真實(shí)情境中的圓問(wèn)題2024中考備考重難專題課件真實(shí)情境中的圓問(wèn)題

課堂練兵

課后小練1

典例精講23考情分析年份題號(hào)題型分值背景素材考查知識(shí)設(shè)問(wèn)形式輔助線作法202222解答題10滾鐵環(huán)(1)切線的性質(zhì)、互為余角的性質(zhì)；(2)銳角三角函數(shù)，等角的三角函數(shù)值相等(1)求證：兩角之和為90°；(2)求線段長(zhǎng)(1)過(guò)切點(diǎn)作鉛垂線的平行線；(2)過(guò)切點(diǎn)作另一切線的平行線2021209石磨（傳統(tǒng)文化、跨學(xué)科“連桿”）(1)切線的性質(zhì)、互為余角的性質(zhì)、圓周角定理；(2)相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理(1)求證：角之間的2倍關(guān)系；(2)求線段長(zhǎng)(1)連圓心和切點(diǎn)；(2)過(guò)點(diǎn)P作直徑的垂線年份題號(hào)題型分值背景素材考查知識(shí)設(shè)問(wèn)形式輔助線作法202020解答題9三分角器（數(shù)學(xué)文化）切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)補(bǔ)充已知、求證，寫(xiě)出證明過(guò)程連接圓心和切點(diǎn)典例精講例

(2023開(kāi)封模擬)中國(guó)5A級(jí)旅游景區(qū)開(kāi)封市清明上河園，水車園中的水車是由立式水輪、竹筒、支撐桿和水槽等配件組成，如圖是水車園中半徑為5米的水車灌田的簡(jiǎn)化示意圖，立式水輪⊙O在水流的作用下利用竹筒將水運(yùn)送到點(diǎn)A處，水沿水槽AP流到田地，⊙O與水面交于點(diǎn)B，C，且點(diǎn)B，C，P在同一直線上；AP與⊙O相切，若點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為32米，立式水輪⊙O的最低點(diǎn)到水面的距離為2米，連接AC，AB.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)求證：∠PAC＝∠PBA；還是無(wú)法聯(lián)系∠PAC和∠PBA，還可以怎樣作輔助線？借助半徑構(gòu)造直徑試試，并連接CEE例題圖知切點(diǎn)，連半徑觀察圖形還有什么發(fā)現(xiàn)？(1)求證：∠PAC＝∠PBA；E例題圖∠PBA=∠AEC互余的性質(zhì)得到∠AEC=∠PAC=∠PBA拓展：∠PAC這種頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角，弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角，即本題中證明的∠PAC＝∠PBA例題圖注意：①弦切角需要證明②連半徑不能直接應(yīng)用解題還需要構(gòu)造直徑答題步驟作輔助線證∠EAC＋∠PAC＝90°證∠EAC＋∠AEC＝90°證得∠PAC＝∠PBA證∠AEC＝∠ABC(1)證明：如解圖，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，∵PA是⊙O的切線，∴∠EAP＝90°，∴∠EAC＋∠PAC＝90°，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE＝90°，∴∠EAC＋∠AEC＝90°，∴∠PAC＝∠AEC∵∠AEC＝∠ABC，∴∠ABC＝∠PAC，即∠PAC＝∠PBA；解圖銳角三角函數(shù)(2)請(qǐng)求出水槽AP的長(zhǎng)度．求線段長(zhǎng)我們可以想到什么方法？三角形相似圖中構(gòu)成A字型相似（有公共角，且另一組角相等）例題圖AP在哪個(gè)三角形中？PC=32△PAC∽△PBAPA2＝PB·PC?BC?DFRt△OFC中求得FC，BC勾股定理三角形全等半徑為5⊙O的最低點(diǎn)到水面的距離為2米已知：DF=2答題步驟作輔助線求PB證△PAC∽△PBA求出PA列比例式(2)解：如解圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)OF交⊙O于點(diǎn)D，連接OC，∵BC為水平面，∴D為⊙O的最低點(diǎn)，由題知DF＝2米，由垂徑定理可得BC＝2CF，在Rt△OFC中，OF＝OD－DF＝5－2＝3米，OC＝5米，則CF＝

＝4米，∴BC＝2CF＝8米，PB＝32＋8＝40米，∵∠P＝∠P，∠PAC＝∠PBA，∴△PAC∽△PBA，∴

＝

，

即PA2＝PB·PC，∴PA＝

＝16米．答：水槽AP的長(zhǎng)度為16米．解圖方法總結(jié)真實(shí)情境中的圓問(wèn)題

切線的性質(zhì)、圓周角定理及其推論、相似三角形的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)、勾股定理

相似A字型，特點(diǎn)為有共用的一組角，且有另外一組角相等，形似字母“A”輔助線作法：過(guò)圓心連半徑，通常還要再轉(zhuǎn)化構(gòu)造直徑去解題(題中沒(méi)有給出直徑的情況)拓展：題中這種角是弦切角，弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角知識(shí)點(diǎn)：模型：解題方法：1.證明角間數(shù)量關(guān)系切線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，兩半徑構(gòu)成的等腰三角形，角間等量轉(zhuǎn)換，兩角互余的性質(zhì)2.求線段長(zhǎng)通常有3種方法：①銳角三角函數(shù)，此時(shí)線段要在直角三角形中或者能夠構(gòu)造直角三角形，用銳角三角函數(shù)需要已知一條邊和一個(gè)角；②勾股定理，此時(shí)線段要在直角三角形中或者能夠構(gòu)造直角三角形，用勾股定理需要已知兩邊；③三角形相似、全等，用相似需要證明兩組角相等，有等邊則證明全等真實(shí)情境中的圓問(wèn)題課堂練兵練習(xí)

