2023學年朝陽市建平實驗高二數學（下）第二次月考試卷考試時間：120分鐘總分：150分2024.04一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．在等差數列中，若，則公差（

）A．1 B．2 C．3 D．42．若數列的首項，且滿足，則（

）A． B． C． D．3．在正項等比數列中，為其前項和，若，，則的值為（

）A．50 B．70 C．90 D．1104．已知等差數列的前項和分別為與，且，則（

）A． B． C． D．5．已知，數列的前項和為，則（

）A．8096 B．8094 C．4048 D．40476．二項式展開式的常數項為（

）A． B．70 C． D．7．已知數列滿足，若為數列的前項和，則（

）A．226 B．228 C．230 D．2328．某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發獎金投入，若該公司年全年投入研發獎金萬元，在此基礎上，每年投入的研發獎金比上一年增長，則該公司全年投入的研發獎金開始超過萬元的年份是（

）（參考數據：，，）A．年 B．年 C．年 D．年二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.9．下列說法正確的是（

）A．若，且，則B．設有一個回歸方程，變量x增加1個單位時，y平均減少5個單位C．線性相關系數r越大，兩個變量的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱D．在某項測量中，測量結果服從正態分布，則10．已知數列的前n項和為，且，，則下列結論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則數列是等比數列D．若，則數列是等差數列11．已知直線過拋物線的焦點，與拋物線相交于兩點，分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，以線段為直徑作圓為坐標原點，下列正確的判斷有（

）A． B．為鈍角三角形C．點在圓外部 D．直線平分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知等比數列的前項和為，則.13．已知點，且F是橢圓的左焦點，P是橢圓上任意一點，則的最小值是.14．將甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三項不同的公益活動中，每人只參加一項活動，每項活動都需要有人參加，其中甲必須參加A活動，則不同的分配方法有種．（用數字作答）四、解答題：本題共5小題，共77分15．已知等差數列的前項和為，有，.（1）求數列的通項公式；（2）令，記數列的前項和為，證明：.16．已知等比數列的前n項和為，且是與2的等差中項，等差數列中，，點在一次函數的圖象上．(1)求數列，的通項和；(2)設，求數列的前n項和．17．如圖，在三棱柱中，在底面的射影為的中點為的中點.(1)證明：平面；(2)求二面角的平面角的大小.18．為了解居民體育鍛煉情況，某地區對轄區內居民體育鍛煉進行抽樣調查.統計其中400名居民體育鍛煉的次數與年齡，得到如下的頻數分布表.年齡次數每周0~2次70553659每周3~4次25404431每周5次及以上552010(1)若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據數據回答：是否有的把握認為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關；(2)從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在與的人數分別為，求ξ的分布列與期望；(3)已知小明每周的星期六?星期天都進行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步?籃球?羽毛球3種運動項目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運動項目，如果星期六選擇跑步?籃球?羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率.參考公式：附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．已知點是圓：上一動點（為圓心），點的坐標為，線段的垂直平分線交線段于點，動點的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)，是曲線上的兩個動點，為坐標原點，直線、的斜率分別為和，且，則的面積是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請說明理由；(3)設為曲線上任意一點，延長至，使，點的軌跡為曲線，過點的直線交曲線于、兩點，求面積的最大值．1．B【分析】利用等差數列的通項公式和性質可得答案.【詳解】因為，所以，所以.故選：B.2．C【分析】根據遞推公式，結合代入法可以求出數列的周期，利用數列的周期性進行求解即可.【詳解】因為，，所以，所以該數列的周期為，于是有，故選：C3．B【分析】利用等比數列的片段和性質列式計算即可.【詳解】由等比數列的片段和性質得，，成等比數列所以所以，解得.故選：B.4．A【分析】利用等差數列的求和公式及性質可得答案.【詳解】因為均為等差數列，所以，因為，所以.故選：A5．D【分析】根據題中條件可知，倒序相加求和即可.【詳解】由，得,,,又，所以，所以.故選：D.6．D【分析】由，令得出后代入計算即可得.【詳解】，令，即，故，即展開式的常數項為.故選：D.7．A【分析】將數列分成偶數列和奇數列兩列數列處理即可.【詳解】由題可知數列的奇數列是公差為2，首項為1的等差數列，此時，數列的偶數列是1，交替出現的波動數列，此時，所以.故選：A.8．B【詳解】試題分析：設從2015年開始第年該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元，由已知得，兩邊取常用對數得，故從2019年開始，該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元，故選B.【考點】增長率問題，常用對數的應用【名師點睛】本題考查等比數列的實際應用．在實際問題中平均增長率問題可以看作等比數列的應用，解題時要注意把哪個數作為數列的首項，然后根據等比數列的通項公式寫出通項，列出不等式或方程就可求解．9．ABD【分析】由的方差公式可判斷A；x增加1個單位時計算y值與原y值比較可判斷B；由線性相關系數|r|的性質可判斷C；根據正態曲線關于x=1對稱即可判斷D.【詳解】對于選項A，由，，則，所以，故正確；對于選項B，若有一個回歸方程，變量x增加1個單位時，，故y平均減少5個單位，正確；對于選項C，線性相關系數|r|越大，兩個變量的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱，錯誤；對于選項D，在某項測量中，測量結果服從正態分布，由于正態曲線關于對稱，則，正確.故選：ABD.【點睛】本題考查方差的計算、線性回歸方程的相關計算、正態分布的概率問題，解題的關鍵點是熟練掌握有關概念和性質，屬于基礎題.10．CD【分析】利用等比數列求和公式可判定A，利用累加法求通項可判定B，利用構造法結合等差數列、等比數列的定義可判定C、D.【詳解】對于A，，由，所以，即是以1為首項，3為公比的等比數列，所以，則A錯誤；對于B，時，則，利用累加法可知，顯然符合，則B錯誤；對于C，時，則，顯然，所以是以-2為首項，2為公比的等比數列，則C正確；對于D，時，，即是以為首項和公差的等差數列，則D正確.故選：CD11．ABD【分析】對選項A，根據焦半徑公式即可判斷A正確，對選項B，根據即可判斷B正確，對選項C，D，根據拋物線的性質得到，，即可判斷C錯誤，D正確.【詳解】如圖所示：

