第第頁第13章立體幾何初步章末題型歸納總結章末題型歸納目錄模塊一：本章知識思維導圖模塊二：典型例題經典題型一：幾何體的表面積與體積、直觀圖經典題型二：外接球、內切球、棱切球經典題型三：空間中的平行關系經典題型四：空間中的垂直關系經典題型五：空間角的求法（線線角、線面角、二面角）經典題型六：空間距離的求法（線線距、線面距、點面距、面面距）經典題型七：截面問題以及范圍與最值問題模塊三：數學思想與方法分類與整合思想②等價轉換思想③函數與方程思想

模塊一：本章知識思維導圖

模塊二：典型例題經典題型一：幾何體的表面積與體積、直觀圖例1．（2024·高二·浙江麗水·期末）如圖，將一個圓柱等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的幾何體，n越大，組合成的新幾何體就越接近一個“長方體”.若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據題意，設圓柱的底面半徑為，高，其軸截面的面積為，新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加的為軸截面的面積，若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了，即所以圓柱的側面積為.故選：A.例2．（2024·全國·一模）已知正三棱臺的上?下底面的邊長分別為2和4，且棱臺的側面與底面所成的二面角為，則此三棱臺的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設分別是的中點，連接，設分別是正三角形和正三角形的中心，則，且，由于平面平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是棱臺的側面與底面所成的二面角的平面角，所以，過作，垂足為，則，所以，所以三棱臺的表面積為.故選：C例3．（2024·福建莆田·二模）柏拉圖多面體是指每個面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴格對稱，結構等價的特點．六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應用性．將六氟化硫分子中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體（圖2）．若正八面體外接球的體積為，則此正八面體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據題意，作正八面體如下所示，連接，設，根據其對稱性可知，過點，又該八面體為正八面體，則面，又面，故；顯然正八面體的外接球球心為，設其半徑為，，則，在直角三角形中，；由可得，則；故該八面體的表面積.故選：D.例4．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）冰嘎別名冰尜，是東北民間少年兒童游藝品，俗稱“陀螺”．通常以木鏇之，大小不一，一般徑寸余，上端為圓柱形，下端為錐形．如圖所示的是一個陀螺立體結構圖．己知分別是上、下底面圓的圓心，，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知圓柱的高為，故該陀螺的體積為，故選：D例5．（2024·高二·浙江杭州·期末）所有的頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱體，其中平行的兩個面叫底面，其它面叫側面，兩底面之間的距離叫高，經過高的中點且平行于兩個底面的截面叫中截面．似柱體的體積公式為，這里、為兩個底面面積，為中截面面積，為高．如圖，已知多面體中，是邊長為的正方形，且，均為正三角形，，，則該多面體的體積為（）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，分別過點，作的垂線，垂足分別為點，，連接，，容易求得，.取的中點，連接，易得，則，所以多面體的體積.故選：B例6．（2024·高一·全國·課后作業）如圖所示，是的直觀圖，其中，那么是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】根據斜二測畫法可得，所以是直角三角形.故選：B.例7．（2024·高二·四川樂山·期末）如圖，正方形是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形ABCD的直觀圖，若，則四邊形ABCD周長為（

）A． B．4 C． D．8【答案】D【解析】根據斜二測畫法特點可知，所以為等腰直角三角形，所以，所以在原始圖形中，根據勾股定理可得所以四邊形的周長為.故選：D例8．（2024·高二·上海崇明·期中）的斜二測直觀圖如圖所示，則的面積是（

）A． B． C． D．4【答案】D【解析】依題意，由斜二測畫法規則知，的底邊，邊上的高，所以的面積是.故選：D例9．（2024·高二·山東·學業考試）如圖，在四棱柱中，底面為矩形，側面為菱形，平面平面，．(1)求證：平面；(2)求四棱柱的體積．【解析】（1）在四棱柱中，，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面．（2）取中點為，連結．在四棱柱中，，因為四邊形為菱形，所以，又因為，所以為等邊三角形，所以．又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱柱的高．因為底面為矩形，，所以四棱柱的底面積為，故四棱柱的體積為．例10．（2024·高二·黑龍江大慶·開學考試）在邊長為a的正方形中，E，F分別為，的中點，M、N分別為、的中點，現沿、、折疊，使B、C、D三點重合，構成一個三棱錐，如圖所示．

(1)在三棱錐中，求證：；(2)求四棱錐的體積．【解析】（1）在三棱錐中，因為，，，面,所以面．又平面，所以；（2）因為在中，M、N分別為、的中點，所以四邊形的面積是面積的．又三棱錐與四棱錐的高相等，所以，四棱錐的體積是三棱錐的體積的，因為，所以．因為．所以，故四棱錐的體積為．例11．（2024·高一·河南洛陽·階段練習）如圖，四面體被一平面所截，截面是一個平行四邊形.求證：.【解析】∵四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.而平面平面，平面，∴，∴.例12．（2024·高一·湖南張家界·期中）如圖，在四棱錐中，，，平面，，.設M，N分別為，的中點.

(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐的體積.【解析】（1）證明：∵M，N分別為，的中點，∴，又平面，平面，∴平面.在中，，，∴.又，∴.∵平面，平面，∴平面.又，∴平面平面.（2）∵，，，∴，∴三棱錐的體積.經典題型二：外接球、內切球、棱切球例13．（2024·高二·上海·專題練習）求解多面體的外接球時，經常用到截面圖.如圖所示，設球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任意一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則R、r、d滿足的關系式是.【答案】【解析】在中，根據勾股定理得，即.故答案為：.例14．（2024·高二·福建南平·階段練習）已知三棱錐滿足底面，在中，，，，是線段上一點，且．球為三棱錐的外接球，過點作球的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為，則球的表面積為.【答案】【解析】若將三棱錐補成直三棱柱，且三棱錐和該直三棱柱的外接球都是球，記三角形的外心為，設球的半徑為，，則球心到平面的距離為，即，連接，則，∴，在中，取的中點為，連接，，則，，∴．在中，，由題意得到當截面與直線垂直時，截面面積最小，設此時截面圓的半徑為，則，所以最小截面圓的面積為，當截面過球心時，截面面積最大為，∴，，球的表面積為．故答案為：.例15．（2024·高二·重慶·期中）已知三棱錐中，平面，且，三棱錐的外接球表面積為，則三棱錐的體積最大值是.【答案】【解析】棱錐的外接球表面積為，又因為為外接圓直徑,所以,所以.故答案為：例16．（2024·高二·重慶·期中）正四面體中，是棱的中點，是棱上一動點，的最小值為，則該正四面體的外接球表面積是.【答案】【解析】由題設，如下圖，將面與面沿展開為一個平面，要使的最小值為，即展開圖中，是棱的中點，令，故，所以，故正四面體的棱長，則，，如圖，若是的中心，為正四面體的外接球球心，且球體半徑為，所以，故該正四面體的外接球表面積是.故答案為：例17．（2024·高三·遼寧大連·期中）在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為.【答案】【解析】設，在等腰中，，設的外心是，外接圓半徑是，則，∴，設外接球球心是，則平面，平面，則，同理，，又平面，所以，是直角梯形，設，外接球半徑為，即，則，所以，在直角中，，，，，∴，，令，則，，當且僅當，時等號成立，所以的最小值是．故答案為：.例18．（2024·高二·安徽亳州·階段練習）如圖，在棱長為2的正方體中，在棱上運動，當二面角為直二面角時，四面體的外接球表面積為．

