高中數學專題訓練（教師版）一表面積和體積

一、選擇題

1.一個長方體其一個頂點的三個面的面積分別是啦，小，V6,這個長方

體的對角線是（）

A.273B.3啦C.6D.^6

答案D解析設長方體共一頂點的三棱長分別為4、6、C,

則ab=y/2,bc=5,ac=yj6,

解得：a=啦，b=l,c=\[3,

故對角線長/=*2+4+。2=加.

2.圓柱的側面展開圖是邊長為6萬和4%的矩形，則圓柱的全面積為（）

A.67r（4兀+3）B.87r（3?r+l）C.6兀（4萬+3）或87r（3兀+1）

D.67r（4兀+1）或8兀）（3萬+2）

答案C解析分清哪個為母線，哪個為底面圓周長，應分類討論.

3.已知正方體外接球的體積是半32兀，那么正方體的棱長等于（）

A.2啦B*C等D邛

答案D解析由題意知：.R=2,外接球直徑為4,即正

方體的體對角線，設棱長為“，則體對角線/=小。=4,a=綽.

4.（2010?新課標全國卷）設三棱柱的側棱垂直于底面，所有棱的長都為a,

頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）

711

A.兀a?B.^7ra2C.于ncrD.5兀/答案B

解析如圖，O\,O分別為上、下底面的中心，D為0,0的中點，則DB

為球的半徑，有

r=DB=ylOD2+OB2

..,la1

?.S表=4v=4TTX]2=]兀礦.

5.將棱長為3的正四面體的各頂點截去四個棱長為1的小正四面體（使截面

平行于底面），所得幾何體的表面積為（）

A.7小B.6小C.373D.93答案A

解析原正四面體的表面積為4乂￥=%5，每截去一個小正四面體，表

面減小三個小正三角形，增加一個小正三角形，故表面積減少4X2X#=24,

I。。

|81奧

故所得幾何體的表面積為7小.故選A."

6.水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右

面”表示，如圖是一個正方體的表面展開圖，若圖中“2”在正方體的上面，則這

個正方體的下面是（）

A.0B.8C.奧D.運

答案B

7.

（2010?北京卷，理）如圖，正方體N8C。一的棱長為2,動點E,F

在棱481上，動點P,0分別在棱CD±.若EF=1,A\E=x,DQ=y,

DP=z（x,y,z大于零），則四面體PEE。的體積（）

A.與x,y,z都有關B.與x有關，與y,z無笑

C.與歹有關，與x,z無關D.與z有關，與X,歹無關

答案D解析由于點。到直線小與的距離為2啦，EF=1,故/EEQ的

面積為定值，所以這個三角形的面積與x,y無關，由于點P到平面EFQ的距離

等于點P到平面小BCD的距離，這個距離等于點P到直線小。的距離，等于半

z,故四面體PEEQ的體積為^><3x1X2啦X冬=；z,故四面體PEF0的體積

只與z有關，與x,夕無關.

8.半球內有一個內接正方體，則這個半球的體積與正方體的體積之比為

（）

A鄧兀6B.乖兀2C.兀2D.5兀12答案B

解析

方法一：作過正方體對角面的截面，如圖，設半球的半徑為凡正方體的棱

長為a,

.J2

那么以丁=a,OC=^a.

在RtaC'C。中，由勾股定理得

CC2+OC2=(9C,2,

即a2+(^a)2=R2,.'.R=^~a,

V*城=|成3=|兀(坐編3=坐7ra3,y正方體=/.

因此P半球V正方體na，/=，^兀2.

方法二：將半球補成整個球，同時把原半球的內接正方體再補接一個同樣的

正方體，構成的長方體剛好是球的內接長方體，那么這個長方體的對角線便是它

的外接球的直徑，設原正方體棱長為。，球的半徑是凡則根據長方體的對角線

性質，得(2B2=/+42+(202,

即4H2=6/,：.R=^a.

從而P半球=|成3=；兀曾a)?=坐7ra3,

V正方體=4'

因此「半球V正方住=*九。3a^=y[()7r2.

二'填空題

9.

A'.

A11-----------VB

如圖所示，在長方體Z8C。一HB'C'D'中，用截面截下一個棱錐C—

A'DD',求棱錐C—Z'DD'的體積與剩余部分的體積之比為.

