第，?幸輔圓、領曲錢與就物鐵

考點綜述

橢圓、雙曲線與拋物線是高中數學的一個重要內容，它的基本特點是數形兼備，可與代數、

三角、幾何知識相溝通，歷來是高考的重點內容.縱觀近幾年高考試題中對圓錐曲線的考查，主

要體現出以下幾個特點:1.基本問題，主要考查以下內容：①橢圓、雙曲線與拋物線的兩種定義、

標準方程及a&c8夕五個參數的求解，②幾何性質的應用；入求動點軌跡方程或軌跡圖形

（高頻），此類問題的解決需掌握四種基本方法：直譯法、定義法、相關點法、參數法.3.有關

直線與它們的位置關系問題（高頻），這類問題常涉及圓錐曲線的性質和直線的基本知識以及線段

中點、弦長等，分析這類問題時，往往要利用數形結合思想和"設而不求”的方法、對稱的方法

及韋達定理，多以解答題的形式出現.4.求與橢圓、雙曲線及拋物線有關的參數或參數范圍問題

（高頻），這類問題綜合性較大，運算技巧要求較高；尤其是與平面向量、平面幾何、函數、不等

式的綜合，特別值得注意的是近年出現的解析幾何與平面向量結合的問題（高頻）.

其實，高考數學只有35個核心考點僅有122種典型考法每種考法只需1道例題和3道練習題每

次1小時，學會必殺技確保高考120分！

考點1橢圓

典型考法1橢圓的最值問題

22

典型例題：已知橢圓二+二=1,常數機、n&R+,且”>〃.（1）當〃2=25,〃=21時，過橢圓左焦點產

mn

的直線交橢圓于點P,與y軸交于點。，若9=2而，求直線P。的斜率；（2）過原點且斜率分別為Z和-攵

尤2V2

（Z21）的兩條直線與橢圓二+2-=1的交點為A、B、C、D（按逆時針順序排列，且點A位于第一象限

mn

內），試用火表示四邊形ABCD的面積S,并求S的最大值.

22

解析：（1）???/?=25,"=21.?.二+2-=1的左焦點為尸（一2,0）,設滿足題意的點為「（%,%）、Q（0，。.又

---*x=-39y4A/21

QF=2FP./.(-2,-t)=2(%+2,%)，即<°由點在橢圓上，得二+匕==1,得九=±二—，

t=-2yo25215

Kp°=K°F=；=—笫=土^^⑵Q過原點且斜率分別為人和一HO1)的直線4：y=丘，4：y=-kx

邑+匚1mn

關于龍軸和y軸對稱，四邊形ABC1)是矩形.設點A(z，/).聯立方程組I”?n得1=——F于

,n+mk

1y=kx

口口”4e弘ec/“，24nmk、.、人4mnk4mn、口

是天是此方程的解，故S=4xy=4",~=---------(Zkf>1),O即1IS=---------彳=-------.設

°°"°n+mk2n+mk?.

I

n

g(k)=mk+—(kNl),則g/)在U+8)上是單調函數.理由：對任意兩個實數匕也￡口，+8)，且自<)2,

k

nnII

g(左)-g(k2)=mki+—~(mk2+—)=m(k]-k2)+n(~——)

k[k2k]k2

=(k[-k2)—----\(占-%2)—H-----<0，即g(KAg(左2)<°?

KYK2

...g(Z)在U，+8)上是單調函數，于是g(Qmin=g(l)=〃什〃，S=:2L<3L,當且僅當％=1等號

與〃汰機+〃

k

4/72/1

成立..?.Snm=二絲.注：也可利用求導法證明g(6在[1，+8)上是單調函數.

m+n

必殺技：利用求函數最值的方法+橢圓性質解決與橢圓有關的最值問題須注意：

1.最值問題的題型大致有：求距離的最值、角度的最值、面積的最值.