(2023河南原創(chuàng)卷)我國(guó)的紙傘工藝十分巧妙．如圖①，傘不論張開(kāi)還是縮攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAD，從而保證傘圈C能沿著傘柄滑動(dòng)．小明受此啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)“簡(jiǎn)易平分角的儀器”，如圖②，其中AB＝AD，BC＝DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們落在角的兩邊上，沿AC畫(huà)一條射線AE，則AE為∠PRQ的平分線．(1)如圖②，試說(shuō)明這個(gè)平分角的儀器的制作原理；證得△ABC≌△ADC全等如何得到兩角相等？練習(xí)題圖能想到什么？角平分線角平分線性質(zhì)是什么？∠BAC＝∠DAC①勾股定理②銳角三角函數(shù)③三角形全等④三角形相似解(1)：∵在△ABC和△ADC中，

，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)，∴AC為∠BAD的平分線；答題步驟證△ABC≌△ADC證得角相等判定角平分線練習(xí)題圖(2)如圖③，將上述平分角儀器的頂點(diǎn)A落在⊙O的直徑MN的端點(diǎn)M處，邊AB與直徑MN共線，邊AD與⊙O相交于點(diǎn)G，AC交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線，與AD，BC分別交于點(diǎn)F，H.①求證：EF⊥AD；連半徑，得到OE⊥EF能否證明AD∥OE，EF⊥AD？練習(xí)題圖已知AC平分∠DAB∠DAC＝∠BAC＝∠OEA內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行∟答題步驟連半徑證∠DAC＝∠OEA證明OE∥AD證得EF⊥AD證明OE⊥EH(2)①證明：如圖，連接OE，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠OEA，∵AC平分∠DAB；∴∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠OEA，∴OE∥AD，∵FH是⊙O的切線，∴OE⊥EH，∴EF⊥AD；練習(xí)題圖②若⊙O半徑為3，AE＝4，求FG的長(zhǎng)．放在哪個(gè)三角形中求解？34(2)如圖③，將上述平分角儀器的頂點(diǎn)A落在⊙O的直徑MN的端點(diǎn)M處，邊AB與直徑MN共線，邊AD與⊙O相交于點(diǎn)G，AC交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線，與AD，BC分別交于點(diǎn)F，H.在Rt△ANE中，可得EN長(zhǎng)∠DAC＝∠BACGE=EN證明△EFG∽△AEN？練習(xí)題圖四邊形ANEG是圓內(nèi)接四邊形答題步驟作輔助線計(jì)算EN長(zhǎng)度代換GE列比例式計(jì)算FG證△EFG∽△AEN②解：如圖，連接EG，EN，∵M(jìn)N是⊙O的直徑，⊙O半徑為3，∴∠MEN＝90°，MN＝6，在Rt△AEN中，AN＝MN＝6，AE＝4，由勾股定理得EN＝

＝2，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，∴＝

，∴GE＝NE＝2，∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°，∴∠AEN＝∠AFE，∵四邊形ANEG是圓內(nèi)接四邊形，∴∠EGF＝∠ANE，∴△EFG∽△AEN，∴＝

，∴＝

，∴FG＝

.練習(xí)題圖課后小練練習(xí)1人類會(huì)作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前，由我國(guó)的墨子給出圓的概念：“一中同長(zhǎng)也”．意思是說(shuō)，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等．這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下的定義要早100年．與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我們把頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．如下是弦切角定理一種情況的證明過(guò)程：

證明：如圖①，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)A,∴∠CAB＝90°，∴弦切角∠BAC的度數(shù)等于它所夾半圓所對(duì)的圓周角度數(shù)．練習(xí)1題題圖①為了驗(yàn)證這一定理的正確性，需要對(duì)其他情況進(jìn)行證明．如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出證明過(guò)程．已知：如圖②，__________________，圓心O在∠BAC的內(nèi)部，AD為⊙O的直徑，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，CE，AE為⊙O的弦．求證：______________．AB與⊙O相切于點(diǎn)A∠CEA＝∠CAB練習(xí)1題題圖②證明：如圖，連接DE，則∠CED＝∠CAD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠DEA＝90°.∵AB與⊙O相切于點(diǎn)

A,∴∠DAB＝90°.∴∠CED

＋∠DEA

＝∠CAD

＋∠DAB,即∠CEA＝∠CAB，∴弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．練習(xí)2與圓有關(guān)的定理，我們?cè)诔踔须A段已經(jīng)學(xué)習(xí)了很多，例如垂徑定理，圓周角定理等．實(shí)際上，與圓相關(guān)的定理還有很多，如圓冪定理，它包含了相交弦定理，切割線定理，割線定理以及它們的推論，其中切割線定理的內(nèi)容是：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．喜歡思考的天天在了解這個(gè)定理之后嘗試給出證明，下面是他的部分證明過(guò)程：已知：如圖①，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，切線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C.求證：PA2＝PB·PC.證明：如圖②，連接AB，AC，AO，BO，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴PA⊥AO，即∠PAB＋∠BAO＝90°.…練習(xí)2題圖(1)請(qǐng)你幫助天天將證明過(guò)程補(bǔ)充完整；(1)補(bǔ)充證明過(guò)程如下：∴∠PAB＝90°－∠BAO，∵∠BAO＝

(180°－∠BOA)＝90°－

∠BOA，∴∠PAB＝90°－(90°－

∠BOA)＝

∠BOA，又∵∠PCA＝

∠BOA，∴∠PAB＝∠PCA，∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，∴＝

，∴PA2＝PB·PC；證明：如圖②，連接AB，AC，AO，BO，∵PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∴PA⊥AO，即∠PAB＋∠B