解析方法一設4B=a,AD=h,DD'=c,

則長方體/BCD—4'B'CD'的體積K=abc.

又5.m=茨，且三棱錐。一，DD，的高為CQ=a.

V三棱錐c-4'DD'=§SZ\/.DDCD=%abc.

則剩余部分的幾何體積V?(=abc—7abc=7abc.

oo

故Viwc-4DD?^i=^bc:~^abc=1:5.

方法二已知長方體可以看成側棱垂直于底面的四棱柱Z。。'-

BCC'B',設它的底面A'面積為S,高為人則它的體積為V=S/z.

而棱錐C—HDD'的底面面積為上，高是〃，

因此，棱錐。一，DD'的體積

VC-A-DD'=；X；S〃=*

余下的體積是S〃-^Sh=^Sh.

所以棱錐。一4'DD'的體積與剩余部分的體積之比為

vSh:7Sh=1:5.

66

10.已知一個圓錐的展開圖如圖所示，其中扇形的圓心角為120°,底面圓

的半徑為1,則該圓錐的體積為_______.

答案2立兀

解析因為扇形弧長為2兀，所以圓錐母線長為3,高為2吸，所求體積『=

jxjtXZX2色上辱

11.已知/(0,0),5(1,0),C(2,l),。(0,3),四邊形458繞y軸旋轉210。，

則所得幾何體的體積為.

答案

357r

IT

1Q

解析如圖，,：入鐐=](乃-2產2=產.

17

/據=嚴-1《22+2X1+仔)=亨小?.四邊形/8CZ)繞y軸旋轉360。所得幾何體

的體積為學+亨=5兀.

...繞y軸旋轉210。所得幾何體的體積為瑞義5兀=等.

12.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面.已知該六棱柱的頂

點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為《底面周長為3,那么這個球的體

O

積為.

47r

答案y

三'解答題

13.(2010?全國卷II,理)已知正四棱錐中，SA=2y[3,那么當該

棱錐的體積最大時，它的高為多少？

解析設正四棱錐S-ABCD的底邊長為2x,則AC=BD=2@x,高h=

712—2x2，所以體積*4內12-2?./.V2=牛X%12—2?),二(戶丫=弋”

%3—y-x5,由(戶)'=0,得x=2.

14.已知六棱錐尸一NBCOEE,其中底面為正六邊形，點P在底面上的投影

為正六邊形中心，底面邊長為2cm,側棱長為3cm,求六棱錐P—ZBCOEE的體

積.

分析由已知條件可以判斷六棱錐為正六棱錐，要求其體積，求出高即可.

解析

p

如圖，。為正六邊形中心，則PO為六棱錐的高，G為中點，則PG為

六棱錐的斜高，由已知得：CZ)=2cm,貝i|0G=小，CG=1,

在RtAPCG中，尸C=3,CG=\,則

不一CG2=2啦.

在RtZ\POG中，PG=2巾,0G=小，貝1|

PO=y/PG2-OG2=y[5.

=

VP-ABCDEF\)SABCDEF'PO=JX6XX2?X-\[5=2^/15.

15.棱長為"的正四面體的四個頂點均在一個球面上，求此球的表面積.

解析

以正四面體的每條棱作為一個正方體的面的一條對角線構造如圖所示的正

方體，則該正四面體的外接球也就是正方體的外接球.由圖知正方體的棱長為坐

a,正方體的對角線長為坐a,設正四面體的外接球的半徑為R,則2/?=坐a,

拓展練習?自助餐,

1.正六棱錐P—N8CZ)"中，G為P3的中點，則三棱錐。一G/C與三棱

錐P—G/C體積之比為()

A.1：1B.1：2

C.2：1D.3：2

答案C

解析

p

如圖，設棱錐的高為人

VD-GAC=VQ-DAC

又S^ADC

故VD-GAC:咋-G4c=2:1.