2.最值問題的求解策略：(1)總方針：建立目標函數(或目標不等式)(2)具體方法：①轉化為二次函數(或雙

鉤函數、三次函數等常用函數)的最值問題②利用三角換元，轉化為三角函數的最值問題③結合橢圓的定義，

利用圖形的幾何特征求最值④利用基本不等式求最值

還須值得注意的是，有些求最值的問題可能要先求目標函數的局部最值，而復雜的求最值問題甚至需要多

種方法的綜合運用.以下給出橢圓最值問題的幾個性質，便于快速地求解決相關問題.

性質1設E，F2是橢圓的兩個焦點,P為橢圓上任一點，則當且僅當P為橢圓短軸頂點時

/BPF2最大.

性質2設A】，Az是橢圓的長軸頂點，P為橢圓上任一點，則當且僅當P為橢圓短軸頂點時

NAiPAz最大.

性質3設E,FZ是長軸長為2a的橢圓的兩個焦點，P為橢圓上任一點,M為橢圓內定點，則

PM+PF,的最大值為2a+MFz，最小值為2a-MFz.

讀者自行完成上述性質的證明.這些性質均與橢圓的焦點位置無關，對任意位置的橢圓都成立，可用于求

解一些選擇題和填空題.

實戰演練:

fy2

1.F是橢圓=1的右焦點A(1,1)為橢圓內一定點，P為橢圓上一動點，則|E4|+|所|的最小值為.

2.設橢圓中心在坐標原點，A(a,0),8(0,b)是它的兩個頂點，直線y=依(%>0)與46相交于點〃，與橢圓

相交于E、尸兩點，若。=2,0=1.(1)己知麗=6而，求&的值；

(2)求四邊形AEBF面積的最大值；

3.若橢圓片:-k+二-=1和橢圓：「r+二-=1滿足二'=二=機。”>0),則稱這兩個橢圓相似，m

4%4a\b、

22

稱為其相似比.(1)求經過點(2,、%),且與橢圓亍+'=1相似的橢圓方程；(2)設過原點的一條射線/分別與

(1)中的兩個橢圓交于A、B兩點(其中點A在線段0B上)，求|OA|+上的最大值和最小值；

11\OB\

2222

(3)對于真命題”過原點的一條射線分別與相似比為2的兩個橢圓G：=+7^=1和C2：]+一^行=1

22

2網24(2物2

交于A、B兩點，P為線段AB上的一點，若|。4|、|OP|、|。叫成等差數列，則點P的軌跡方程為

斗+=1”.請用推廣或類比的方法提出類似的一個真命題，并給予證明.

2

3,3以2

2

參考答案：1.4-垂.2.(1)%=2或攵=3.(2)272.提示：設點E,尸到AB的距離分別為4,h2,

38

故AEB尸的面積為S=；|AB|(4+4)=2^^^^W2J5,易得當后=；時，S取最大值2挺.

注：通過對(2)的求解，我們進一步探究還可以得到關于橢圓所對應的四邊形/面積的若干結論.

22

結論一：已知A(a,0),8(0,b)是橢圓與+2=1(。>。>0)的兩個頂點，直線尸依仗>0)與相交

a~b

于點〃，與橢圓相交于E、E兩點，則四邊形AEB尸面積的最大值為0a人

22

結論二：以橢圓5+3=l(a>b>0)的一條定弦AB為對角線的橢圓內接四邊形AEBF面積取最大值

ab

時，另一條對角線￡尸必過原點與A3的中點。.

x2y2

推論1：若以4伙HO)為斜率的直線與橢圓/十萬=1(。＞。＞0)相切，則兩切點的連線必過原點，且其斜率

攵o滿足：k0-k=--.

a

推論2：以攵伏。0)為斜率的橢圓二+與=1伍＞人＞0)兩切線間的距離為引里士口(如圖8-1-8).

a-b-Jl+%2

推論3：若。是橢圓=+與=l(a＞b＞0)不過原點。且不垂直于對稱軸的弦AB上一點，則點D是弦AB中

CTb-

點的充要條件是攵8/.二一4?

a

結論三：橢圓「+寫=1僅＞方＞0)內接四邊形AE3F面積的最大值為2必.