【答案】【解析】如圖，連接交于點，因為，所以，同理，由二面角的定義知，為二面角的平面角，，在棱長為2的正方體中，設，，，，解得，提取出四面體，如下圖，則，，又因為面角為直二面角，取中點，連接，在底面等邊，其外接圓圓心為三角形的重心，則所以，在等腰三角形中，設外接圓半徑為，其外接圓圓心在上，設為，過作垂線，其交點為，則為球心，連接，，由正弦定理，，求得，，設外接球半徑為，則所以外接球的表面積為.故答案為：例19．（2024·高二·湖南長沙·開學考試）已知圓錐的底面半徑為6，側面積為，則該圓錐的內切球（圓錐的側面和底面都與球相切）的體積為．【答案】【解析】作軸截面圖如圖，設截面的圓心為，由已知，，，則，，在中，．設內切球半徑為，由等面積法，,所以，得，所以內切球體積．故答案為：.例20．（2024·高三·甘肅·階段練習）傳說古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發現.在一個“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為.【答案】【解析】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，母線長為，則球的體積為，所以，所以圓柱表面積為.故答案為：.例21．（2024·高二·四川·階段練習）已知在直三棱柱中存在內切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為.【答案】【解析】由已知是直角三角形，，的內切圓半徑為，直三棱柱中存在內切球，則其高為，分別取的中點，連接，則也是該直三棱柱的高，的中點是其外接球球心，，所以外接球的表面積為．故答案為：．例22．（2024·高二·河南·階段練習）已知棱長均為的多面體由上?下全等的正四棱錐和拼接而成，其中四邊形為正方形，如圖所示，記該多面體的外接球半徑為，該多面體的棱切球（與該多面體的所有棱均相切的球）的半徑為，則．

【答案】【解析】在多面體中，為正方形的中心，如圖所示：由題意可知既是多面體的外接球的球心，也是棱切球的球心，過點作于點，在中，，，所以，所以，所以故答案為：例23．（2024·高三·河南·階段練習）在正三棱錐中，，，若球O與三棱錐的六條棱均相切，則球O的表面積為．【答案】【解析】如圖示：取的中心E，連接PE，則平面ABC，且與棱均相切的球的球心O在PE上.連接AE并延長交BC于D，則D為BC的中點，，連接OD.因為平面ABC，所有.因為平面，平面，，所有平面.因為平面，所有.過O作，交PA于點F.球O的半徑為r，則.由題意：為正三角形，因為，所以，，.因為，，所以，所以.設，所以，因為，所以，解得:，所以，故球O的表面積為．故答案為：例24．（2024·高三·全國·專題練習）已知正三棱柱的各棱長均為，以A為球心的球與棱相切，則球A于正三棱柱內的部分的體積為.【答案】【解析】如圖，正三棱柱的各棱長均為，以A為球心與棱相切的球的半徑為，則以平面為截面的上半球的體積為.又，球A位于正三棱柱內的部分的體積為.故答案為：.經典題型三：空間中的平行關系例25．（2024·高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點為的中點.求證：平面；【解析】連接交于，連接，因為四邊形是正方形，所以是的中點，又因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；例26．（2024·高三·全國·專題練習）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E是PD的中點．(1)求證：平面EAC．(2)若M是CD上異于C，D的點，連接PM交CE于點G，連接BM交AC于點H，求證：．【解析】（1）連接交于，連接，因為四邊形是平行四邊形，所以為中點，又因為為中點，所以是的中位線，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）因為平面，平面平面，平面，所以.例27．（2024·高二·黑龍江雞西·期末）兩個邊長為2的正方形和各與對方所在平面垂直，、分別是對角線、上的點，且.

(1)求證：平面；(2)設，，求與的函數關系式；(3)求、兩點間的最短距離.【解析】（1）過點作，交于點，連接、，因為，所以，由已知可得，，，所以，，，所以，，所以，，又，所以，因為平面，，平面，所以，平面，同理可得，平面，因為平面，平面，，所以，平面平面，因為平面，所以直線平面.（2）由（1）可知，，，所以，，所以，，同理可得，，又平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因為平面，所以，因為，，所以，所以，是直角三角形，所以，，即；（3）由，且，所以當，即、分別為線段、中點時，有最小值，、兩點間的最短距離為.例28．（2024·高一·遼寧阜新·期末）已知在正方體中，M、E、F、N分別是、、、的中點.求證：(1)E、F、D、B四點共面(2)平面平面.【解析】（1）證明：分別是、的中點，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，.，即確定一個平面，故E、F、D、B四點共面.（2）（2）M、N分別是、的中點，.又平面，平面，平面.連接，如圖所示，則，.四邊形是平行四邊形..又平面，平面.平面.都在平面,且,所以平面平面.例29．（2024·高一·浙江嘉興·期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為上的點，且，為中點．

(1)證明：平面.(2)在上是否存在一點，使得平面？若存在，指出點位置，并證明你的結論；若不存在，說明理由．【解析】（1）連交于，因為為中點，所以是中位線，所以．又平面AEC，平面．所以平面AEC．（2）上存在點，且，使得平面，證明：上取點，且，因為為上的點，且，所以在中，，所以，因為平面，平面，所以平面，又在中，，所以，因為平面，平面，所以平面，因為，，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面．經典題型四：空間中的垂直關系例30．（2024·高一·全國·專題練習）已知平面五邊形如圖1所示，其中，是正三角形．現將四邊形沿翻折，使得，得到的圖形如圖2所示．求證：平面平面．【解析】如圖，取的中點，連接，因為是等邊三角形，為的中點，所以，因為，所以，因為，，，所以四邊形為矩形，所以，又因為，所以，即，因為，，，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面．例31．（2024·全國·模擬預測）如圖1，在等邊中，是邊上的高，、分別是和邊的中點，現將沿翻折成使得平面平面，如圖2.