2.要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm,要使體積最大，則高應為

解析?設圓錐底面半徑為八高為隊則川+/=2()2,.；=小00一片,???圓

錐體積V=^nr2h=|TI(400—h2)h=|TI(400A—A3),令V'=；兀(400—3〃2)=0得h

=當后，當〃丹區時，V>0；當〃>邛時，V<0,.?.〃=挈時，體積最

I二二二

(2010?上海春季高考)在右圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40

cm,母線長最短50cm、最長為80cm,則斜截圓柱側面面積S=cm2.

答案2600乃

4.把一個棱長為。的正方體，切成27個全等的小正方體，則所有小正方體

的表面積為.

答案18片

1.如圖1,一個正三棱柱容器，底面邊長為a,高為2a,內裝水若干，將

容器放倒，把一個側面作為底面，如圖2,這時水面恰好為中截面，則圖1中容

器內水面的高度是

,3

答案2a

解析如圖1中容器內液面的高度為h,液體的體積為V,則

3

又如題圖2中液體組成了一個直四棱柱，其底面積為4sMBC，高度為2a,

3

2.如圖所示，已知正方體N8C。一小田。。|的棱長為3,長度為2的線段

MN的一個端點M在。。上運動，另一端點N在底面/3C。上運動，則MN的

中點P的軌跡（曲面）與共一頂點D的三個面所圍成的幾何體的體積為.

答案I

解析由于ABCD-AXB\C\D\是正方體，所以DDi工DN,故三角形DMN

是直角三角形，斜邊MN=2,又因為尸為MN中點，所以DP=1,即P點到定

點。的距離等于常數1,因此尸點的軌跡是一個以。為球心，1為半徑的球面被

正方體所截得的部分，所以所求幾何體的體積r=1x^xi3=^.

OJV

3.（09?陜西）若正方體的棱長為色，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸

多面體的體積為（）

答案B

解析

由正方體的對稱性可知，任意兩個面的中心的連線長度相等，故所得凸多面

體為兩個共底的特殊正四棱錐，且其棱長均為1,如圖，在正四棱錐產一0102。3。4

中，底面。。2。3。4為正方形，易得其面積為1,在三角形「。2。4

中，易求得其高為乎，故山一aao3O4=gT?乎，從而所求凸多面體的體

積為2h一0。2。3。4=半，選B.

4.

如圖，在多面體Z8C0EE中，已知四邊形Z8C。是邊長為1的正方形，且

△ADE、△8CF均為正三角形，EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為.

答案羋

解析過48兩點分別作NM、BN垂直于EF,垂足分別為“、N,連結

DM、CN,可證得CNLEF,多面體4BCQE/分為三部分，多面體的

體積為VABCDEF=#AMD-BNC+^E-AMD~^~Vp-BNCy

.，1.AV也

.NAZFr=工,BF=1,..BN=2-

作NH垂直于于上〃，則〃為8C的中點，則可”=勺.

:?SABNC=3BC-NH=gx1義當■=*.

._i-3

,,/r/F-BNC_3、c&BNC，NT—，

jr_jr_jy_Qf.X*7

VE-AMD—VF-BNC-24，AMD-BNC-、&BNC*MN-4?

?v—也

?,ABCDEF―3?

空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖、

空間幾何體的表面積與體積

一、選擇題

1.（2012?江西高考文科?T7）若一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體

的體積為（）

9

（畔(B)5(C)-(D)4

2

【解題指南】由三視圖想象出幾何體的直觀圖，由直觀圖求得體積.

【解析】選D.由三視圖可判斷該幾何體為直六棱柱，其底面積為4,高為1,所以

體積為4.

2.（2012?新課標全國高考文科?T7）與（2012?新課標全國高考理科?T7）

相同

如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾

何體的體積為（）

(A)6(B)9(D)18

【解題指南】由三視圖想象出幾何體的直觀圖，由直觀圖求得體積.

【解析】選B.由題意知，此幾何體是三棱錐，其高h=3,相應底面面積為

S=—x6x3=9,.'.V=—Sh=—x9x3=9

233

3.（2012?新課標全國高考理科?T11）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球0

的球面上，AABC是邊長為1的正三角形，SC為球0的直徑，且SC=2,則此棱錐

的體積為（)

4也73也V2

6(B)6(03⑻2

【解題指南】思路一：取AB的中點為。，將棱錐分割為兩部分，利用

'=+求體積；思路二：設點。到面48c的距離為d,利用

V=-SMBCx2d

3求體積;

思路三：利用排除法求解.