ab

X2y2

結論四：后尸是橢圓=+==1(。＞匕＞0)的過原點的一條定弦，A8是橢圓的過弦E/上定點0(%,%)的

ab

動弦，則當弦A8被點。平分時，橢圓內接四邊形AEBF面積取最大值的充要條件是：4+4^[°'-]

a2b22

3.(1)二+匯=1(2)①當射線與y軸重合時，|。4|+」=行+」產=辿.②當射線不與坐標軸重合

16811\0B\2V24

時，由橢圓的對稱性，我們僅考察A、B在第一象限的情形.設其方程為y=(A:＞0,x＞0),設A(X”H),

B(x2,y2),由‘V、2解得|0川=坐上,同理可得|0網=4,父+1,令+1則由

v+v=1Jl+2%2g2k2g2k2

4I正知、回＜r＜2,于是|。4|+贏=,+，在(、22]上是增函數，.?.：五＜|。4|+贏《；,

由①②知，|。4|+占的最大值為2,|。山+占的最小值為2.

?1\OB\411\OB\4

(3)該題的答案不唯一，現給出其中的兩個.

2222

命題：過原點的一條射線分別與雙曲線a：A-與?=1和。2：/7一一J=1(機〉o)交于A、B兩點,

a'b2(ma)-("⑼

x2y2

P為線段AB上的一點，若|。4|、|0P]、|0可成等差數列，則點P的軌跡方程為——=1.

1+m、l+m

2zb￥

22

證明：射線/與雙曲線有交點，不妨設其斜率為女，顯然網＜2.設射線/的方程為＞=依，設點A（F，M）、

y=kxaby=Qc

例々，為）、（，）由（2得項=『=?22加mab.

Pxyx?y由＜________y___=1得々=/.,由

[靛一記=1J/"/(ma)2(mb)2\b—ak

ab(\4-m)

*_內x-/=2

+42即＜2y]b2-a2k~y

P點在射線/上，且2\0P\=|0A|+\0B\得＜一2=1.

y=kxk=y

X

命題：過原點的一條射線分別與兩條拋物線G：V=2px（p＞0）和G：產=2mpx（加＞0）相交于異

于原點的A、B兩點,P為線段AB上的一點，若、|。",\OB\成等差數列，則點P的軌跡方程為/=（1+m）px.

（證略）.

典型考法2與橢圓有關的定點與定值問題

典型例題：已知橢圓0+[=1（。＞。＞0）的左右焦點分別為月，居，短軸兩個端點為A,8,且四邊形

ab

%A與8是邊長為2的正方形.（1）求橢圓方程；（2）若C,。分別是橢圓長軸的左右端點，動點M滿足

MDLCD,連接CM,交橢圓于點P.證明：麗?所為定值；（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存

在異于點C的定點Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線￡＞P,MQ的交點，若存在，求出點。的坐標；若不存

在，請說明理由.

22

解析：（1）。=28=。,。2=/；2+?2,.?.從=2,.?.橢圓方程為二+2-=1.（2）。（一2,0）,0（2,0）,設

42

M(2,y0),P(X1,y),則。＞=(x”y),向=(2,九).直線CM：三2=2二&,即^=粵彳+\凡，代

4yo42

入橢圓八2丁=4得（1++；曲+"一4=。「』（-2）=畸4.寸-甘

4(北-8)18)：_4%+32

金焉，加-黃，用??麗研-4（定值）.（3）

y；+8＞；+8＞0+8

設存在。（〃2,0）滿足條件，則MQ1DP.MQ=（m-2,-y0）,DP=（—半二，半」），則由凝?萬h=0

'''￥+8/+8'

得一學一（機一2）一學」=0,從而得加=0..?.存在。（0,0）滿足條件.

