Chapter3應變分析

3-1、位移與變形

1、位移：物體內各點位置的改變

位移矢量一般記為即位移分量：在坐標軸上的三個分量（3-1）2、變形：物體內部各部之間產生的相對運動。即不含剛體位移的位移。xyz3、位移和變形的關系：位移變形剛體位移剛體平移剛體轉動線變形角變形*物體內各點之間不產生相對位移*物體內各點之間產生相對位移4、約定：彈塑性力學分析中不考慮物體的剛體位移3-2、一點的應變狀態：1．問題的提出：位移不能反映物體內一點處變形的強烈程度。如鐵絲受拉：一米原長，伸長量5cm，單位伸長0.05；30cm原長，伸長量3cm，單位伸長0.1．變形大，不一定變形厲害。應變就是用來表示變形的程度2．線應變和角應變（正應變和切應變）物體受力發生變形，若從物體中任取一微元體，其變形有兩種形式：一是微元體線段（邊）的伸長或縮短，一是微元體夾角的增大或減小。前者定義為線應變，也叫正應變。后者定義為切應變。(i)

線應變：物體內一點P(x,y,z)在方向上的線應變：變形前在P點處沿方向所取的微線段：變形后Δr的增量規定>0>0為正

<0<0為負

(ii)

切應變：物體內一點P(x,y,z)的兩垂直方向和方向之間的角度變化量，稱之為和方向的切應變。變形后、兩垂直方向間角度的變化量則：變形后x、y兩垂直方向間夾角的變化量。規定：兩軸正向間的夾角減小為正，夾角增大為負。NP(x,y,z)

3、一點的應變狀態：

(i)一般地，物體內各點的應變狀態是不相同的，是位置坐標（x,y,z）的函數。

(ii)

在規定的坐標系中，一點的應變狀態可由坐標軸向的線應變和坐標軸向間的切應變來確定，共有九個分量：并且：類似于應力張量，一點應變狀態的張量表示為：（3-2）且為一二階對稱張量。3-3、應變分量與位移分量之間的微分關系—幾何方程:應變是與位移有關的。物體中各質點相對位置的改變，則產生變形。因此要分析物體的變形，就要研究各點的位置的變化。1、單元體分析:

取物體中一點P(x,y,z)附近的單元體，在外力作用下產生變形。為了方便起見，分別按坐標面討論。<i>Oxy平面：微元體pabd（六面體在xy平面上的投影部分）。xy1°變形前后各點位置坐標：

變形前變形后2°考察xy3°忽略二階微量時,可求得應變分量為:（3-3）—P點沿x軸方向棱邊pa的線應變：xyxy—P點沿y

軸方向棱邊pb

的線應變：（3-4）考察，由于很小，故有xy—P點沿x,y

兩垂直方向棱邊角度的變化：**在以上的式子中，應注意到于是有：（3-5）<ii>類似地，在oyz

面分析，可求出：(3-6)(3-7)在ozx

面分析，可求出：(3-8)

2、幾何方程:記：簡記為：稱為應變張量3-4、旋轉分量與位移分量間的微分關系：1、定義：位移場的旋度由此得旋轉分量：（3-9）（3-10）簡記為：2、位移場分析：研究一微線段PQ的變化：變形前：變形后：位移分量是坐標的函數把采用多元函數的Taylor級數展開并略去二階以上微量：其中為了表示成應變分量的關系，對作如下改寫：（3-11）（3-12）（3-13）**分析位移分量的組成：第一項為微元段的剛性平移所產生的位移，即剛性平動。第二，三，四項為線應變和切應變所產生的位移，即純變形。第五，六項為微元段的剛性轉動所產生的位移，即剛體轉動。當不考慮由于剛體平動和剛體轉動產生的剛體位移時，寫出只由于物體受力變形所引起的位移分量為：(3-14)簡記為：(3-15)整理成設P、Q間的單元體變形后在xy坐標面上的投影為，只考慮剛性移動后的投影為，剛體繞平行于z軸的PC線旋轉的角度可看作是對角線轉動的角度3、旋轉分量的得出：考察0xy平面微元體的變化情況：于是同理可證:即成立?；虺闪?。4、相對位移張量:<i>定義：相對位移張量為由位移分量分別對坐標x,y,z變量的一階偏導數所組成的張量。(3-16)<ii>定義：相對位移張量的分解：其中為應變張量，對稱；為轉動張量,反對稱。數學上,任何一個二階張量都可以唯一地分解成一個對稱張量和一個反對稱張量。(3-17)考慮到應變張量的對稱性,有:例題：1、物體處于無應變狀態,即試求位移分量。解：1°由應變和位移的關系:2°確定f1,f2,f3的函數形式:考察由此知:f1,f2,f3各函數中只含有一次項和常數項其中ai,bi,ci,di為常數。3°確定各系數ai，bi，ci，di

