP（除數6H0）,

b

則稱。是一個數域.則關于數域的理解正確的是（）

A.有理數集Q是一個數域

B.整數集是數域

C.若有理數集QcM,則數集M必為數域

D.數域必為無限集

第H卷（非選擇題，共90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把正確答案填在題中橫線上）

13.不等式一f+6x—8>0的解集為.

14.設某公司原有員工100人從事產品力的生產，平均每人每年創造產值/萬元（/為正常數）.公司決定從

原有員工中分流x（0<x<100,xeN*）人去進行新開發的產品5的生產.分流后，繼續從事產品4生產的

員工平均每人每年創造產值在原有的基礎上增長了L2x%.若要保證產品4的年產值不減少，則最多能分流

的人數是一

15.若\=6>0）,則4。+6+1的最小值為.

16.已知非空集合48滿足下列四個條件：

①/U8={1,2,3,4,5,6,7}；

②/口8=0；

③工中的元素個數不是Z中的元素；

④3中的元素個數不是B中的元素.

（1）若集合4中只有1個元素，則/=；

（2）若兩個集合4和5按順序組成的集合對（45）叫作有序集合對，則有序集合對（48）的個數是

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）已知全集為實數集R,集合“={x|14W7},5={x|-2w+Kx<w}.

(1)若/?=5,求/U8,('/)n8；

（2）若力08=/，求力的取值范圍.

18.（本小題滿分12分）已知不等式（1-4）/-敘+6>0的解集為｛x|-3<x<l卜

（1）求a的值；

（2）若不等式ax2+〃?x+320的解集為R,求實數機的取值范圍.

19.（本小題滿分12分）已知P：X2-3X-4W0；q：x2-6x+9-m2<0,若p是夕的充分條件，求”?的取

值范圍.

20.（本小題滿分12分）為了保護環境，某工廠在政府部門的鼓勵下進行技術改進：把二氧化碳轉化為某

種化工產品，經測算，該處理成本y（單位：萬元）與處理量x（單位：噸）之間的函數關系可近似表示為

^=X2-40X+1600,XG[30,50],已知每處理一噸二氧化碳可獲得價值20萬元的某種化工產品.

（1）判斷該技術改進能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補貼多少萬

元該工廠才不會虧損？

（2）當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？

21.（本小題滿分12分）若集合4=卜卜2+2》一8<0},5={x||x+l|>3）,

C=-2mx+m2-KO,/MCR}.

（1）若znc=。，求實數機的取值范圍.

（2）若（zn8）1c,求實數機的取值范圍.

22.（本小題滿分12分）己知正實數“，6滿足4+6=1,求+^+1j的最小值.

第一章綜合測試

答案解析

、

1.D

由真子集的概念，知8。/,故選D.

2.B

,/甯N={x|x>o},n(m)={x|OVx.l}.故選B.

3.C

由題意知解得a=0或“=一1.①當a=0時，A/={l,0},。={一1,0},〃UP={-l，0，l}，滿足條件,

此時MflP={0}；②當〃=-1時，/=1,與集合歷中元素的互異性矛盾，舍去，故選C.

4.C

“7》20,岡+/20”的否定是“三、20,[乂+/<0”.

5.B

?：a<0,-}<b<0,：.abX),a<ab2<0,故A,C,D都不正確，正確答案為B.

6.D

由/+工-2<0,得-2WXW1,.*.4=[-2,l].由得XW—1或X>2,.?.B=(F,—1]U(2,+8).則

45=(—1,2],???/0&8)=(-1，1].故選口.

7.C

因為關于x的不等式x2_2ox+a>0的解集為R,所以函數/(x)=f-2ax+a的圖象始終落在x軸的上方,

即△=4/一4“<0,解得OVaVl,因為要找其必要不充分條件，從而得到(0,1)是對應集合的真子集，故

選C.

8.D

V?>0,b>0,且26+1=l,則2+6=(2+6](2。+9]=5+4+2/25+4=9,當且僅當2=2M即

ba\ab)abab

a=-,6=3時取等號，故選D.

3

二、

9.AB

A中命題為真命題.當x=l時，x為29的約數成立；B中命題是真命題.X2+X+2=[X+；]+(>o恒成

立；C中命題為假命題.根據銳角三角函數的定義可知，對于銳角a,總有OVsinaVl；D中命題為假命

題.易知6G466B,故4口3。0.

10.BD

因為Lv』VO,所以bVaVO,故A錯誤；因為力VQVO,所以Q+Z?VO,ahX),所以a+bVab,故B正

ab

確；因為Zr<aVO,所以|4〉同不成立，故C錯誤；ab-b2=b(a-b),因為6<〃<0,所以。一6>0,即

ab-b?=b(a—b)<0,所以必成立，故口正確,故選BD.