【解析】選A.方法一：「SC是球0的直徑，：,ZCAS=ZCBS=9Q°

?.?8N=8C=/C=1,SC=2,.?./$==，取AB的中點為。，顯然48LCD,

AB1SD,???ZBJ_平面CDS.

在A3中，CP=T,DS考,SC=2,利用余弦定理可得

cos4CDS——

V33

sin/CDS=曜

故居

」x旦姮x%=也

?s

一八CDS222V332

]1[]yfiy/-2,

P=PR~^yACDS.=—xSxBD+—SACDSxAD——S.xBA=—x—x1=—

RN,?3Arn,r33cns326

_V3

r——

方法二："BC的外接圓的半徑3,點。到平面MC的距離

d=J火2一/=如

3,

2t/=—

SC為球0的直徑n點S到平面ABC的距離為3

與城=也

此棱錐的體積為33436

V<-SX2R=—口「口

方法三：3MBC6,排除民C，。.

4.（2012?新課標全國高考文科?T8）平面a截球0的球面所得圓的半徑為1,

球心0到平面a的距離為明，則此球的體積為（）

（A）/g（B）4^3n（C）4加n（D）6^3"

【解題指南】利用球心到截面的距離、截面圓的半徑、球的半徑之間滿足勾股定

理求得球的半徑，然后利用公式求得球的體積.

4r-

]-----LL曝=:萬火3=4百萬

【解析】選B.設球0的半徑為R,則R=J12+（返）2=百，故"3.

5.（2012?陜西高考文科?T8）將正方體（如圖1所示）截去兩個三棱錐，得

到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為（）

【解題指南】結合原正方體，確定兩個關鍵點用，烏和兩條重要線段力"和3C的

投影.

【解析】選B.圖2所示的幾何體的左視圖由點A,D,反，口確定外形為正方形,

判斷的關鍵是兩條對角線”"和8c是一實一虛，其中要把”"和8c區別開來，

故選B.

6.（2012?浙江高考文科?T3）已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示,

則該三棱錐的體積是（）

正浸惺

的境圖

(A)1cm'(B)2cm'(C)3cm'(D)6cm,

【解題指南】由三視圖可知，幾何體是底面為兩直角邊分別是1和2的直角三角

形,高為3的棱錐.

【解析】選A.三棱錐的體積為k’xlx2x3=l(cmD.

32

7.(2012?北京高考文科?T7)與(2012?北京高考理科?T7)相同

某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是()

俯視圖

(A)28+66(B)30+6石(C)56+12^(D)60+12^

【解題指南】由三視圖還原直觀圖，再求表面積.

【解析】選B.直觀圖如圖所示，

E

A

B

底面是邊長AC=5,BC=4的直角三角形，且過頂點P向底面作垂線PH,垂足在AC

S*BC=—x4x5=10\PAC=-x5x4=10【

上，AH=2,HC=3,PH=4.2,2因為尸〃_1平

面NBC,所以尸"_L8C.又因為

=所以gel平面尸所以8cLpC,所以

S“8c-5x4x5-10,在“ZB中，pA=25PB=AB=a,取PA中點E,連結

S.P,R=—x2-\/5x6=6^5

BE,則8E=6,所以2.因此三棱錐的表面積為

10+10+10+66=30+6行

8.（2012?湖南高考理科?T3）某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，則該

幾何體的俯視圖不可能是（）

【解題指南】從俯視圖觀察可知，正視圖和側視圖不同的是D,正視圖應有虛線.

【解析】選D.由“正視圖俯視圖等長，側視圖俯視圖等寬”，知該幾何體正視圖

與側視圖相同，而D項中正視圖與側視圖不同，可知選D.

9.（2012?湖南高考文科?T4）某幾何體的正視圖和側視圖均如圖1所示，則

該幾何體的俯視圖不可能是（）

ffil

【解題指南】找出正視圖和側視圖不相同的俯視圖.

【解析】選C.“正視圖俯視圖等長，側視圖俯視圖等寬”，本題正視圖與側視圖

相同，可知選C.