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點，使？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：如圖1，在中，、分別是和邊的中點，所以，，因為平面，平面，所以，平面.（2）在線段上取點，使，過點在平面內作于點，連接.由題意得，平面平面.因為，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，因為平面，所以，.在中，因為，，所以，，所以，，翻折前，為等邊三角形，則，因為為的中點，所以，，即，翻折后，仍有，所以，，故，在中，，因為，則.又因為，則平分，因為是斜邊上的中線，則，且，所以，是等邊三角形，則，又因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，綜上，在線段上存在一點，且當時，.例32．（2024·高一·全國·專題練習）如圖；在直三棱柱中，，，．求證；

【解析】證明：在中，因為，可得，所以為直角三角形，可得，由在直三棱柱中，可得平面，且平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以．例33．（2024·高一·全國·專題練習）在四面體中，分別是和的中點.證明：平面平面；【解析】因為是的中點，所以.又是的中點，所以.因為，所以.又，平面.所以平面.因為平面，所以平面平面.例34．（2024·高一·河南洛陽·階段練習）在四棱錐中，底面是正方形，平面．

(1)求證：平面⊥平面；(2)求證：平面⊥平面．【解析】（1）因為平面，平面，所以，又因為底面是正方形，所以，又因為平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.（2）因為平面，平面，所以，又因為底面是正方形，所以，又因為平面，所以平面，又平面，所以平面⊥平面.例35．（2024·高三·全國·階段練習）如圖，在五面體中，四邊形的對角線交于點，為等邊三角形，，，.(1)證明：平面；(2)若，求五面體的體積.【解析】（1）連接EF，在和中，，所以，所以，又，，所以≌，則為的中點，所以．在中，，又為的中點，所以，因為平面，平面，，，，平面（2）取的中點，連結，與交于點，連結．因為平面，平面，所以，又，，，所以平面，又平面，所以，又所以平面．因為，為等邊三角形，因為，所以而，在中，，在等邊中，BF是AC的中線，CM是AB的中線，所以G是等邊的重心，所以在中，，則四邊形的面積為．故五面體的體積為．例36．（2024·高一·陜西渭南·期末）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別是，的中點．求證：

(1)平面；(2)．【解析】（1）四棱錐的底面是矩形，，平面，平面，，又，、平面，平面；（2）由（1）知平面，同理可得，平面，，分別是，的中點，，平面，又平面，.例37．（2024·陜西榆林·一模）在三棱錐中，為的中點.(1)證明：⊥平面.(2)若，平面平面，求點到平面的距離.【解析】（1）因為，為的中點，所以，又因為平面，所以⊥平面.（2）因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，因為，所以均為等邊三角形，故，故，所以，因為平面，平面，所以，由勾股定理得，取的中點，連接，在中，，故⊥，故，，設點到平面的距離為，所以，解得.經典題型五：空間角的求法（線線角、線面角、二面角）例38．（2024·湖南岳陽·模擬預測）如圖，已知長方體的底面是邊長為2的正方形，為其上底面的中心，在此長方體內挖去四棱錐后所得的幾何體的體積為.(1)求線段的長；(2)求異面直線與所成的角.【解析】（1）依題意，得，解得；（2）如圖，取的中點，連接，則，所以是兩異面直線與所成的角，因為平面，所以平面，又平面，所以，在中，，則，所以，所以異面直線與所成的角為.例39．（2024·高二·黑龍江雞西·期末）如圖，平面，四邊形是正方形，且，試求：

(1)點到的距離；(2)求異面直線與所成的角.【解析】（1）由于平面，平面，所以，,四邊形是正方形,所以,又，連接相交于，所以為邊長為的等邊三角形，所以,故到的距離為,（2）取的中點為，連接,由于是的中點，所以,故即為直線與所成的角或其補角，由于，,,所以為等邊三角形，所以,故直線與所成的角為，例40．（2024·高二·上海·期中）如圖，已知分別是正方體的棱的中點，且與相交于點．(1)求證：點Q在直線DC上；(2)求異面直線與所成角的大小．【解析】（1）平面平面，由于平面，平面，所以，也即點Q在直線DC上.（2）根據正方體的性質可知，所以異面直線與所成角為，由于分別是的中點，所以，所以異面直線與所成角的大小為.例41．（2024·高二·上海·階段練習）如圖所示圓錐中，CD為底面的直徑，A，B分別為母線PD與PC的中點，點E是底面圓周上一點，若，，圓錐的高為.

(1)求圓錐的側面積S；(2)求異面直線AE與PC所成角的大小【解析】（1）設圓錐底面半徑為，母線長為，因為為直徑，是的中位線，所以，，所以側面積.（2）連接，由分別為的中點，得，所以為異面直線與所成的角或其補角，在中，，，取中點為，連接，則，，所以，在中，，所以異面直線AE與PC所成角的大小為.例42．（2024·上海青浦·一模）已知四棱錐，底面為正方形，邊長為，平面．(1)求證：平面；(2)若直線與所成的角大小為，求的長．【解析】（1）平面，平面，，又底面為正方形，則且，平面，平面．（2）平面，，為銳角，又，為直線與所成的角，，在中，，，在中，，，于是．例43．（2024·上海長寧·一模）如圖，在三棱錐中，平面平面為的中點.

(1)求證：；(2)若，求異面直線與所成的角的大小.【解析】（1）在三棱錐中，由為的中點，得，而平面平面，平面平面，平面，因此平面，又平面，所以.（2）分別取的中點，連接，于是，則是異面直線與所成的角或其補角，由（1）知，，又，，則，于是，令，則，又，則有，，又平面，平面，則，，，由分別為的中點，得，顯然，即有，，則，所以異面直線與所成的角的大小.例44．（2024·高二·四川自貢·階段練習）如圖，在正方體中，點E，F分別為棱，AB的中點．

(1)求證：E、F、C、四點共面：(2)求異面直線與BC所成角的余弦值．【解析】（1）連接.在中，點E，F分別為棱，AB的中點，則，在正方體中，，，且，四邊形是平行四邊形，，則，故、、、四點共面.（2）由（1）知，，則即為所求異面直線與BC所成的角，設正方體的棱長為，在中，，則，所以.故所求異面直線與BC所成角的余弦值為．例45．（2024·高一·福建寧德·階段練習）在直三棱柱中，，，，D是的中點.

