線性代數(shù)習題冊(答案)x12x2x3x41

2．已知線性方程組2x22x36x42，寫出其增廣矩陣，并將增廣矩陣通過初等行變

2x3x2x9

241

換化為階梯形、行最簡形。

210

3．已知A，將A化成標準形。并寫出P、Q，使A的標準形等于PAQ。

132

021

4．已知A213，利用矩陣的初等變換，求A1。

334

5117A1132

364

110

11，AX2XA，求X。

5．已知A0

101

練習二

班級學號姓名1.選擇題：

1）Amn的行階梯形中只有前r（r＜m且r＜n）行為非零行，則R(A)為（C）（A）0；（B）m；（C）r；（D）n.

2）非零矩陣Amn（m＜n）中的所有的2階子式全為0，則A的標準形為（D）

Em

（A）

00000010

；（B）；（C）；（D）

0E00000mnmnmnmmn

3）方陣An的秩R(A)=n，則An必定不滿足（D）（A）An可逆；（B）An與E等價；（C）R(A)n；（D）存在BO,使ABO

4）An為奇異矩陣，下列的錯誤的是（C）

T

（A）R(A)R(A)；（B）R(A)n；（C）A0；（D）An不與單位陣E等價

3102

2.已知矩陣A1121，求R(A)。

1344

R(A)=2

123k

3.設A12k3，問k為何值時，可分別使（1）（2）（3）R(A)=1；R(A)=2；R(A)=3？

k23

4.已知n階方陣A，使A2E為不可逆矩陣，求證：A不為零矩陣。

練習三

班級學號姓名1．選擇題：

1）當（D）時，齊次線性方程組Amnx0一定有非零解。

（A）m≠n；（B）m＝n；（C）m＞n；（D）m＜n.2）設A為n（≥2）階方陣，且R(A)=n-1，1,2是Ax0的兩個不同的解向量，k為任意常數(shù)，則AxO的通解為（C）

（A）k1；（B）k2；（C）k(12)；（D）k(12).2．填空題:

1）設4階方陣A(1234)，且1234，則方程組Ax的一個解

向量為(1111)。

2）設方程組A(n1)nxb有解，則其增廣矩陣的行列式Ab

x1x2a1xxa232

3）若有解，則常數(shù)a1,a2,a3,a4應滿足條件xxa334x4x1a4

a

i1

4

i

0

1x1112

4）已知方程組23a2x23無解，則a=-1。

1a2x03

11121112

23a2301a11a20

00(a3)(a1)a3x1x2x50

3．求齊次線性方程組x1x2x30的解。

xxx0345

4．解矩陣方程：

12310

X

23101

x1x2x31

5．取何值時，非齊次線性方程組x1x2x3（1）有唯一解；（2）無解；（3）有

2x1x2x3

無窮多解？并在有解時，求解。解：

112111

r1r3

A1111

112111

11r2r1

r3r1011

01122

213

112

r3r2

0112

0022132112

011(1)

200(2)(1)(1)(1)

112

（1）當2,1時，有唯一解；A011

2(1)001

2

x1(1)2(1)322

1001110222

x1(1)2(1)2

0100102

222

(1)2(1)2(1)2x3001001222

（2）當2時，無解；

1111

（3）當1時，有無窮多解。A0000，

0000

x1111

xc1c（其中c1,c2是任意實數(shù)）21200，x0103

自測題

1．選擇題：

1）設A為n（≥2）階奇異方陣，A中有一元素aij的代數(shù)余子式Aij0，則方程組AxO的基礎解系所含向量個數(shù)為（B）

（A）i；（B）1；（C）j；（D）n.

x1x22x30

2）方程組x1x2x30的系數(shù)矩陣記為A，若存在三階方陣BO，

xxx0

312

使得ABO，則（A）

（A）1，B0；（B）1，B0；（C）1，B0；（D）1，B0.3）設A與B是n階方陣，齊次線性方程組AxO，BxO有相同的基礎解系1,2,3，則以下方程組以1,2,3為基礎解系的是（D）

（A）(AB)xO；（B）ABxO；（C）BAxO；（D）

A

xO.B

2．判斷題:

1）初等矩陣與初等變換是一一對應的（√）

Er

2）任一秩為r的矩陣A必與

O

T

O

等價（√）O

3）AxO與AAxO為同解方程組（√）4）方程組Axb有無窮多個解的充分必要條件是Axb有兩個不同的解（√）3．設n階方陣A的列向量為i（i=1，2，3，…，n），n階方陣B的列向量為

12,23,,n1n,n1，試問：當R(A)n時，BxO是否有非零解？

試證明你的結論。

4．若齊次線性方程組AmnxO的解均為齊次線性方程組BlnxO的解，試證明R(A)R(B)。

5．求方程組

x1x20x1x2x30

與的非零公共解。

x2x40x2x3x40

解：

11001100101010101r3r1r32r20A11100210r4r2001110111010r4r3

00

10

01

101r1r20

0012

0000

1

101

012

00000

1

0

101012

012

1x1

非零公共解為x2c1（c0,c是任意實數(shù)）2x3

x4

6．設非齊次線性方程組Amnxb的系數(shù)矩陣Amn的秩為r，1,2,,nr是Amnx0的一個基礎解系，是Amnxb的一個解。證明：Amnxb的任一解可表示為

xk1(1)k2(2)knr(nr)knr1,(k1k2knr11)

