第七章復(fù)數(shù)一、數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，貫穿在數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中.在本章中，主要體現(xiàn)在復(fù)數(shù)的基本概念中.培優(yōu)一復(fù)數(shù)的概念【例1】（1）設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a＋6+2ii－1（a∈R）是純虛數(shù)，則aA.4 B.3C.2 D.1（2）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝a＋i（a∈R）滿足z2＋z＝1－3i，則｜z｜＝（）A.2或5B.2或5 C.5D.5（3）若復(fù)數(shù)z＝1＋i（i為虛數(shù)單位），z是z的共軛復(fù)數(shù)，則z2＋z2的虛部為（A.0B.－1 C.1D.－2解析（1）∵a＋6+2ii－1＝a＋（6+2i)(-1－i）(-1+i)(-1－i）＝a＋（2）∵z2＋z＝（a＋i）2＋a＋i＝a2－1＋a＋（2a＋1）i＝1－3i，∴a2－1+a=1，2a+1=－3，解得a＝－2.∴z＝－（3）∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z2＋z2＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0.故選答案（1）C（2）C（3）A二、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.在本章中，主要體現(xiàn)在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中.培優(yōu)二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【例2】（1）（2022·新高考Ⅰ卷）若i（1－z）＝1，則z＋z＝（）A.－2 B.－1C.1 D.2（2）（2022·新高考Ⅱ卷）（2＋2i）（1－2i）＝（）A.－2＋4i B.－2－4iC.6＋2i D.6－2i（3）（2022·全國(guó)乙卷）已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（）A.a＝1，b＝－2 B.a＝－1，b＝2C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2解析（1）因?yàn)閕（1－z）＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故選（2）（2＋2i）（1－2i）＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故選D.（3）由題意知z＝1＋2i，所以z＋az＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋az＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以a＋b+1=0，答案（1）D（2）D（3）A三、直觀想象直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段.在本章中，主要體現(xiàn)在復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量OZ之間的相互聯(lián)系中.培優(yōu)三復(fù)數(shù)的幾何意義【例3】（1）（2021·新高考Ⅱ卷）復(fù)數(shù)2－i1－A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限（2）已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為OZ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），OZ與實(shí)軸正方向的夾角為120°，且復(fù)數(shù)z的模為2，則復(fù)數(shù)z＝.

解析（1）2－i1－3i＝（2－i)(（2）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為Z（a，b）.根據(jù)題意可畫圖形如圖所示.∵｜z｜＝2，且OZ與x軸正方向的夾角為120°，