(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成的角.【解析】（1）設與的交點為，連接，因為為直三棱柱，且，則四邊形為正方形，所以為的中點，又D是的中點，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知，，所以為直線與所成的角（或其補角），在中，，，，由余弦定理可得，，則，即異面直線與所成的角為.例46．（2024·高二·新疆阿克蘇·階段練習）如圖，在正方體中，求異面直線與所成的角的大小；【解析】連接，，如下圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，則，所以異面直線與所成的角即為直線與所成的角，即是異面直線與所成角的平面角，設正方體的棱長為，則，所以為正三角形，因此.即異面直線與所成的角的大小為.例47．（2024·高三·山東菏澤·開學考試）如圖，在三棱柱中，在底面ABC上的射影為線段BC的中點，M為線段的中點，且，.(1)求三棱錐的體積；(2)求MC與平面所成角的正弦值.【解析】（1）取BC的中點O，連接OA，，因為在底面ABC上的射影為O，所以面ABC，在三棱柱中，面面，所以面因為面，所以，在中，M為線段的中點，，因為，所以，因為面，面，，所以面，中，，，所以，，所以；（2）設C到平面的距離為d，則在中，，，所以，所以，設MC與平面所成角為，則，所以MC與平面所成角的正弦值為.例48．（2024·高三·全國·階段練習）如圖，在三棱臺中，平面，，，.(1)求證：平面平面；(2)求與平面所成角正弦值.【解析】（1）由，得，由平面，平面，則，又平面，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）將棱臺補全為如下棱錐，由，，，易知，，由平面，平面，則，，，所以，.可得，設到平面的距離為h，又，則，可得，設與平面所成角為，，則.例49．（2024·高三·河北衡水·期中）在如圖所示的直三棱柱中，D、E分別是的中點.(1)求證:平面;(2)若為等邊三角形，且，M為上的一點，求直線與直線所成角的正切值.【解析】（1）取的中點，連接在中，因為分別為的中點，所以平面平面，所以平面在矩形中，因為分別為的中點，所以平面平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面因為平面，所以平面；（2）因為三棱柱為直三棱柱，所以平面平面，連接，因為為正三角形，為中點，所以，平面平面，所以平面，取的中點，連接，可得，故平面，又因為，則且，故四邊形為平行四邊形，所以，所以即為直線與直線所成角，設，在中，，所以.例50．（2024·高三·全國·專題練習）如圖，在三棱柱中，所有的棱長都相等，側棱底面，求直線與平面所成角的正弦值.

【解析】取的中點O，連接，，易得.因為側棱底面，側棱側棱，所以側棱底面，底面，所以.因為，，平面，故平面，所以所求直線與平面所成的角為.由平面，平面可得.因為所有的棱長都相等，不妨假設棱長為2，則，，，則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.例51．（2024·高二·上海·期末）在如圖所示的圓錐中，是頂點，是底面的圓心，、是圓周上兩點，且，．(1)若圓錐側面積為，求圓錐的體積；(2)設圓錐的高為2，是線段上一點，且滿足，求直線與平面所成角的正切值．【解析】（1）設圓錐底面半徑為，母線長為，，則側面積，解得，于是圓錐的高，圓錐的體積．（2）中，，，則點是線段中點，取中點，連接，，則，又，則，由直線平面，平面，得，結合，且，平面，所以平面，因此直線是在平面內的射影，從而是直線與平面所成的角，∵，∴，又，得，即直線與平面所成的角的正切值為例52．（2024·高二·重慶·期末）在如圖所示的四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E，F分別在棱AB，PC上，且滿足，．(1)證明：平面PAD；(2)若平面底面ABCD，和為正三角形，求直線EF與底面ABCD所成角的正切值．【解析】（1）在中過點F作并交PD于點G，則，由得，由得，是平行四邊形，，是平行四邊形，，而平面PAD，平面PAD，平面PAD；（2）在平面PCD中過點F作于點O，連接OE，若平面底面ABCD，由平面底面ABCD，平面，底面ABCD，即為直線EF與底面ABCD所成角，設，則，在，由題意知底面ABCD是菱形，，取EB的中點M，連接CM，則四邊形為平行四邊形，有，在中，，由余弦定理，得，故，在，，∴直線EF與底面ABCD所成角的正切值．例53．（2024·高二·上海·期末）如圖，已知正方形的邊長為1，平面，三角形是等邊三角形．(1)求異面直線與所成的角的大小；(2)在線段上是否存在一點，使得與平面所成的角大小為？若存在，求出的長度，若不存在，說明理由.【解析】（1）因為為正方形，則，則異面直線與所成的角為與所成的角，即或其補角，因為三角形是等邊三角形，則平面，平面，，．所以異面直線AC與BD所成的角為．（2）作交于點，連接，平面，平面，則與平面所成的角為，設，則，則.例54．（2024·高三·全國·專題練習）如圖所示，在三棱錐中，．

(1)求證：；(2)求二面角的余弦值；(3)求點到平面的距離．【解析】（1）取的中點為，連接，因為，故，同理，而平面，故平面，而平面，故.（2）如圖，過作，垂足分別為，連接.由（1）可得平面，而平面，故平面平面，而平面平面，平面，故平面，而平面，所以，而平面，所以平面，因平面，故，故為二面角的平面角.因為，故，故，由（1）可得，故，因為，故，故，故，所以，同理，由平面，平面可得，故，故.（3）由（1）可得平面，由（2）可得，故點到平面的距離為.例55．（2024·高二·浙江金華·期末）如圖，已知四棱錐的底面是菱形，，對角線交于點平面，平面是過直線的一個平面，與棱交于點，且．

(1)求證：；(2)若平面交于點，求的值；(3)若二面角的大小為，求的長．【解析】（1）四棱錐的底面是菱形，，又平面，平面，則平面，而平面平面，平面，所以.（2）由平面，平面，得平面平面，而，平面，于是平面，又平面，則，即三點共線，由平面，平面，則，如圖，在中，過點作的垂線，垂足為，于是，設，由，得，，，從而，所以，即．（3）

