江蘇省睢寧高級中學2024年高考數學五模試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知曲線且過定點，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．2．函數的部分圖像大致為（）A． B．C． D．3．著名的斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，…，滿足，，，若，則()A．2020 B．4038 C．4039 D．40404．已知，滿足，且的最大值是最小值的4倍，則的值是（）A．4 B． C． D．5．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥βC．α與β相交，且交線垂直于 D．α與β相交，且交線平行于6．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．7．已知函數，若關于的方程恰好有3個不相等的實數根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．8．記集合和集合表示的平面區域分別是和,若在區域內任取一點,則該點落在區域的概率為()A． B． C． D．9．已知數列為等差數列，為其前項和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．8410．函數f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．11．記單調遞增的等比數列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．12．已知單位向量，的夾角為，若向量，，且，則（）A．2 B．2 C．4 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數滿約束條件，則的最大值為___________.14．若，則________，________.15．如果橢圓的對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點組成一正三角形，焦點在x軸上，且=,那么橢圓的方程是．16．已知為等差數列，為其前n項和，若，，則_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）過點作傾斜角為的直線與曲線（為參數）相交于M、N兩點．（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值．18．（12分）若不等式在時恒成立，則的取值范圍是__________.19．（12分）△ABC的內角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.20．（12分）已知動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心的軌跡為，過作斜率為的直線與交于兩點，過分別作的切線，兩切線的交點為，直線與交于兩點．（1）證明：點始終在直線上且；（2）求四邊形的面積的最小值．21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2a2（1）求橢圓C的方程；（2）假設直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點．①若A為橢圓的上頂點，M為線段AB中點，連接OM并延長交橢圓C于N，并且ON=62OM，求OB的長；②若原點O到直線l的距離為1，并且22．（10分）已知函數（1）解不等式；（2）若均為正實數，且滿足，為的最小值，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據指數型函數所過的定點，確定，再根據條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,，當且僅當時等號成立，即時取得最小值.故選：A【點睛】本題考查指數型函數的性質，以及基本不等式求最值，意在考查轉化與變形，基本計算能力，屬于基礎題型.2、A【解析】

根據函數解析式，可知的定義域為，通過定義法判斷函數的奇偶性，得出，則為偶函數，可排除選項，觀察選項的圖象，可知代入，解得，排除選項，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以的定義域為，則，∴為偶函數，圖象關于軸對稱，排除選項，且當時，，排除選項，所以正確.故選：A.【點睛】本題考查由函數解析式識別函數圖象，利用函數的奇偶性和特殊值法進行排除.3、D【解析】

計算，代入等式，根據化簡得到答案.【詳解】，，，故，，故.故選：.【點睛】本題考查了斐波那契數列，意在考查學生的計算能力和應用能力.4、D【解析】試題分析：先畫出可行域如圖：由，得，由，得，當直線過點時，目標函數取得最大值，最大值為3；當直線過點時，目標函數取得最小值，最小值為3a；由條件得，所以，故選D.考點：線性規劃.5、D【解析】

試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點：平面與平面的位置關系，平面的基本性質及其推論．6、C【解析】

求出，進而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點睛】本題考查了向量的坐標運算，考查了數量積的坐標表示.求向量夾角時，通常代入公式進行計算.7、D【解析】

討論，，三種情況，求導得到單調區間，畫出函數圖像，根據圖像得到答案.【詳解】當時，，故，函數在上單調遞增，在上單調遞減，且；當時，；當時，，，函數單調遞減；如圖所示畫出函數圖像，則，故.故選：.【點睛】本題考查了利用導數求函數的零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.8、C【解析】

據題意可知，是與面積有關的幾何概率，要求落在區域內的概率，只要求、所表示區域的面積，然后代入概率公式，計算即可得答案．【詳解】根據題意可得集合所表示的區域即為如圖所表示：的圓及內部的平面區域，面積為，集合，，表示的平面區域即為圖中的，，根據幾何概率的計算公式可得，故選：C．【點睛】本題主要考查了幾何概率的計算，本題是與面積有關的幾何概率模型．解決本題的關鍵是要準確求出兩區域的面積．9、D【解析】

利用等差數列的通項公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項的性質，即得解【詳解】，解得．．故選：D【點睛】本題考查了等差數列的通項公式、求和公式和等差中項，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.10、D【解析】

根據函數為非偶函數可排除兩個選項，再根據特殊值可區分剩余兩個選項.【詳解】因為f(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關于y軸對稱，排除選項B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.【點睛】本題主要考查了函數圖象的對稱性及特值法區分函數圖象，屬于中檔題.11、C【解析】