才+8＞；+8

必殺技：遵循"一選、二求、三定點”的原則：一般地，解決動曲線（包括動直線）過定點的問題，其解題步

驟可歸納為：一選、二求、三定點.具體操作程序為：“一選”：選擇參變量.需要證明過定點的動曲線往往隨

某一個量的變化而變化，可選擇這個量為參變量（當動直線涉及的量較多時，也可選取多個參變量）.“二求”:

求出動曲線的方程.求出只含上述參變量的動曲線方程，并由其它輔助條件減少參變量的個數，最終使動曲線

方程的系數中只含有一個參變量.“三定點”：求出定點的坐標.不妨設動曲線方程中所含的參變量為2,把曲

.f（x?y）=0

線方程寫成形如/（力丁）+/^（力①=0的形式，然后解關于，丁的方程組1，'-得到定點的坐標.

g（x,y）=O

實戰演練

1.已知橢圓C經過點A（l3,：）,兩個焦點為（—1,0）,（1,0）.（1）求橢圓C的方程；（2）E,F是橢圓C上的

兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值.

2.設橢圓C：三+卓=1（。＞。＞。）過點M（0，1），且左焦點為￡（一五，0）（1）求橢圓。的方程;

（2）當過點P（4,l）的動直線/與橢圓C相交于兩不同點A,8時，在線段AB上取點Q,滿足

|麗,2同=|而,而'證明：點Q總在某定直線上.

3.若橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點（2,0）到左焦點距離為3.

（1）求橢圓。的標準方程.（2）若直線/：丫=依+加與橢圓C相交于A,8兩點（A,B不是左、右頂點）,

且以A3為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線/過定點，并求出該定點的坐標.

（3）將（2）推廣到一般情形，使得（2）為其特例，并給出解答過程.

fy23X2V2

參考答案：I.（1）上+21=1.⑵設直線AE：y=Z（x-l）+L代入上+21=1得

43243

（3+422）》2+4燈3—2?x+4（3—左）2-12=0,設夙4，人）,/（與，力），易得=）*一"=1（定值）?

2XF~XE

注：本題可推廣為（證明略）：

命題1已知人工。,’0）。。中0）是橢圓與+《=1上的一點，過點P作斜率互為相反數的兩條直線，分別

ao

交橢圓于A,B兩點，則直線AB的斜率為定值萼.

Q?o

22

命題2已知P是橢圓會+方=1上的任意一點（異于長軸端點），PA,PB和PC分別是橢圓的兩條割線

和切線.若割線PA,PB的斜率互為相反數,則切線PC的斜率與割線AB的斜率也互為相反數.

命題3已知尸（死，“）（夕0片0）是雙曲線￡一￡=1上的一點，過點P作斜率互為相反數的兩條直線，

分別交雙曲線于A,B兩點，則直線AB的斜率為定值一萼.

aVo

命題4已知PCr。，?。〉^。W0）是拋物線y=2拉（/>0）上的定點，過點P作斜率互為相

反數的兩條直線，分別交拋物線于A,B兩點，則直線AB的斜率為定值一2.

y<>

2y2

2.（1）—X+^-=1.（2）提示：利用線段的定比分點，關注4.

42

設點Q、A、B的坐標分別為（工，“、（皿,》1）、（了2,5?2），

由題可知：|酢1,1屈I"旗IJ旗I均不為零，記/=擺=閽|,

則>0且;IWL又A、P、B、Q四點共線，故蓊=-XPB,芭=入旗,

于是，八門，…黃，，=轉戶黃，從而,

年誓=4工①才-學=?②又點A、B在橢圓C上,即呼4?

1-A21-A2）I於+2立=4④

①+2X②并結合③④得：4工+2、=4,即點Q（工,y）總在定直線2工+、-2=0上-

注：（一）本題的證明還有其它方法，這里從略.

（二）對于本題，我們還可將第（2）題的結論推廣到一般橢圓，具體為：

22

命題一：設橢圓C「+當=l（a>〃>0）,過橢圓外一點P（加，〃）的動直線/與橢圓C相交于兩不同點AB,

ab

在線段AB上取點Q,滿足網口詼卜屈口國，則點。在定直線加x+〃/y—/〃為上.