過點作于點，連接，由平面，平面，則，而平面，則平面，而平面，于是，則有為二面角的平面角，即，在菱形中，由，得，則，由（2）得，所以.例56．（2024·湖南岳陽·模擬預測）如圖，已知平面與底面所成角為，且．(1)求證：平面；(2)求二面角的大小．【解析】（1）因為平面，平面，所以，又由已知得，，則，即，又平面，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，因為平面與底面所成角為，所以為與底面所成角，由，得，在中，，則，所以二面角的大小為．例57．（2024·高一·全國·專題練習）如圖①梯形ABCD中，，，，且，將梯形沿BE折疊得到圖②，使平面平面BCDE，CE與BD相交于O，點P在AB上，且，R是CD的中點，過O，P，R三點的平面交AC于Q．(1)證明：Q是AC的中點；(2)證明：平面BEQ；(3)M是AB上一點，已知二面角為45°，求的值．【解析】（1）在圖①中過C作，則，圖②中，連接BD，CE，又∵，∴，∴，∴且．∴，∴，在中，，∴，又平面ACD，平面ACD，∴平面ACD，平面平面，∴，∴，又R是CD的中點，∴Q是AC的中點；（2）如圖，在直角梯形BCDE中，，∴中，，，∴∴，∴又∵平面平面BCDE，平面平面BCDE，∴平面BCDE，平面BCDE，∴，又，平面ACE，又平面ACE，∴，在中，，，∴∴，又由（1）Q是AC的中點，∴，，∴平面ACD，又平面ACD，∴又∵，，∴平面ADE，∴，又，∴平面BEQ；（3）如圖，過M作，過H作于點G，連結MG，則∠MGH為二面角的平面角，∴，設，∴又，∴在中，，由得，即，∴，∴例58．（2024·高一·山東青島·階段練習）如圖，將邊長為的正方形沿對角線折起，使得點到點的位置，連接，為的中點.(1)若平面平面，求點到平面的距離；(2)不考慮點與點重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.【解析】（1）連接，，則，平面平面，平面平面＝AC，平面，平面，又平面，，又正方形的邊長為，,，設點到平面的距離為，則，，，即點到平面的距離；（2）取的中點，連接，，，，，為二面角的平面角，，由題可知，在中，，，，，，.例59．（2024·高一·全國·課后作業）如圖，在矩形中，，，E為的中點，把和分別沿AE，DE折起，使點B與點C重合于點P．(1)求證：平面⊥平面；(2)求二面角的大小．【解析】（1）由⊥，得⊥，同理，⊥．又∵，平面，∴⊥平面．又平面，∴平面⊥平面．（2）如圖所示，取的中點F，連接，∵四邊形為矩形，∴，因為，所以⊥，⊥，故就是二面角的平面角．又⊥平面，平面，所以⊥，∵，∴，∴．∴二面角P－AD－E的大小為．例60．（2024·高二·全國·專題練習）四邊形是正方形，平面，且．求：

(1)二面角的平面角的度數；(2)二面角的平面角的度數；(3)二面角的平面角的度數．【解析】（1）平面，平面，，又四邊形為正方形，，平面，平面，又平面，平面平面，二面角的平面角的度數為；（2）平面，平面，平面，，．為二面角的平面角．又由題意可得，二面角的平面角的度數為；（3）平面，平面，平面，，．為二面角的平面角．又四邊形為正方形，，即二面角的平面角的度數為.例61．（2024·高三·甘肅·階段練習）如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，．

(1)證明：與平面不垂直；(2)證明：平面平面；(3)如果，二面角等于，求二面角的大小．【解析】（1）若平面，則，由已知，得，這與矛盾，所以與平面不垂直．（2）取、的中點、，連接、、，由，，得，，為直角梯形的中位線，，又，平面，由平面，得，又且梯形兩腰、必交，平面,又平面，平面平面,（3）由（2）及二面角的定義知為二面角的平面角,作于，連，由于平面,平面,故,,平面,故平面平面,所以故為二面角的平面角,即，由已知，得，又．，．，故二面角的大小為．經典題型六：空間距離的求法（線線距、線面距、點面距、面面距）例62．（2024·四川·一模）如圖，在四棱錐中，，，平面平面．(1)證明：平面；(2)已知，且，求點D到平面的距離．【解析】（1）因為平面平面，平面平面，且，平面，所以平面，又因為，所以平面．（2）由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，過作直線的垂線，垂足為，則平面，由，，可得，，，，因為平面，平面，所以，則，可得，在直角梯形中，因為，可得，所以，在等腰中，，取的中點，連接，可得，且，所以，設點到平面的距離為，由，可得，解得，所以點到平面的距離為．例63．（2024·高一·河南洛陽·階段練習）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，平面，E為的中點.(1)證明：平面；(2)設，，求點D到平面的距離.【解析】（1）連接，交于點O，連接，∵四邊形是平行四邊形，∴是的中點，又∵E為的中點，∴是三角形的中位線，∴，又∵平面，平面，∴平面；.（2）∵平行四邊形中，，，，∴，則，故，又∵平面，∴，，都是直角三角形，∵，∴，，，∴，∴，∴，因為是的中點，所以，且，所以，，設點到平面的距離為，由得：，解得.例64．（2024·高三·全國·階段練習）如圖，四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，，，為等邊三角形，．

(1)證明：BD平面；(2)求點C到面PBD的距離．【解析】（1）取中點，連，因為，，，，所以四邊形為正方形，為等腰直角三角形，則得，，故，因為，，平面，所以平面（2）設點C到平面PBD的距離為h,由（1）得，，則面積為，取中點，連，則，且，因為平面，平面，所以，，平面，所以平面，又面積為，三棱錐的體積為，得.即點C到平面PBD的距離.例65．（2024·高三·全國·專題練習）如圖，為菱形外一點，平面，，為棱的中點.若，求到平面的距離.

【解析】因為平面，不在平面內，所以平面，則到平面的距離即為點到平面的距離，設點到平面的距離為，因為，，平面,，四邊形為菱形，所以，解得，即到平面的距離為.例66．（2024·上海·模擬預測）已知三棱錐中，平面為中點，過點分別作平行于平面的直線交于點.