先利用等比數列的性質得到的值，再根據的方程組可得的值，從而得到數列的公比，進而得到數列的通項和前項和，根據后兩個公式可得正確的選項.【詳解】因為為等比數列，所以，故即，由可得或，因為為遞增數列，故符合.此時，所以或（舍，因為為遞增數列）.故，.故選C.【點睛】一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數且；（3）為等比數列（）且公比為.12、C【解析】

根據列方程，由此求得的值，進而求得.【詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C【點睛】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數量積的運算，考查向量模的求法，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】

畫出可行域和目標函數，根據平移計算得到答案.【詳解】根據約束條件，畫出可行域，圖中陰影部分為可行域.又目標函數表示直線在軸上的截距，由圖可知當經過點時截距最大，故的最大值為8.故答案為：.【點睛】本題考查了線性規劃問題，畫出圖像是解題的關鍵.14、【解析】

根據誘導公式和二倍角公式計算得到答案.【詳解】，故.故答案為：；.【點睛】本題考查了誘導公式和二倍角公式，屬于簡單題.15、【解析】

由題意可設橢圓方程為：∵短軸的一個端點與兩焦點組成一正三角形，焦點在軸上∴又，∴，∴橢圓的方程為，故答案為．考點：橢圓的標準方程，解三角形以及解方程組的相關知識．16、1【解析】試題分析：因為是等差數列，所以，即，又，所以，所以．故答案為1．【考點】等差數列的基本性質【名師點睛】在等差數列五個基本量，，，，中，已知其中三個量，可以根據已知條件，結合等差數列的通項公式、前項和公式列出關于基本量的方程(組)來求余下的兩個量，計算時須注意整體代換思想及方程思想的應用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】

（1）將曲線的參數方程消參得到普通方程；（2）寫出直線MN的參數方程，將參數方程代入曲線方程，并將其化為一個關于的一元二次方程，根據，結合韋達定理和余弦函數的性質，即可求出的最小值.【詳解】（1）由曲線C的參數方程（是參數），可得，即曲線C的一般方程為．（2）直線MN的參數方程為（t為參數），將直線MN的參數方程代入曲線，得，整理得，設M，N對應的對數分別為，，則，當時，取得最小值為．【點睛】該題考查的是有關參數方程的問題，涉及到的知識點有參數方程向普通方程的轉化，直線的參數方程的應用，屬于簡單題目.18、【解析】

原不等式等價于在恒成立，令，，求出在上的最小值后可得的取值范圍.【詳解】因為在時恒成立，故在恒成立.令，由可得.令，，則為上的增函數，故.故.故答案為：.【點睛】本題考查含參數的不等式的恒成立，對于此類問題，優先考慮參變分離，把恒成立問題轉化為不含參數的新函數的最值問題，本題屬于基礎題.19、(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據題設和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設及（1）得，即.所以，故.由題設得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關系轉化為角的關系，有時需將角的關系轉化為邊的關系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉化為角的關系，建立函數關系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.20、（1）見解析（2）最小值為1．【解析】

（1）根據拋物線的定義，判斷出的軌跡為拋物線，并由此求得軌跡的方程.設出兩點的坐標，利用導數求得切線的方程，由此求得點的坐標.寫出直線的方程，聯立直線的方程和曲線的方程，根據韋達定理求得點的坐標，并由此判斷出始終在直線上，且.（2）設直線的傾斜角為，求得的表達式，求得的表達式，由此求得四邊形的面積的表達式進而求得四邊形的面積的最小值．【詳解】(1)∵動圓過定點，且與直線相切，∴動圓圓心到定點和定直線的距離相等，∴動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，∴軌跡的方程為：，設，∴直線的方程為：，即：①，同理，直線的方程為：②，由①②可得：，直線方程為：，聯立可得：，，∴點始終在直線上且；（2）設直線的傾斜角為，由（1）可得：，，∴四邊形的面積為：，當且僅當或，即時取等號，∴四邊形的面積的最小值為1.【點睛】本小題主要考查動點軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關系，考查拋物線中四邊形面積的最值的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.21、（1）x22+y2【解析】

（1）根據橢圓的幾何性質可得到a2，b2；（2）聯立直線和橢圓，利用弦長公式可求得弦長AB，利用點到直線的距離公式求得原點到直線l的距離，從而可求得三角形面積，再用單調性求最值可得值域．【詳解】（1）因為兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成等腰直角三角形，所以a=2又由右準線方程為x=2，得到a2解得a=2,c=1，所以所以，橢圓C的方程為x2（2）①設B(x1,y1∵ON=6因為點B,N都在橢圓上，所以x122+y12所以OB=x②由原點O到直線l的距離為1，得|m|1+k2聯立直線l的方程與橢圓C的方程：y=kx+mx2設A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面積S==1因為S=2λ(1-λ)在[并且當λ=45時，S=225所以△OAB的面積S的范圍為[10【點睛】圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決；(2)代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值．在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用判別式來構造不等關系，從