第2講因式分解我們把一個整式寫成幾個整式的乘積,稱為因式分解,每一個乘式稱為積的因式.在因式分解中,通常要求各個因式都是既約多項式,這樣的因式稱為質因式.初中階段,我們已經掌握了因式分解的一些基本方法,本講中的因式分解與初中相比，會出現字母多、次數高的特點，因此難度會加大。不過掌握本講的基本方法會化難為易。我們首先要掌握十字相乘法。本講知識結構：因式分解公式法高次多項式因式分解十字相乘法分組分解法其他方法因式因式分解因式分解各種應用一、十字相乘法 1．型的因式分解 這類式子在許多問題中經常出現，其特點是：(1)二次項系數是1；(2)常數項是兩個數之積；(3)一次項系數是常數項的兩個因數之和．，因此，。即-p,-q是方程x22．一般二次三項式型的因式分解大家知道，．反過來，就得到：，我們發現，二次項系數分解成，常數項分解成，把寫成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．這種借助畫十字交叉線分解系數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必須注意，分解因數及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解．在掌握了因式分解的四種常用方法:提取公因式法、公式法、分組分解法與十字相乘法后,我們還要了解因式分解一些基本技巧.比如:拆項與添項、主元策略、待定系數法等方法.3.拆項與添項來分解應該掌握的幾個公式,,,,,,當為奇數時,.上面的幾個公式都是中學階段非常重要的恒等式,請讀者加以用心體會.例1把下列各式因式分解： (1) ；(2)；（3）。解：(1) (2)。.（3）。 說明用十字相乘法分解二次三項式很重要．當二次項系數不是1時較困難，分別把二次項系數和常數項分解，看交叉相乘后是否是一次項系數，如果不是，再調整相關因數。例2把下列各式因式分解： (1)；(2)。 分析(1)把看成的二次三項式，這時常數項是，一次項系數是，把分解成與的積，而，正好是一次項系數．解(1)。 (2)例3分解因式：（1）；（2）6x2-5xy+(3)6x2-5xy+y2分析（1）把整體看作一個字母，可不必寫出，只當作分解二次三項式，這是換元思想。解 。（2）分析先把6x2-5xy+y2分解得到(3x-y)(2x-y),這時發現余下的一次式2x-y正好和前面的因式解6x2（3）分析本題與（2）類似，但后面一次項和常數項不與前面因式相同，不能像（2）那樣直接提出公因式。注意到常數項是-1，所以原式分解因式后的兩個因式常數項一個是1，另一個是-1，因此可以考慮試分解：6x2-5xy+y說明也可以采用待定系數法：設6x2-5xy+y2-x-1=3x-y+m2x-y+n，右邊展開得3x-y+m2x-y+n=6x比較系數可得2m+3n=-1,m+n=0，mn=-1，解得m=-1，n=1，從而6x2本題還可以把x看作主元，把y看作常數，整體看成x的二次三項式，采用十字相乘法：6x2=6x實際解題個人根據自己情況選擇合適的解法。本題在高中數學中的背景是方程6x26x可得3x-y-(4)仿照（3）可得===．或===．練習1分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6)2.把下列各式分解因式： (1);(2);(3);(4);二、分組分解法對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取．因此，可以先將多項式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關鍵在于如何分組．例4把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）。 （1）分析把多項式的四項按前兩項與后兩項分成兩組，并使兩組的項按的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式與，這時另一個因式正好都是，這樣可以繼續提取公因式．解說明本題也可以將一、四項為一組，二、三項為一組． （2）分析按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式．解 說明由（1）、（2）可以看出，分組時運用了加法結合律，而為了合理分組，先運用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運用了分配律．由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用． （3）分析把第一、二項為一組，這兩項雖然沒有公因式，但可以運用平方差公式分解因式，其中一個因式是；把第三、四項作為另一組，在提出公因式后，另一個因式也是.解 （4）分析提取系數2，前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續分解因式．解 說明從（3）、（4）可以看出：如果一個多項式的項分組后，各組都能直接運用公式或提取公因式進行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運用公式或有公因式，那么這個多項式就可以分組分解法來分解因式．練習2（1）;（2）xy+ax-ay-x2;(3)(m2n+mn2-m-n);(4)三、一元高次多項式的因式分解記一元次多項式,如果用表示被除式,表示除式,表示商式,表示余式,那么,其中的次數低于的次數.當余式時,則稱整除.如果多項式除以的商式是,余式是,那么,由于字母可以取得一切實數,令,則有,即,因此我們得到:余數定理:多項式除以所得的余數.特別的,當時,,即為的一個因式.因此又有:因式定理:若,則為的一個因式.例3把下列多項式分解成一次因式的積：（1）fx=x3（3）fx=x4-4x2分析根據因式定理需要確定a，使fa=0,怎么確定a？其實a就是記,若,則有fa=當和均為整數時,必能被整除.于是，a就是多項式中常數項的約數（最高次項系數為1，若最高次系數不為1，則a是最高次項的系數除以常數項的約數，想一想為什么？）。解（1）分別把x=±1,x=±2代入fx（2）分別將代入中,容易得到，、.知必有因式、、、，從而得到。（3）分別把x=±1,x=±2代入fx得f=（4）分別把x=±1,x=±13，x=±23代入f=練習3把下列各式因式分解：（1）2x3-x(3)x4+四、其他方法因式分解有時分解因式可能要綜合運用多種方法，比如公式法、分組分解法、添項或拆項、提取公因式等方法。例4把各式分解因式。解1記f(x)=,f(-3)=0,f(x)有因式(x+3),運用綜合除法可得商式為x2+3，因此=。解2可以對原式重新分組，以便提取公因式：===．解3也可以把原式中的9拆成1+8，以便利用立法公式：＝＝＝＝＝．例5把分解因式。解1把x看作主元，解關于x的一元二次方程求出兩個根，在分解因式。令=0，則解得，，=．解2根據前兩項的特點，可把原式配成完全平方差,再用平方差公式：=(x+2y)2=.例6把因式分解。解=x+y-zx==例7把分解因式。解要分解可以考慮添一項減一項，以便能有公因式提取。添或減什么呢？注意到x+1，可以想到添x2，有x2+x+1，就要減去x=x5-=x練習4把下列公式因式分解：（1）a6-7a3b3-8（3）2x4+x2y2五、因式分解解答應用例8三邊，，滿足a2+ab-bc+2a=2c+ca，試判定的形狀．解由a2aa+b+2-ca+b+2因為a+b+2，所以a-c=0，從而a=c，所以是等腰三角形。例9證明：當為大于2的整數時，能被120整除．證明因為=n(n4=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2).因為為大于2的整數，所以n最小值3，此時n-2n-1n當n大于3時，n-2n-1nn+1n+2表示連續5個正整數的乘積，一定還有因數2,3,4,5，其積為120，所以練習51.已知，求證：。2.已知多項式3x3+ax2+bx+1能被3.三邊，，滿足a2c+ab2-c3練習1答案1.(1)(x-1)(x-2);(2)(x+1)(x+36);(3)(x-2)(x+13);(4)(m-5n)(m+n);(5)(a-b+4)(a-b+7)(6)(7a+7b+2)(a+b-1) 2.（1）(x-3)(5x+2y);(2)(2a-5b-6)(2a-5b+6);(3)(1-2x+y)(1+2x-y);（4）=(x-3y+m)(x-5y+n),待定系數解得m=-2,n=-4.從而=(x-3y