(1)求直線與平面所成的角的正切值；(2)證明：平面平面，并求直線到平面的距離.【解析】（1）因為平面，連接，則即為直線與平面所成的角，又，，，為中點，可得，，所以，即直線與平面所成的角的正切值為.（2）由題知，平面，平面，，平面，所以平面平面.因為平面，平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以就是直線到平面的距離，又為中點，則，即直線到平面的距離為.例67．（2024·河南·二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面間的距離.【解析】（1）在正六棱柱中，因為底面為正六邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，又，所以平面平面.（2）平面與平面間的距離等價于點到平面的距離，設為.連接，則四面體的體積.因為，，，所以，從而，所以，所以，即平面與平面間的距離為.例68．（2024·高一·廣東揭陽·期末）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點，且，D、F、G分別是、、的中點，與相交于．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的距離．【解析】（1）證明：由直三棱柱的性質得平面平面，又，平面平面，平面，平面，又平面，，，在和中，，，即，又，平面平面．（2）由題意知，在中，，又，，平面，平面，平面，、分別為、的中點，，又，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面平面．平面，平面平面，平面，為平行平面與之間的距離，，即平面與之間的距離為．經典題型七：截面問題以及范圍與最值問題例69．（2024·湖南岳陽·模擬預測）如圖，在長方體中，，一小蟲從頂點出發沿長方體的表面爬到頂點，則小蟲走過的最短路線的長為.【答案】【解析】如圖，若小蟲爬行路線經過棱，則最短路程為；若小蟲爬行路線經過棱，則最短路程為；若小蟲爬行路線經過棱，則最短路程為.綜上所述，小蟲走過的最短路線的長為.故答案為：.例70．（2024·高二·江西南昌·期中）如圖，在長方體中，若，且面對角線上存在一點使得最短，則的最小值為.

【答案】【解析】把沿翻折，使矩形和在一個平面上，連接，則的最小值為，在中，可知，由余弦定理得，所以的最小值為.故答案為：.例71．（2024·高二·重慶南岸·期中）如圖，在長方體中，且，為棱上的一點．當取得最小值時，的長為．【答案】【解析】將側面、側面延展至同一平面，如下圖所示：當點、、三點共線時，取最小值，在上圖矩形中，，，則，即，此時，點為的中點，如下圖所示，連接，易知四邊形是邊長為的正方形，則，因為平面，平面，所以，，又因為為的中點，所以，，由勾股定理可得.故答案為：.例72．（2024·高一·廣西玉林·階段練習）如圖，在棱長為4的正方體中，的中點是P，過點作與截面平行的截面，則該截面的周長為（

）

A． B． C． D．4【答案】C【解析】分別取的中點，連接，可得，可得四邊形為平行四邊形，可得，因為，所以四邊形為平行四邊形，可得，所以，所以四邊形為平行四邊形，，平面即為過點的截面，平面，平面，所以平面，因為，所以四邊形為平行四邊形，可得，平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，，，所以截面的周長為.故選：C.例73．（2024·高一·北京大興·期末）已知點P在棱長為2的正方體表面運動，且，則線段AP的長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】點在棱長為2的正方體表面運動，且，則點的軌跡是線段的中垂面截正方體所得截面多邊形，分別取棱的中點，則，因此點在線段的中垂面上，點的軌跡是六邊形，如圖，當點在線段上時，若點為線段中點，有，，于是點為線段上任意一點，，當點在線段上時，，為鈍角，則，即，當點在線段上時，，，，為鈍角，則，即，當點在線段上時，由，邊上的高為，此時，由對稱性知，當點在折線上時，，所以線段AP的長的取值范圍是.故選：D例74．（2024·高一·江蘇鹽城·期中）如圖，在正方體中，的中點為Q，過A，Q，三點的截面是（

）

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形【答案】D【解析】如圖所示，取的中點P，連接PQ、、、和，，分別是，的中點，故，且，，故，，故四點共面，故四邊形是過A，Q，三點的截面，且四邊形是梯形．故選：D．例75．（2024·河南新鄉·三模）如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，過三點的截面把正方體分成兩部分，則該截面的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，取BC的中點，連接EF，AF，,、分別為棱、的中點，則，正方體中，則有，所以平面為所求截面，因為正方體的棱長為2，所以，，，所以四邊形的周長為.故選：A.例76．（2024·高一·浙江杭州·期中）如圖，正方體的棱長為為的中點，為的中點，過點的平面截正方體所得的截面的面積（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，延長交于點，延長交于點，連接交于點，連接交于點，連接.則過點的平面截正方體所得的截面為五邊形.因為為的中點，為的中點，所以，所以，在中，，在中，，同理可得.令上的高為，所以，所以.因為，所以，所以，同理可得，故截面的面積.故選：B例77．（2024·高一·河南鄭州·期中）如圖，正三棱錐中，，側棱長為，一只蟲子從A點出發，繞三棱錐的三個側面爬行一周后，又回到A點，則蟲子爬行的最短距離是（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】將正三棱錐沿剪開，得到側面展開圖，如圖所示，因為，即，由的周長為，要使的周長的最小，則共線，即，又由正三棱錐側棱長為，是等邊三角形，所以，即蟲子爬行的最短距離是.故選：B.例78．（多選題）（2024·高二·福建廈門·階段練習）已知正方體的棱長為1，P是空間中任意一點.下列結論正確的是（

）A．若點P在線段上運動，則始終有B．若點P在線段上運動，則過P，B，三點的正方體截面面積的最小值為C．若點P在線段上運動，三棱錐體積為定值D．若點P在線段上運動，則的最小值為【答案】ACD【解析】對于A：因為為正方體，所以平面，，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，故A正確；對于B：過點作，則過，，的截面為，設，，則，四邊形為平行四邊形，，，，所以，，所以當時截面面積最小，最小為，故B錯；對于C：因為為正方體，所以，因為平面，平面，所以∥平面，所以點到平面的距離為定值，三棱錐，即三棱錐的體積為定值，故C正確；對于D：展開三角形和矩形得到下圖：連接，此時最小，，解得，故D正確.故選：ACD.例79．（多選題）（2024·高一·江蘇南京·階段練習）在正方體中，點是線段上的動點，若過三點的平面將正方體截為兩個部分，則所得截面的形狀可能為（

）A．等邊三角形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形【答案】ABD【解析】當點與重合時，過三點的截面是等邊三角形，A正確；當點與重合時，過三點的截面為矩形，B正確；若截面為菱形，則必有，此時點與重合，故C錯誤；當點與中點重合時，記的中點為F，連接，易知，由正方體性質可知，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以且，設正方體棱長為2，則，所以過三點的截面為等腰梯形，D正確.故選：ABD例80．（多選題）（2024·高一·海南省直轄縣級單位·期中）如圖正方體，棱長為1，為中點，為線段上的動點，過A、、的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結論正確的是（