11.ABC

???二次函數歹=?2+云+《。工0)圖象的對稱軸為工=1,??.-2=i,得2a+6=0,故A正確；當工=一2

時，y=4a-2b+c<0,故B正確：該函數圖象與x軸有兩個交點，則〃一4四>0,故C正確：\?二次函

數y=a?+6x+c(cw0)的圖象的對稱軸為x=l,點5的坐標為(-1,0),...點4的坐標為(3,0),...當yVO

時，xV—l或x>3,故D錯誤，故選ABC.

12.AD

若a,beQ,貝Ua+beQ,a-bwQ,abwQ,-eQ(b^O),所以有理數Q是一個數域，故A正確；因

b

為lwZ,2eZ,；eZ,所以整數集不是數域，B不正確；令數集M=QU{J^}，貝HeM,后eM,但

\+五史M,所以C不正確；根據定義，如果a,人9*0)在數域中，那么a+b,a+2b,…，a+kb(kk

為整數)，…都在數域中，故數域必為無限集，D正確.故選AD.

13.（2,4）（或寫成{x[2?4}）

原不等式等價于f-6x+8V0,即（x-2）（x-4）V0,得2Vx<4.

14.16

由題意，分流前每年創造的產值為100f（萬元），分流工人后，每年創造的產值為（100-司（1+1.2%％》,

[0<x<100

由4/、,

（100-X）（1+1.2X%）/^1006

解得OVxW史.因為xcN*,所以x的最大值為16.

3

15.19

,111/曰22,

由—I—=一,得—I—=1,

ab2ab

.Il/，2、1°r8。2bI、].[8a_2b.

4。+6+1=（4。+6）—+—+1=8+2+—+—+1211+2/一?—=1ir9.

I\ab）ba\ba

當且僅當⑻=竺，即a=3,6=6時，4a+b+l取得最小值19.

ba

16.（1）{6}

（2）32

（1）若集合Z中只有1個元素，則集合3中有6個元素，所以6e3,故/={6}.

（2）當集合力中有1個元素時，A={6},8={1,2,3,457},此時有序集合對（48）有1個；當集合力中

有2個元素時，5任8,2任/,此時有序集合對（48）有5個：當集合力中有3個元素時，4任B,3任4,

此時有序集合對（48）有10個；當集合力中有4個元素時，3/4,4任/,此時有序集合對（48）有10

個；當集合力中有5個元素時，208,5/Z,此時有序集合對（48）有5個；當集合Z中有6個元素時，

月={1,2,345,7},8={6},此時有序集合對（48）有1個.綜上，可知有序集合對（48）的個數是

1+5+10+10+5+1=32.

四、

17.解：(1)?.加=5,.,.5={x|-9<x<5},又4={坤《7},

.../U8={M-9〈XW7}.

又"力={X|X<1,或x>7},

.,.他/)08={49?1}.

(2)?.[□3=4.'.AcB,

.[-2/M+KI

???

m>7,

機〉0

即《

m>7,

解得〃z>7.

:.m的取值范圍是{加加＞7}.

18.解（1）由已知，1-aV0,且方程（1—o）x~-4x+6=0的兩根為-3,1,

-^-=-3+1

1一。

有4

-7

\-a

解得Q=3.

（2）不等式3/+加％+320的解集為R,

則△二病一4x3x3W0，解得一，

實數機的取值范圍為[-6,6].

19.解：由x~—3x—4W0,解得—,

由—一6x+9/W0,

可得[工一(3+加)][x-(3—〃7)]W0,①

當〃?=0時，①式的解集為｛x|x=3｝；

當加＜0時，①式的解集為｛x|3+mWxW3-〃?｝；

當加＞0時，①式的解集為｛x|3-〃WxW3+m｝；

當p是q的充分條件，則集合｛x|-lWxW4｝是①式解集在的子集.

/H＜0

可得13+加式一1

3-機24

加〉0

或v3-mW-1

3+加N4,

解得〃W一4或加24.

故〃？的取值范圍是(-oo,-4]U[4,+8).

20.解：(1)當XE[30,50]時，設該工廠獲利為S萬元,

則S=20x-(x2-40x+1600)=-(x—30)2—700,所以當xw[30,50]時，S的最大值為—700,因此該工廠

不會獲利，國家至少需要補貼700萬元，該工廠才不會虧損.

(2)由題知，二氧化碳的平均處理成本P=2x+幽-40,xe[30,501,