對選項A，由拋物線的焦半徑公式可知，所以，故A正確；對于選項B，，令直線的方程為，代入得，所以，所以，所以是鈍角三角形，故B正確；對選項C，D，由可知，又，所以，所以直線平分角，同理可得平分角，所以，即，所以圓經過點，故C錯誤，D正確．故選：ABD12．【分析】由求出，檢驗首項即得參數值.【詳解】由，當時，；當時，，因是等比數列，故時，，解得,此時，，符合題意.故答案為：.13．3【分析】由橢圓的定義，求的最小值可化為的最小值，根據三點共線即可求解.【詳解】由橢圓可知，，設橢圓的右焦點為，則，如圖，

所以，即當在的延長線上時，取得最小值.故答案為：314．【分析】根據題意，分為三種情況：甲單獨參加，甲和其中一人和甲和其中兩人參加，結合排列組合的知識，即可求解.【詳解】由題意，可分為三種情況：當甲單獨參加A項活動，則有種安排方法；當甲和其中一人參加A項活動，則有種安排方法；當甲和其中兩人參加A項活動，則有種安排方法，所以不同的分配方法有種不同的安排方法.故答案為：.15．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設等差數列的公差為，根據題意列出關于和的方程組，解出這兩個量，再利用等差數列的通項公式可求出數列的通項公式；（2）由（1）得知，然后利用裂項法求出數列的前項和，即可證明出.【詳解】（1）設數列的公差為，有，解得，有，因此，數列的通項公式為；（2）由（1）知，有，由，有，故有，由上知.【點睛】本題考查等差數列通項公式的求解，同時也考查了裂項求和法的應用，在求解等差數列的通項公式時，一般要建立首項和公差的方程組，利用方程思想求解，考查計算能力，屬于中等題.16．(1)，(2)【分析】(1)結合已知條件，利用與之間的關系求的通項公式；將代入中可得到公差，然后利用等差數列的通項公式即可求解；(2)利用錯位相減法即可求解.【詳解】（1）因為是與2的等差中項，所以，即，則，當時，，從而，則等比數列的公比，故；因為，點在一次函數的圖象上，所以，即等差數列的公差為2，從而.（2）由，得：...①...②①-②得，，從而.17．(1)證明見解析(2).【分析】（1）連接由題意可得平面，即可得，結合題目條件可得，由線面垂直的判定定理即可得平面；（2）建立空間直角坐標系后得出各點坐標，分別計算出平面與平面的法向量，借助向量即可得二面角的平面角的大小.【詳解】（1）為的中點，連接，由題意得平面，又平面，所以，因為，所以，又平面，所以平面；（2）以的中點為原點，分別以的方向為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，由題意知各點坐標如下：，由故，，故，因此，設平面的法向量為，平面的法向量為，由，即，令，可取，由，即，令，可取，于是，由題意可知，所求二面角的平面角是鈍角，故二面角的平面角為.18．(1)有的把握認為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關.(2)分布列見解析；期望為(3)【分析】（1）根據題意，列出的列聯表，求得卡方值，結合附表，即可得到結論；（2）根據題意，得到隨機變量的可能取值為，求得相應的概率，列出分布列，結合期望的公式，即可求解；（3）根據題意，結合全概率公式，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，可得的列聯表，如下表所示：青年中年合計體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計200200400可得，所以有的把握認為體育鍛煉頻率的高低與年齡有關.（2）解：由表中的數據，利用分層抽樣的方法抽取的8人中，年齡在與的人數分別為人和人，根據題意，可得隨機變量的可能取值為，則，，，所以隨機變量的分布列為：所以隨機變量的數學期望為.（3）解：記小明在某一星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，分別為事件，星期天選擇跑步為事件，則，，所以,所以小明星期天選擇跑步的概率為.19．(1)(2)是，(3)．【分析】（1）由已知得，動點的軌跡為橢圓，待定系數法求方程即可；（2）設兩點的坐標，表示出的面積，利用橢圓的參數方程結合三角函數的運算，求的面積.（3）求出點的軌跡方程曲線，，分類討論設直線方程，利用韋達定理表示，由直線與曲線有交點確定參數范圍，求面積最大值.【詳解】（1）因為線段的中垂線交線段于點，則，所以，，

由橢圓定義知：動點的軌跡為以、為焦點，長軸長為的橢圓，設橢圓方程為，則，，，，所以曲線的方程為（2）設，，直線：；，到直線的距離，所以另一方面，因為，是橢圓上的動點，所以可設，，，由，得，為定值.（3）設，，，代入：得，所以曲線的方程為.由知，同理，，設，

①當直線有斜率時，設：，代入橢圓的方