）

A．當時，為四邊形B．當時，為等腰梯形C．當時，為六邊形D．當時，的面積為【答案】ABD【解析】對于A，如圖1，延長交于點，連接并延長交于，連接.因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，則四邊形即為所求截面，故A項正確；對于B項，如圖2，延長交于點，連接并延長交于，連接.因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，因為分別為的中點，所以.又，所以點與點重合，所以，截面即為梯形.又，，，所以，，所以，所以，截面四邊形為等腰梯形，故B項正確；對于C項，如圖3，延長交于點，連接并延長交于點，交延長線于，連接，交于點，連接.可知，截面為五邊形，故C項錯誤；對于D項，如圖4，截面即為四邊形.易知.又，在中，，所以，，所以，的面積為，故D正確.故選：ABD.例81．（多選題）（2024·重慶·模擬預測）如圖，正方體的棱長為4，M是側面上的一個動點（含邊界），點P在棱上，且，則下列結論正確的有（

）

A．沿正方體的表面從點A到點P的最短距離為B．保持與垂直時，點M的運動軌跡長度為C．若保持，則點M的運動軌跡長度為D．平面被正方體截得截面為等腰梯形【答案】BCD【解析】對于A，將正方體的下面和側面展開可得如圖圖形，連接，則，故A錯誤；對于B，如圖：因為平面，平面，，又，，，平面，所以平面，平面.所以'，同理可得，，，平面.所以平面.所以過點作交交于，過作交交于，由，可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面.則平面平面.設平面交平面于，則的運動軌跡為線段，由點在棱上，且，可得，所以，故B正確；對于C，如圖：若，則在以為球心，為半徑的球面上，過點作平面，則，此時.所以點在以為圓心，2為半徑的圓弧上，此時圓心角為.點的運動軌跡長度，故C正確；對于D，如圖：延長，交于點，連接交于，連接，所以平面被正方體截得的截面為.，所以.，所以，所以，所以，且，所以截面為梯形，，所以截面為等腰梯形.故D正確.故選：BCD.例82．（多選題）（2024·高三·重慶渝中·階段練習）已知截面定義：用一個平面去截一個幾何體，得到的平面圖形（包含圖形內部）稱為這個幾何體的一個截面.則下列關于正方體截面的說法，正確的是（

）A．截面圖形可以是七邊形B．若正方體的截面為三角形，則只能為銳角三角形C．當截面是五邊形時，截面可以是正五邊形D．當截面是梯形時，截面不可能為直角梯形【答案】BD【解析】對于A：平面最多和正方體的六個面都相交，所以最多條交線，所以形成的多邊形最多為六邊形，所以截面圖形一定不是七邊形，故A錯誤；對于B：設，，，由勾股定理得，所以，，，所以角均為銳角，所以為銳角三角形，故B正確；對于C：正方體組對面相互平行，由面面平行的性質定理可知，五邊形中有兩組對邊平行，所以截面五邊形不可能為正五邊形，故C錯誤；對于D：截面分別交棱、于點、，假設四邊形為直角梯形，，則，又因為且、共面，所以或，當時，因為面，面，則面，又面面，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，與假設矛盾，當，因為、且，面，所以平面，即平面，又因為平面，所以，與矛盾，所以假設不成立，故D錯誤；故選：BD例83．（多選題）（2024·高一·湖北·期末）如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上一動點（包括端點），則（

）

A．三棱錐的體積為定值B．當點與重合時，三棱錐的外接球的體積為C．過點平行于平面的平面被正方體截得的多邊形的面積為D．直線與平面所成角的正弦值的范圍為【答案】BD【解析】對于A，因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，平面，，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，，，故A錯誤；對于B，當點與重合時，三棱錐的外接球即為正方體的外接球，正方體的外接球直徑為，，故三棱錐外接球的體積為，故B正確；對于C，且，則四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又因為平面，，平面，所以，平面平面，所以，過點平行于平面的平面被正方體截得的多邊形為，是邊長為的等邊三角形，該三角形的面積為，故C錯誤；設點到平面的距離為，由知，點到平面的距離為，當點在線段上運動時，因為，若為的中點時，，，當點為線段的端點時，，即，設直線與平面所成角為，，故D正確.故選：BD．例84．（多選題）（2024·高一·浙江寧波·期中）已知正方體的棱長為2，點E、F分別是棱、的中點，點P在四邊形內（包含邊界）運動，則下列說法正確的是（）A．若P是線段的中點，則平面平面B．若P在線段上，則異面直線與所成角的范圍是C．若平面，則點P的軌跡長度為D．若平面，則長度的取值范圍是【答案】AD【解析】對于A：因為、分別是線段、的中點，所以，則，則，所以，如圖，連接又由平面，平面，所以，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，即選項A正確；對于B：在正方體中，，所以與所成的角為與所成的角，連接、，，則為正三角形，所以與所成角的取值范圍為，即選項B錯誤；對于C：設平面與直線交于點，連接、，則為的中點，分別取、的中點，，連接、、，由，所以平面，同理可得平面，又因為，所以平面平面，又由平面，所以直線平面，故點的軌跡是線段，易得，即選項C錯誤；對于D：取的中點，的中點，的中點，連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，連接、，則，又因為，所以，所以平面，連接、，由，且，得，故、、、四點共面，所以平面平面，因為平面，所以平面，所以點的軌跡為線段，由知，連接，，在中，，所以，所以，則，故線段長度的最小值為，線段長度的最大值為，所以長度的取值范圍是，即選項D正確．故選：AD．例85．（多選題）（2024·高一·河北張家口·階段練習）已知在三棱錐中，平面平面為等腰直角三角形，且腰，為平面內動點，為的中點，滿足平面，下列說法中正確的是（

）A．PC與平面所成角正弦值的范圍為B．與平面所成角正弦值的范圍為C．在內的軌跡長度為1D．在內的軌跡長度為2【答案】AC【解析】連接，為等腰直角三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，則平面，而平面，故.又為等腰直角三角形且可得，因為，所以，所以，過作，連結，因為平面，平面平面，平面平面，故平面，故為與平面所成角的平面角，而，其中，故，故A正確，B錯誤；取分別為的中點，連接，則，而平面，平面，故平面，同理平面，但平面，故平面平面，當時，則有平面，故平面，則線段為在三角形內的軌跡，長度為.故C正確，D錯誤.故選：AC.例86．（多選題）（2024·高一·江蘇·階段練習）已知正三棱柱的棱長均為2，點D是棱上（不含端點）的一個動點．則下列結論正確的是（