我們可將命題一推廣到其它的圓錐曲線，具體為：

命題二：設圓Gx2+y2=r2（r>0）,過圓外一點P（〃z,〃）的動直線/與圓。相交于兩不同點A,3,在線段

A3上取點Q,滿足|而°詼|=|而°而則點Q在定直線/nx+0——=0上.

22

命題三：設雙曲線。：三一與=1伍>0,h>0）,過雙曲線外一點P（機，〃）的動直線,與雙曲線。相交于兩

ab

不同點A,8,在線段AB上取點Q,滿足網L|麗=|悶回卜則點。在定直線”仍2九一〃人一片從功上.

命題四：設拋物線。：尸=20M0>0）,過拋物線外一點P。%〃）的動直線/與拋物線C相交于兩不同點

A,B,在線段AB上取點Q,滿足|麗4=|而卜忸回，則點Q在定直線px-町+p相=0上.

以上命題的證明從略.

3.⑴?+事=1.⑵直線/過定點，定點坐標為停°）⑶⑵的推廣（一）：過橢圓鼻+六=1伍>。>0）

上的右頂點M（a,0）作兩直線AM與交橢圓于A、B兩點,當時，直線AB恒過定點

x=ty+p

“2

父V得

二---tz,0).提示：可設直線AB：x="+p且A(M,乂)、B(X2,y2),由《

a+力L瓦一1

2mb2

y+%

/+*產---?

2222222&十",，由已知得A"-3M=0,即

(a+ht)y+2Ptay+b\p-a)=0,則<

b2(p2-a2)

必.必=

a2+b2t2

(%-a)(x「a)+M%=。n"加獷…^P=^a=>直線

4n—/?2..Cl—b^八、

AB：x=ty+----?”恒過定點(F-----7，。，。)?

a+ba

22

(2)的推廣(二)：過橢圓5+3=1(。＞°)上的任意定點M(x。，%)作兩直線AM與8M交橢圓于A、

a2-h2a2-h2、

B兩點,當AM_L8M時，直線AB恒過定點(二~x

a+b70

典型考法3橢圓與直線

典型例題

已知橢圓E經過點A(2,3),對稱軸為坐標軸，焦點耳，F2

軸上，長軸的長與焦距之比為2：1.(如圖8-1-1)

(1)求橢圓￡的方程；

(2)求ZF}AF2的角平分線所在直線1的方程；

(3)在橢圓E上是否存在關于直線/對稱的相異兩點？若存

請找出；若不存在，說明理由.

22

解析(1)設橢圓E的方程為0+與=1,由已知得@=2,a=2c,故〃=/_。2=3,2,從而橢圓方

ab-c

v-2213v-22

程為—+與v=1,將A(2,3)代入上式，得4+三=1,解得c=2,.?.橢圓E的方程為二+幺v=1.

4c23c2c2c21612

(2)方法一:

由(1)知K(-2,0),尸2(2,0),所以

直線g的方程為:尸］(32),即3A紂+6=0,

直線4尸2的方程為：%=2.

由點，4在橢圓E上的位置知，直線I的斜率為正數.

設P(孫y)為/上任一點，則

I3x-4y+6l...

-----y---=lx-21.

若3x-4y+6=5工-10,得*+2廣8=0(因其斜率為負，舍去).

所以直線I的方程為：2%-廣1=0.

注方法一的主要解題依據是:角平分線上的點到角兩邊所在直線的距離相等.

方法二：

???4(2,3)陽(-2,0),尸2(2,0),甫=(-4,-3),沉=(0,-3).

=春(-4,-3)+。(0,-3)=-*(1,2).

53

\AF\\\AF2\5

：.kx=2,.\Z：y--3=2(x-2),2x-y-l=0.

AFk

注了士+尸、表示的向量與乙尸小尸2的角平分線蛤燈因此可以作為角平分線所在直線的方向向量.

\AF2\

方法三：

設角平分線與X軸交于。(*0),易知-2。＜2,由角平分線性質有毒鼻=*|j,

搭=聲匕解之工=:,心=工？'=2,直線4C的方程為y-3=2(%-2),即尸2%-1.