10.（2012?福建高考文科?T4）與（2012?福建高考理科?T4）相同

一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是（）

（A）球（B）三棱錐（C）正方體（D）圓柱

【解題指南】通過了解基本空間幾何體的各個視圖分別是什么就能直接解題.

【解析】選D.圓柱的三視圖，分別是矩形、矩形、圓，不可能三個視圖都一樣,

而球的三視圖可以都是圓，三棱錐的三視圖可以都是三角形，正方體的三視圖可

以都是正方形.

11.（2012?廣東高考理科?T6）某幾何體的三視圖如圖所示，

俯視圖

它的體積為()

(A)12n(B)45n(C)57n(D)81n

【解題指南】根據三視圖準確判斷出此幾何體的形狀，是解決本題的關鍵.本題

顯然是一個由同底的圓柱和圓錐組成的組合體.

【解析】選C.此幾何體是一個組合體，上方為一個圓錐，下方為一個同底的圓

V=^X32X5+-X^X32X4=57^-

柱，所以其體積為3

12.（2012?廣東高考文科?T7）某幾何的三視圖如圖所示，它的體積為

俯視圖

(A)72n(B)48n(C)30n(D)24”

【解題指南】根據三視圖準確判斷出此幾何體的形狀是解決本題的關鍵.顯然圖

中幾何體是一個由半球和倒立的圓錐組成的組合體.

【解析】選C.由三視圖可知該幾何體是由半球和倒立的圓錐組成的組合體.

V=-^x32xJ52-32+-x-^x33=30〃

3723

13.（2012?湖北高考理科?T4）已知某幾何體的三視圖如圖所示，

則該幾何體的體積為（

8萬10萬

(A)3(B)3n(03(D)6n

【解題指南】本題考查三視圖與組合體的體積的求法,解答本題的關鍵是正確地

想象出直觀圖，再補體代入體積公式求解.

【解析】選B.解答本題可采取補上一個與它完全相同的幾何體的方法，

/.V=-^xl2x6=3^.

2

二、填空題

14.（2012?湖北高考文科?T15）已知某幾何體的三視圖如圖所示，

K-t--4——

惻視圖

則該幾何體的體積為.

【解題指南】本題考查三視圖與組合體的體積求法,解答本題的關鍵是正確地想

象出直觀圖，再代入體積公式求解.

【解析】由本題的三視圖可知，該幾何體是由三個圓柱組合而成，其中左右兩個圓

柱等體積.V=nX22X1X2+31X12X4=12n.

【答案】12IT

15.（2012?江蘇高考?T7）如圖，在長方體431GA中，

AB=4D=3cm,AA,=2cm,則四棱錐Z-BB、DQ的體積為cm\

【解題指南】關鍵是求出四棱錐的高，即點A到平面84Ao的距離.再利用公式

進行求解.

【解析】由題意知，四邊形ABCD為正方形，連接AC,交BD于0,則AC_LBD.由

面面垂直的性質定理，可證AOJ_平面BAD。.四棱錐底面。的面積為

36x2=66,從而LBRD=；xO4xS長方形明=6.

【答案】6

16.（2012?浙江高考理科?T11）已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所

示，則該三棱錐的體積等于cm3.

俯爬圖

【解題指南】由錐體體積公式可得.

k旦2=1

【解析】三棱錐的體積為：32（cm3）.

【答案】1

17.（2012?天津高考理科?T10）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：加）,

則該幾何體的體積為加3.

【解題指南】由三視圖正確判斷出組合體的形狀是關鍵.

【解析】組合體的上面是一個長、寬、高分別為6,3,1的長方體，下面是兩個

球半徑為士3的相切的球體，所以所求的體積是：

2

A3

展2噎+4方體=2X2乃+6x3x118+9

r較空】18+9萬

18.（2012?天津高考文科?T10）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：

則該幾何體的體積為加.

【解題指南】由三視圖正確判斷出組合體的形狀是關鍵.

【解析】組合體的底座是一個棱長分別為4,3,2的長方體，上面是一個高為4

3

的四棱柱，底面的面積S=a，所以所求的體積是

3

V=Vsatt+V*^=4Xy+3X4X2=6+24=30.