7．設1,2,3,4,為四維列向量，A(1,2,3,4)，已知Ax的通解為

11111*****

xk1k2，其中，為對應的齊次方程組的基礎解系，k1,k2為

2010111010

任意常數(shù)，令B(1,2,3)，試求By的通解。

第四章向量組的線性相關性

練習一

班級學號姓名

1．已知向量1,1,0,1,2,1,1,2,1,2,0,1，試求向量32.解：3231,1,0,122,1,1,21,2,0,1(6,3,2,6)2．已知向量組A:10,1,2,3,23,0,1,2,32,3,0,1,

T

T

T

B:12,1,1,2,20,2,1,1,34,4,1,3,證明B組能由A組線性表示，但A

組不能由B組線性表示。解：

TTT

01AB2341

031240

0*****

*****0

3220XX年

32

12

2057

161281

4

479

10

0041

161570

002051525

041350

0312

4

16157

04135

00000

0312

R(A)3R(AB)，所以B組能由A組線性表示。20

12BA

11

2110

00

1

1

403211

410303

0*****

3321012

1

1

0

31132412

11011

2

1

1

2

1

01

111010

000210

0021000

11101

00210

00000

R(B)2,R(BA)3，所以A組不能由B組線性表示。

3．設可由1,2,,m線性表示，但不能由1,2,,m1線性表示，證明：m可由

1,2,,m1,線性表示，而不能由1,2,,m1線性表示。

4．已知11,4,0,2,22,7,1,3,30,1,1,a,3,10,b,4，問：（1）a,b取何值時，不能由1,2,3線性表示？

（2）a,b取何值時，可由1,2,3線性表示？并寫出此表達式。解：

T

T

T

T

14

A1,2,3,

0231203

71100112

011b11b

3a401a2

20

1

0

0031

1120

000b2

0a100

20

3

1120a10

00b2

20

（1）當a1,b2或a1,b2時，R(A)R(A)，不能由1,2,3線性表示。

10

（2）當a1,b2時，A

0031

1120

00a10

0000

20

001

102

010

000

R(A)R(A)3，可由1,2,3線性表示，12203

10

當a1,b2時，A

00

31

1120

0000

00002

1

112

，000

0000

2

R(A)R(A)2，可由1,2,3線性表示。

(12k)1(2k)2k3（kR）

練習二

班級學號姓名

1．判斷向量組11,1,0,0,20,1,1,0,30,0,1,1,41,0,0,1的線性相關性。

T

T

T

T

2．討論向量組11,1,0,21,3,1,35,3,t的線性相關性？即t取何值時，向量組線性無關？t又取何值時，向量組線性相關？

T

T

T

3．已知向量組1,2,3線性無關，判斷2132,233,123的線性相關性。

4．如果向量可以用向量組1,2,,r線性表示，試證表示方法是唯一的充要條件是

1,2,,r線性無關。

練習三

班級學號姓名

1．已知向量組11,2,3,4,22,3,4,5,33,4,5,6,44,5,6,7，求該向量組的秩。

2．求向量組11,1,2,4,20,3,1,2,33,0,7,14,41,2,2,0的秩和最大無關組，并把其余向量用此最大無關組線性表示。

1

3

3．利用初等行變換求矩陣

24

324

142

的列向量組的一個最大無關組，并把其余列向量342

139

用最大無關組線性表示。

4．設A為n階矩陣（n≥2），A為A的伴隨矩陣，證明：

n,當R(A)n

R(A)1,當R(A)n1

0,當

R(A)n2

練習四

班級學號姓名

x1x23x4x50

x1x22x3x4x50

1．求齊次線性方程組的基礎解系。

4x2x6x5xx0*****2x14x22x34x416x50

x13x23x32x4x532x6xx3x21234

2．求非齊次線性方程組的通解。

x13x22x3x4x513x19x24x35x4x55

3．已知1,2,3是四元非齊次線性方程組Axb的解，R(A)2，且

112201

12,23,31,求該方程組的通解。

012123

4．設是齊次線性方程組Axb的一個解，1,2,,nr是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系，證明：（1）,1,2,,nr線行無關；（2）,1,2,,nr線行無關。

練習五

班級學號姓名1．試判定集合V(x1,x2,,xn)x1x2xn1,xiR是否構成向量空間？

2．求向量空間R4的基11,2,1,0,21,1,1,1,31,2,1,1,41,1,0,1

,20,1,2,到基12,1,0,12,3

坐標變換公式。

2,1,1,4,2

1,3,1,2的過渡矩陣和向量的

自測題

一、選擇題：

1．設向量組（1）：1,：1,2等價，則（A）。2,3與向量組（2）（A）向量組（1）線性相關；（B）向量組（2）線性無關；（C）向量組（1）線性無關；（D）向量組（2）線性相關。2．設n維向量組1,2,,m線性無關，則（B）。

（A）向量組中增加一個向量后仍線性無關；（B）向量組中去掉一個向量后仍線性無關；（C）向量組中每個向量都去掉第一個分量后仍線性無關；（D）向量組中每個向量都任意增加一個分量后仍線性無關。3．設三階行列式Daij0，則（A）。

（A）D中至少有一行向量是其余行向量的線性組合；（B）D中每一行向量都是其余行向量的線性組合；

（C）D中至少有兩行向量線性相關；（D）D中每一行向量都線性相關。4．設A:1,2,,4是一組n維向量，且1,2,3線性相關，則（D）。（A）A的秩等于4；（B）A的秩等于n；（C）A的秩等于1；（D）A的秩小于等于3。5．設不能由非零向量1,2,,s線性表示，則（D）。

（A）1,2,,s線性相關；（B）1,2,,s,線性相關；

（C）與某個i線性相關；（D）與任一i都線性無關。二、填空題：

1．設n維向量1,2,3線性相關，則向量組12,23,31的秩。2．向量組,,線性相關的充分必要條件為。

3．設