（i=1，2，3）于是有：d1=d2=d3=0，b1=-b2

c2=-c3b3=-c1

代入：不妨記：a1，a2，a3

分別為u0，v0，w0，表示剛體平動。b2=ωz

，c1=ωy，c3=ωx為剛體轉動分量。則有：矩陣形式：矢量形式：其中：*參考理論力學中運動學分析的剛體運動部分。剛體的運動是剛體基點的平動和繞基點的轉動的合成。3-5.應變狀態分析1、目的：對一點的各個方向線應變和兩垂直方向的切應變的分析，往往是為了分析應力，從工程實踐上，經常進行的是變形的分析和測量（如電測實驗）。同時，也是彈塑性理論基本方程的需要。2、應變狀態分析：<i>給定坐標系下一點的應變狀態，應變張量<iii>過P點任意兩垂直方向間的剪應變：<ii>在過該點P的任一指定方向方向上的線應變（3-21）（3-22）1°可以求得過此點任一指定方向的線應變εN2°可以求得過此點任兩個垂直方向的切應變:由此知，此點的應變狀態已確定。3、結論：已知變形物體中某一點的應變分量則：3°表示一點的應變狀態εij也是一個二階對稱張量：*與一點的應力狀態比較：2、主應變確定：（i）在給定坐標中，一點的應變狀態（ii）設定主方向：則由定義,主應變ε引起線段r的變形3-6主應變和應變不變量1、主應變的概念：一點的應變狀態，存在過該點的方向，在該方向上任取微線段PQ，受力后的變形只沿該方向伸長或縮短，則定義此方向為主方向，其應變ε為主應變。類似于應力狀態，一定存在三個相互垂直的形變方向，它們所形成的三個直角在形變之后保持為直角（即切應變為零），沿著這三個形變主方向的正應變稱為主應變。即可寫成：利用前面的討論結論：不考慮剛體位移時，整理：（3-23）（3-24）3、應變特征方程：（3-25）展開：其中（3-26）（3-27）（3-28）（3-29）4、討論：（i）由應變特征方程可求得ε的三個實根：ε1>ε2>ε3（ii）由主應變方程組可求出對應ε1、ε2、ε3的方向余弦:ε1:l1,m1,n1ε2:l2,m2,n2ε3:l3,m3,n3（iii）在主應變狀態下，應變特征方程為：其中分別為第一、第二、第三應變不變量3-7位移邊界條件1、提出：彈塑性力學的解要滿足給定的邊界條件。一般地，受力物體的邊界分為兩大部分，一部分是已知邊界上的受力情況（包括不受外力的自由邊界），一部分是給定邊界上的位移和約束情況（如沉降，固定等），分別被稱為外力邊界和位移邊界。外力邊界條件：給出邊界上外力與應力的關系：位移邊界條件：給定邊界上位移值：1、例題：（2）（1）AB邊界：限定位移為零：彈性層：彈性半空間：AB邊位移邊界條件：3-8體積應變提出：組成物體的每個微元體不但形狀發生了改變，而且它的體積也將發生改變，所以也要研究任一點附近的單位體積的變化。1、分析：

1°取單元體dxdydz.

變形前：dv=dxdydz

變形后：受力產生變形，是兩種情況的疊加：純剪切：只引起單元體的形狀改變，不引起體積變化（由于剪切變形引起體積的改變是高階微量，可以略去）拉(壓)變形：引起體積的改變。2°只考慮由拉(壓)變形引起的單元體體積改變：邊長變化：變形后體積：3°體積應變定義：（3-30）顯然，第一應變不變量J1具有明顯的幾何意義：J1

就是體積應變。4°考慮位移場的散度：即體積應變θ為位移場的散度。2、應變張量的分解：<i>當θ=0時，稱為物體是不可壓縮的，因此不可壓縮的條件為：或（3-31）（3-32）其中1°εm=1/3(εx+εy+εz)為平均正應變分量。<ii>應變張量分解：（3-33）2°記為應變張量為偏斜應變張量，又稱應變偏量為球形應變張量則有：（3-34）3°偏斜應變張量Ds的體積應變：（3-35）在偏斜應變狀態下的體積應變為零，這在塑性力學中是很重要的一個結論。4°球形應變張量Dm的體積改變：（3-36）3、偏斜應變張量的不變量：（與應力偏量的不變量類比）顯然，球形應變狀態只改變其體積而不改變其形狀。（3-37）（3-38）若x,y,z取為主應變方向，即主應變狀態下偏斜應變張量的不變量為：（3-39）（3-40）3-10、應變率的概念：1、物體內各點的速度：對于物體內任一點P(x,y,z)，t時刻速度分量為:位移分量為2、應變對時間的變化率—應變率

考察故有應變率張量：3、一些固體材料在受溫度不高和緩慢塑性變形時，其力學性質實際上與應變率關系不大，一般考慮的不是應變率，而是應變增量。記為（注意不是應變分量對坐標的微分）。3-11、變形協調方程：1、問題的提出：

1°根據連續性假定，受力物體在變形前后都是連續的。

2°由幾何方程εij=1/2(uj,i+ui,j)可知，給定位移函數ui可唯一地確定應變分量εij3°由于εij=1/2(uj,i+ui,j)是導出關系，數學上它們之間并不是相互獨立的，而存在著一定的相互制約關系。

4°物理上，相互獨立的應變分量不能保證物體的連續性，物體內在變形時會出現分裂和重疊。2、變形協調關系—應變分量間的關系考慮幾何關系：ABCDABC