【答案】30

19.（2012?山東高考理科?T14）如圖，正方體'BO。-48cA的棱長為1,

E，F分別為線段，8c上的點，則三棱錐D「血正的體積為.

【解題指南】本題考查利用換頂點法來求三棱錐的體積，只需知道上的任意

一點到面OEA的距離相等.

【解析】MEA的面積為正方形面積的一半，三棱錐的高即為正方體的棱長，

所以％-加=噎。皿皿"==[

【答案】6

20.（2012?山東高考文科?T13）如圖，正方體"8。-4ACQ的棱長為bE

為線段8c上的一點，則三棱錐的體積為.

D

【解題指南】本題考查利用換頂點法來求三棱錐的體積，只需知道8c上的任意

一點到面04A的距離相等.

[解析】以aADD'為底面，則易知三棱錐的高為1,故P=Lx!xixlxi=L

326.

]_

【答案】6

21.（2012?安徽高考理科?T12）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表

面積是.

俯他圖

【解題指南】根據“長對正、寬相等、高平齊”的原則作出幾何體的直觀圖.

【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為4的直四棱柱，

S=2x-x(2+5)x4+(2+5+4+J42+(5-2)2)X4=92

幾何體的表面積是2、

【答案】92

22.（2012?安徽高考文科?T12）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的

體積等于

正（主）視圖側（左）程圖

【解題指南】根據“長對正、寬相等、高平齊”的原則得出幾何體的直觀圖，進

而求得體積.

【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為4的直四棱柱，則該幾何體的體積是

/=；x(2+5)x4x4=56

【答案】56

23.（2012?遼寧高考理科?T13）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體

的表面積為.

不

1

立

12I2

【解題指南】讀懂三視圖，它是長方體（挖去一個底面直徑為2cm的圓柱），分

別求表面積，注意減去圓柱的兩個底面積.

【解析】長方體的長寬高分別為4,3,1,表面積為4x3x2+3x1x2+4x1x2=38；

圓柱的底面圓直徑為2,母線長為1,側面積為2，xlxl=2萬；圓柱的兩個底面積

2X7X12=2乃.故該幾何體的表面積為38+2萬-2%=38.

【答案】38

24.（2012?遼寧高考文科?T13）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體

的體積為.

【解題指南】讀懂三視圖，它是圓柱和長方體的組合，分別求體積即可.

【解析】該組合體上邊是一個圓柱，底面圓直徑為2,母線長為1；體積

匕=S人=兀xFxI=%，下面是一個長方體，長、寬、高分別為4,3,1,體積

-2=4x3x1=12.故組合體體積匕+%=12+叱

【答案】12+萬

25.（2012?遼寧高考文科?T16）已知點P,A,B,C,D是球0表面上的點,

PA_L平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為26的正方形.若PA=26，則4OAB的面

積為?

【解題指南】注意到已知條件中的垂直關系，將點P,A,B,C,D看作長方體的頂點

來考慮.

【解析】由題意，PA_L平面ABCD,則點P,A,B,C,D,可以視為球0的內接長方體

的頂點，球0位于該長方體的對角線的交點處，那么AOAB的面積為長方體對角

面的四分之一.

AB=26,PA=2瓜,；.PB=6,ACMB的面積=1x2百x6=3百.

4

【答案】3月

三、解答題

26.（2012?新課標全國高考文科?T19）如圖，在三棱柱ABCMBC中，側棱

垂直底面，ZACB=90°,AC=BC=1AA）,D是棱AAI的中點.

（I）證明:平面BDC」平面BDC；

（II）平面BDG分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

【解題指南】（1）證兩個平面垂直，可轉化為在其中一個平面內找到一條直線與

另一個平面垂直，要證平面BDG_L平面BDC,可證°GJ.平面BDC；

（2）平面BDG分棱柱下面部分8一為四棱錐，可直接求體積，上面部分

可用間接法求得體積，從而確定兩部分體積之比.

【解析】⑴由題設可知80,℃，80_1_'。,℃「/0=0,所以3。,平面

ACC,A,

又DC,c平面ACC,A,，所以如，8。.

由題設知4QG=NWC=45。，所以ZCDC,=90。，即℃,選,又

DCDBC=C,

所以°GJ?平面BDC.又0Gu平面BDC\,故平面8°G，平面BDC.