32-x2-1

2~2~

注方法三主要用到角平分線的性質用三角形面積等容易證明,請讀者嘗試.

方法四：

過c（x,o）作CAUK交月居于乩則由

角平分線性質知CH=CF2

S^C4K二y\cFr\\AF2\=~\AFl\\CH\

414Klic尸21,

-^-x（x+2）x3=-^-x5（2-x）.

解之下同方法三.

注方法四巧妙運用“計算兩次”的技巧，對三角形面積計算兩次，并在計算過程中運用角平分線性質對高

進行轉化.

方法五：

設角平分線與X軸交于C（%,0）,易知

-2。<2,易知直線力工的方程為3%-4y+6=0.

而由角平分線性質有d=CH=CF2,

即d=g^^=2r;,解之％=-，下同方法三

注方法四和方法五的主要解題依據相同，但細節處理略有差別?

方法六：

易知K（-2,0）關于角平分線的對稱點D

在直線4瓦，即盧=2上

可設D（2㈤，則FW的中點（0與在角平分線

（記為40上，

3--

,t-0_i>____2_6-t

k^=2-（-2）=T，AC=2-0~~4~'

又因為和口?4c=T，

4??竽=-1,解之t=-2或￡=8（舍）（注意:“>

44

0）,以下從略.

注方法六從一個新的角度運用了角平分線的性

質,角所在直線關于角平分線所在直線對稱?

方法七:

易知K（-2,0）關于角平分線的對稱點D

在直線AK，即,4=2上，

可設。（2,。，則入。的中點在角平分

線（記為4C）上，

.f-0t

???壇產丈藥=不

又因為人人。?k《c=-1,

4c=‘"，直線”C的方程為y=~~~x+^~-

又?.Y（2,3）在直線4c上，

/.3=-—-2+彳?，解之力=-2或￡=8（舍）（注意出c

t，

>0）,以下從略.

注方法七和方法六的主要解題依據相同,但細節

處理略有差異.

方法八：

設角平分線（記為AC）的斜率為k,易知k>0

貝］tanZ.G4F2=tan^y-Z.ACF2j=/

ih-Ti

由夾角公式4=J4.-,解之及=2或2=-右

（舍），以下從略.

注設兩直線的斜率分別為自，心，且自?自關T,

k-k

兩直線的夾角為仇則tan”{2

1+4]?k2

（3）方法一:

假設存在這樣的兩個不同的點3（%,九）和C（x2,y2）,

'/BC±Z,k=%-%1

BC42fl2

加+出力+力

BC的中點”（比，），二

0%&2>/0=-2-^?

由于M在，上,故2%-%-1=0.①

222

又B,C在橢圓上，所以有會卷=1與段+*=L

10121O12

2222

兩式相減,得今看/當于二。，

口式與+3）（&-巧）（力+力）（%一九）

即-16-------+----------12--------=0.

將該式寫為9空+漢?小?空町

8242Tl62

并將直線BC的斜率怎c和線段BC的中點,表示代

入該表達式中，

得-捍o=0,即3%-2yo=0.②

①x2-②得g=2,%=3,即BC的中點為點4,而這

是不可能的.

/.不存在滿足題設條件的點8和C.

注與弦中點有關的問題，通常可以考慮“點差法”.

方法二：

假設存在B（x,,7l）,C（x2，力）兩點關于直

線Z對稱，則以%=-/

設直線BC的方程為“-梟+必將其代入橢圓方

程,+臺=1,得一元二次方程3/+4（-會+翦=48,

即x2~mx+m2-12=0,

則孫與去是該方程的兩個根，

由韋達定理得々+x2=m,

于是Yj+y2=_y（xl+x2）+2m=^.

8C的中點坐標為停咨）?

又線段8C的中點在直線y=2%-l上，

/.——=7H—1，得01=4.

4

即SC的中點坐標為（2,3）,與點A重合，矛盾?

不存在滿足題設條件的相異兩點?