）A．的周長既有最小值，又有最大值B．棱上總存在點E，使得直線平面C．三棱錐外接球的表面積的取值范圍是D．當點D是棱靠近三分點時，二面角的正切值為【答案】BC【解析】對A，如圖展開側面，易得當在與的交點處時，取得最小值，因為是棱上（不含端點）的一個動點，故無最大值，故的周長有最小值，但無最大值，故A錯誤；對B，在上取一點使得，則，當時，則有平行四邊形，故，又平面，平面，故直線平面，故B正確；對C，由題意，三棱錐外接球即四棱錐的外接球，取中點,中點，連接并延長，交正方形的外接圓于，則，易得平面平面，根據外接球的性質有外接球的球心在平面中，且為的外接圓圓心，由對稱性，可得當在中點時，最大，此時外接球直徑最小，此時，故外接球直徑，此時外接球表面積，當在或者點時，三棱錐外接球即正三棱柱的外接球，此時外接球的一條直徑與和的外接圓直徑構成直角三角形，此時外接球直徑，此時外接球表面積，因為點是棱上（不含端點）的一個動點，故三棱錐外接球的表面積的取值范圍是，故C正確；對D，設到平面的距離為，則由，即，故.設到線段的距離，則，解得，故二面角的正切值為，故D錯誤.故選：BC.例87．（多選題）（2024·山東日照·模擬預測）已知正方體的棱長為，是空間中任意一點，下列正確的是（

）A．若是棱動點，則異面直線與所成角的正切值范圍是B．若在線段上運動，則的最小值為C．若在半圓弧上運動，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為D．若過點的平面與正方體每條棱所成角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為【答案】ACD【解析】對A，如圖所示，由于，可知即為異面直線與所成角，設連接，設，則在中，，故A正確；對于B，將三角形與四邊形沿展開到同一個平面上，如圖所示，由圖可知，線段的長度即為的最小值，在中，，故B錯誤；對于C，如圖當為半圓弧的中點時，三棱錐的體積最大，此時，三棱錐的外接球球心是的中點，連結，則半徑的長為，其表面積為，故C正確；對于D，平面α與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等，只需與過同一頂點所成的角相等即可，如圖，，則平面與正方體過點A的三條棱所成的角相等，當點分別為棱的中點，連結，可得平面平行于平面，且為正六邊形，此時該截面是最大截面，由于正方體的棱長為1，所以正六邊形的邊長為，則面積為，故D正確.故選：ACD模塊三：數學思想與方法分類與整合思想例88．（2024·河北邯鄲·高一校考階段練習）等腰直角三角形的直角邊長為1，現將該三角形繞其某一邊旋轉一周，則所形成的幾何體的表面積為（）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】如果是繞直角邊旋轉，形成圓錐，圓錐底面半徑為，高為，母線就是直角三角形的斜邊，故所形成的幾何體的表面積；如果繞斜邊旋轉，形成的是上下兩個圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，即母線長是，故所形成的幾何體的表面積，綜上所述，所形成幾何體的表面積是或.故選：B.例89．（2024·上海·高二專題練習）如果點是兩條異面直線、外一點，則過點且與、都平行的平面個數的所有可能值是（

）A．1 B．2 C．0或1 D．無數【答案】C【解析】1、若點與直線構成的平面與直線平行，則過且與、都平行的平面個數為0；2、若點與直線構成的平面與直線平行，則過且與、都平行的平面個數為0；3、若點與直線不與直線平行，或點與直線不與直線平行，則點且與、都平行的平面個數為1.故選：C例90．（2024·全國·高三專題練習）到空間不共面的四點距離相等的平面的個數為（

）A．1 B．4C．7 D．8【答案】C【解析】當空間四點不共面時，則四點構成一個三棱錐．當平面一側有一點，另一側有三點時，如圖，令截面與三棱錐的四個面之一平行，第四個頂點到這個截面的距離與其相對的面到此截面的距離相等，這樣的平面有4個；當平面一側有兩點，另一側有兩點時，如圖，當平面過AB，BD，CD，AC的中點時，滿足條件．因為三棱錐的相對棱有三對，則此時滿足條件的平面有3個．所以滿足條件的平面共有7個，故選：C例91．（2024·上海徐匯·高二海市南洋模范中學校考階段練習）從同一點引出的4條直線可以確定個平面，則不可能取的值是（

）A．6 B．4 C．3 D．1【答案】C【解析】A：當4條直線中任何三條都不共面時，如四棱錐的四條側棱，此時4條直線可以確定個平面，所以不選A．B：當4條直線中有三條都共面時，此時4條直線可以確定個平面，所以不選B．C條直線在空間中的位置關系有：任何三條都不共面；有三條都共面；4條直線共面，所以不存在其他的位置關系，所以選C．D：當4條直線共面時，此時4條直線只可以確定1個平面，所以不選D．故選：C．例92．（2024·全國·開灤第二中學校考模擬預測）中，其邊長分別為3，4，5，分別以它的邊所在直線為旋轉軸，旋轉一周所形成的幾何體的體積之和為______．【答案】【解析】由題意不妨設：，邊上的高為，則，可得，若以邊所在直線為旋轉軸，則所形成的幾何體為圓錐，其底面半徑，高為，故此時圓錐的體積為；若以邊所在直線為旋轉軸，則所形成的幾何體為圓錐，其底面半徑，高為，故此時圓錐的體積為；若以邊所在直線為旋轉軸，則所形成的幾何體為兩個共底面的圓錐，其底面半徑，高為，且，故所得幾何體的體積為；故體積之和為.故答案為：.等價轉換思想例93．（2024·全國·高一專題練習）在正方體中，、、、分別是該點所在棱的中點，則下列圖形中、、、四點共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于選項，如下圖，點、、、確定一個平面，該平面與底面交于，而點不在平面上，故、、、四點不共面；對于選項，連結底面對角線，由中位線定理得，又，則，故、、、四點共面對于選項C，顯然、、所確定的平面為正方體的底面，而點不在該平面內，故、、、四點不共面；對于選項D，如圖，取部分棱的中點，順次連接，得一個正六邊形，即點、、確