（H）設棱錐8一°'℃的體積為匕，4C=1.由題意得

又三棱柱"8C-4AG的體積憶=1,所以（心匕）：匕=".

故平面80G分此棱柱所得兩部分體積的比為1：1.

27.（2012?江西高考文科?T19）如圖，在梯形ABCD中，AB〃CD,E,F是線

段AB上的兩點，且DELAB,CF±AB,AB=12,AD=5,BC=4^,DE=4.現將AADE,

△CFB分別沿DE,CF折起，使A,B兩點重合于點G,得到多面體CDEFG.

（1）求證：平面DEG,平面CFG；求多面體CDEFG的體積.

【解題指南】（1）證兩個平面垂直，可轉化為在其中一個平面內找到一條直線與

另一個平面垂直，要證平面DEGJ_平面CFG,可證EGJ_平面CFG；

（2）多面體CDEFG為四棱錐，由平面DEG_L平面CFG得到四棱錐的高，利用體

積公式求體積.

【解析】（1）由已知可得AE=3,BF=4,則折疊完后EG=3,GF=4,又因為EF=5,

所以可得EG,GE.

又因為W底面EGF,可得CF_LEG,即EG,平面CFG,所以平面DEG_L平面

CFG.

(2)過點G作GO垂直于EF,GO即為四棱錐G-EFCD的高,所以所求體積為

1112

—S長方形DEFC*G0=-X4X5X—二16.

335

空間幾何體的表面積和體積

近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉體的面積和體積問題，也有已知面積或體

積求某些元素的量或元素間的位置關系問題。即使考查空間線面的位置關系問題，也常以幾

何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉體的概念、性質以及它們的求積公式.同時也要學

會運用等價轉化思想，會把組合體求積問題轉化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉化求

解問題，會把立體問題轉化為平面問題求解，會運用“割補法”等求解。

由于本講公式多反映在考題上，預測2010年高考有以下特色：

(1)用選擇、填空題考查本章的基本性質和求積公式；

(2)考題可能為：與多面體和旋轉體的面積、體積有關的計算問題；與多面體和旋轉

體中某些元素有關的計算問題：

三.【要點精講】

1.多面體的面積和體積公式

名稱側面積(SMi)全面積(S全)體積(V)

棱柱直截面周長XIS底?h=S直截面?h

棱柱S側+2S底

直棱柱chS底?h

棱錐各側面積之和

棱

gs底?h

S側+S底

錐正棱錐-chz3

2

棱臺各側面面積之和

(S上底+S卜.底

棱

S側+S上底+S下底

臺正棱臺(c+c')h'

2+Js下底,S卜.底)

表中S表示面積，c'、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h'表示斜高，1表示側

棱長。

2.旋轉體的面積和體積公式

名稱圓柱圓錐圓臺球

nrl

S?2Jiri兀(ri+r2)1

22

人(r)+r2)1+1(ri+r2)

2nr(1+r)JIr(1+r)4nR-

S金

4

VnIh(即nr2l)—nr2h—nh(r2i+rirz+r22)-JtR3

333

表中1、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，小門分別表示圓臺上、

下底面半徑，R表示半徑

四.【典例解析】

題型1:柱體的體積和表面積

例1.一個長方體全面積是20cm2,所有棱長的和是24cm,求長方體的對角線長.

解：設長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、1cm

2(xy+yz+zx)-20(1)

依題意得:

4(x+y+z)=24⑵

由(2)2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)

由(3)—(1)得x?+y2+z2=16

即尸=16

所以/=4(cm)o

點評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表

面積多被考察。我們平常的學習中要多建立一些重要的兒何要素(對角線、內切)與面積、

體積之間的關系。

例2.如圖1所示，在平行六面體ABCD—AiBQDi中，已知AB=5,AD=4,AA,=3,

AB±AD,NA|AB=NA]AD=工。

3

(1)求證：頂點A\在底面ABCD上的射影O在NBAD的平分線上；

(2)求這個平行六面體的體積

解析：(1)如圖2,連結AQ,則AQ_L底面ABCD。作OM_LAB交AB于M,作ON

_LAD交AD于N,連結AiM,AN。由三垂線定得得AiM_LAB,A]N_LAD。VZA,AM=

ZA|AN,

二Rt^AiNAgRtZXA]MA,A1M=A1N,

從而OM=ON。

...點O在/BAD的平分線上.