方法三：同上，一方面，因為BC的中點坐標為（彳，彳），且該中點在橢圓的內部，所以，有

停了（―）22

-1—--<1,解得m2<16（X）.另一方面，的中點在直線y=2x—l上，所以一〔=2?彳—1,

161242

解得〃?=4,這與（X）矛盾.所以不存在滿足題設條件的相異兩點.

注：存在性問題的一般經解決思路是先假設滿足條件的數學對象存在，然后通過數學“操作”肯定或否定

假設.

必殺技：綜合運用基礎知識與基本方法

本題主要考查橢圓的定義及標準方程，橢圓的簡單幾何性質，直線的方程以及點關于直線的對稱等基礎知

識；并以對這些基礎知識的考查為依托，考查了考生對解析幾何的基本思想的理解與掌握情況及綜合運算能力、

探究意識與創新意識.本題的探索思路寬，且解法多種多樣，

數學解題的根本目的在于鞏固解題者的

數學知識，提升其數學能力.在解決問題時應將題目中

的題設、結論與已經學過的相關知識點予以整合，讓知

識成網絡，方法成體系，才能源源不斷地開發出解題智

慧.通過解題學解題的根本要義就是把一道道題目當成

研究對象，而解題的過程就是對其進行全方位、多角度

的研究的過程.

本題可推廣為：

22>2

已知橢圓E*+3=1（。>6>0），點?為，焦點

為K（一%0）,F2（C,O），則—的角平分線所在直

線方程為『%-叼"3=0,且在橢圓E上不存在關于該直

線對稱的相異兩點.（由此可見本例研究的情形具有一

般性）

對于本題的（3）還可推廣為：

設橢圓r：。+卷=1(a>6>0)，直線l：y=kx+

ab

加(狂0)，則橢圓「上存在不同的兩點8(9，力),

C(犯，力)關于直線I對稱的充分必要條件是

(,a-b2)I加(a2-62)出

----------—<-——.

dd+廿I)2[^+必力

注：以上的證明均可仿照本題的求解方法，讀者可自行完成，這里不再贅述.

實戰演練

1.已知橢圓工+乙=1,直線/：—+-=1.P是/上點，射線。尸交橢圓于點R,又點。在OP上且

2416128

滿足100Hop|=|。衣「，當點P在/上移動時，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

2.已知7=(1,0),"=(0,、/5),若過定點4(0,血)、以7—R)為法向量的直線4與過點B(0,—正)以

c+Xi為法向量的直線4相交于動點P.

(1)求直線4和4的方程；

(2)求直線/,和i2的斜率之積k七的值，并證明必存在兩個定點E,b，使得|A目+1A可恒為定值；

(3)在(2)的條件下，若M,N是/:x=2近上的兩個動點，且麗?麗=0,試問當|MN|取最小值時，

向量前+麗與方是否平行，并說明理由.

22

3.已知橢圓C：下泊叱"°)的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+6和2-6

(1)求橢圓的方程；

(2)設過定點M(0,2)的直線/與橢圓C交于不同的兩點A、B,且NAOB

為銳角(其中0為坐標原點)，求直線/的斜率出的取值范圍.

2?

⑶如圖8-1-2,過原點0任意作兩條互相垂直的直線與橢圓靛+5一1

(a>。>O)相交于P,S,R,Q四點，設原點0到四邊形PQSR一邊的距離為d,

試求d=l時”，人滿足的條件.圖8-1-2

參考答案：

L(1)2Jy-1)2

=1(Y+VHO),其軌跡是以(I,1)為中心,

55

23

長、短半軸分別為巫和垣且長軸與x軸平行的橢圓，且去掉坐標原點.

23

22

提不：(如圖8-1-3)由已知得&+&=紅+"(X)設

2416128

OP竺=-2S",利用已知條件可得加=翳國,便有號=晨,

Q(x，y).?

\OP\|OR|\OQ\\OQ\2

I函2|西%=理^》,將它們代入(X),得工+亡=

yP=—s,y?向理，xR=—?x,---F—，顯然X與

|0。『\OQ\■K\IOOQOI\2416128

y均不為零.

2.(1)/|：x—'JT.A