/、力13

(2).AM=AA|COS—=3X—=—

322

.AM3ZT

兀2

cos一

4

9o

又在RtaAOAi中，A?O2=AA12-AO2=9--=-

22

：.MO=—,平行六面體的體積為P=5X4X￡2=30&。

22

題型2：柱體的表面積、體積綜合問題

例3.一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是石，這個長方體對角線的長是

（）

A.2V3B.3A/2C.6D.V6

解析：設長方體共一頂點的三邊長分別為。=1，b=0,c=B則對角線/的長為

l=y]a2+b~+c2=；答案D。

點評：解題思路是將三個面的面積轉化為解棱柱面積、體積的幾何要素一棱長。

例4.如圖，三棱柱ABC—ABC中，若E、F分別為AB、AC的中點，平面EBC將三棱

柱分成體積為％、”的兩部分，那么%:“=。

解：設三棱柱的高為h,上下底的面積為S,體積為V,則\，=%+丫2=$鼠

■E、F分別為AB、AC的中點,

S/SAE產一S,

Sh

12

AVi：V2=7：5。

點評：解題的關鍵是棱柱、棱臺間的轉化關系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應

關系。最后用統一的量建立比值得到結論即可

題型3：錐體的體積和表面積

例5.7.（2009山東卷理）一空間幾何體的三視圖如

圖所示，則該幾何體的體積為（

A.2兀+2-^3B.4萬+2-^3

2兀+空,2G

D.4萬+----

33

oC

【解析】:該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,

圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為2%,四棱錐的底

面

i2o

邊長為JI,高為JL所以體積為百=三一

所以該幾何體的體積為21+氈.

3

答案:C正（主）視圖側（左）視圖

【命題立意】：本題考查了立體幾何中的空間想象能力,

由三視圖能夠想象得到空間的立體圖，并能準確地

計算出.幾何體的體積.

（2009四川卷文）如圖，己知六棱錐尸-ZBCQER的底面是正六邊形，

PA1平面=2AB則下列結論正確的是

A.PB1AD和、

B.平面尸781平面P8C/'\

c.直線BC//平面P/E''

D,直線尸0與平面N8C所成的角為45°

【答案】D

【解析】??》口與PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PABL平面PAE,所

以平面尸46，平面P6C也不成立；BC〃AD〃平面PAD,，直線8C〃平面尸ZE也不成

立。在中，PA=AD=2AB,.\ZPDA=45°.，D正確

（2009全國卷H文）設OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45。角的平

74

面截球O的表面得到圓C。若圓C的面積等于一，則球O的表面積等于X

4

答案:8n

解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結合平面幾何知識進行運算，由

S=4成2=4^(411)2=84.

例61.（2009年廣東卷文）（本小題滿分13分）

某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖4所示，墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH,

下半部分是長方體ABCD—EFGH.圖5、圖6分別是該標識墩的正（主）視圖和俯視圖.

（1）請畫出該安全標識墩的側（左）視圖；

（2）求該安全標識墩的體積

（3）證明:直線BDJ_平面PEG

p

圖4圖5圖6

【解析】(1)側視圖同正視圖,如下圖所示.

(2)該安全標識墩的體積為：V—VP.EFGH=ZtBCD-EFGH

=1X402X60+402X20=32000+32000=64000(cm2)

(3)如圖，連結EQHF及BD,EG與HF相交于O,連結PO.

由正四棱錐的性質可知，尸0,平面EFGH,/.POLHF

又EG工HF.?.族，平面PEG

又BDPHF8。_L平面PEG；

例7.ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GB垂直于正方形

ABCD所在的平面，且GC=2,求點B到平面EFC的距離？

解：如圖，取EF的中點O,連接GB、GO、CD、FB構造三棱錐B-EFG。

G

設點B到平面EFG的距離為h,BD=4V2,EF=2j5,C0=之X4JI=3J5。

GO=VCO2+GC2=7（3A/2）2+22=JO+4=V22。

而GCJ_平面ABCD,且GC=2。