宿州學院畢業論文小概率原理在生活中的應用1 摘要社會在進步，科學技術也在發展，概率論與數理統計中的很多原理已經被應用到經濟、交通、醫療、自然災害等領域。數學期望是指實驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，隨機變量是重要的數字特征之一。在資金風險投資，彩票，競賽選拔，機器故障，商店進貨，產品在市場中的需求量，市場產品中人們選擇哪種產品更能獲取最大利潤等問題上數學期望都發揮重要的作用，同時也為人們做出正確的決定方法提供科學的依據。本文通過數學期望在生活中的具體應用，綜合分析出的結果，提出了一些建議，以便于我們能更好地研究它運用它。關鍵詞：隨機變量；數學期望；決策目錄引言 11.實際背景 22.數學期望的預備知識 22.1數學期望的定義 22.2數學期望的性質 43.數學期望的應用 53.1產品的次品率 53.2電子裝備的壽命 63.3產品獲得的最大利潤問題 73.4疾病普查問題 93.5彩票問題 10結束語 11參考文獻 12PAGEPAGE2數學期望在經濟生活中的應用研究引言概率論與數理統計是數學中一門很重要的學科，我們在日常生活中習慣性的利用里面的原理和方法去分析解決問題。數學期望在眾多領域中都有所應用，主要包括經濟、交通、醫療等方面，影響了我們的日常生活、工作和學習。而研究數學期望原理的目的是更好地利用它，使它朝著期望的方向發展，從而給我們的生活帶來便利。一些簡單的實際問題，例如，彩票，機器故障，商店進貨，市場產品中人們選擇哪種產品更能獲取最大利潤等問題，反映出在生活中數學期望處處可見。許多學者都鉆研了數學期望。如張茜茹討論了數學期望在經濟決策中的應用研究[1]；趙艷俠討論了數學期望在經濟問題中的應用[2]；江秉華討論了淺談數學期望在經濟生活中的應用等[3]。數學期望早在17世紀就已經出現，一些文獻中也有詳細的記錄，浙江大學的盛驟的《概率論與數理統計》[4]、徐麗君《淺談數學期望的計算與應用》都為我們提供了詳細的介紹[5]。本文就是主要敘說經濟生活中數學期望的應用。首先對離散和連續型隨機變量數學期望的相關知識進行總結，然后介紹了數學期望在產品的次品率和電子裝備的壽命還有公司開發新產品能獲得的最大利潤等實際問題上的應用，根據計算出來的結果提出建議。通過對數學期望原理應用的綜合分析，采取什么樣的態度面對數學期望問題以及如何運用數學期望原理去分析和解決問題，提出了合理的建議，以此來達到科學的利用數學期望原理的目的。1.實際背景在17世紀，一名賭徒問數學家帕斯卡出了一個問題：甲乙進行賭博，贏的人會擁有100法郎，比賽采取五局三勝制，并且兩人贏的概率相等。到第四局比賽的時候，因為某種原因比賽停止了，甲贏了2局，乙贏了1局，兩人如何分這100法郎？有人說平均分不就好了？甲不愿意了，他說自己贏得幾率大，不同意平分。又有人說，既然甲贏了兩局乙一局，甲輸得可能性為，乙贏得可能性為。所以甲應該得到的獎勵為75法郎，乙25法郎，乙也不愿意了，說自己后面會贏。那么到底怎么分這100法郎比較合理？數學期望由此而來。問題一：一個運動員進行射標練習（如圖所示），投在得兩分，得一分，脫靶不得分，他的得分是一個隨機變量。設分布律為現在進行次，其中0分次，一分次，兩分次，。e2平均一次得分為ee0e1這里，是事件的頻率，當很大時ee在一定意義下接近事件的概率，也就是說，當練習次數很大時，隨機變量的算術平均在一定意義下接近我們稱為隨機變量的數學期望或均值。2.數學期望的預備知識2.1數學期望的定義設離散型隨機變量的分布律為…若級數絕對收斂，則稱級數的和為隨機變量的數學期望，記作，即設連續型隨機變量的概率密度為，若積分絕對收斂，則稱積分的值為隨機變量的數學期望，記作，即數學期望簡稱期望，又被叫做均值[4]。數學期望完全由隨機變量的概率分布所確定。若服從某一分布，也稱是這一分布的數學期望。數學期望是描述隨機變量取值的平均大小。設是的函數：如果是離散型的，它的分布律為…，若絕對收斂，那么有如果是連續型，它的概率密度為，若絕對收斂，則有最后在計算時只需要利用的分布律或者概率密度就可以了。例題：某學校每一年都會給學生體檢，醫生會根據學生的膚色，心臟搏動，反應靈敏度來給他們評分，學生的身體得分是一個隨機變量，根據以往的資料表明其分布律為下表，表1身體得分分布律X012345678910P0.0020.0010.0020.0050.020.040.180.370.250.120.01試求其的數學期望。解：=0×0.002＋1×0.0012＋×0.002＋3×0.005＋4×0.02＋5×0.04＋6×0.18＋7×0.37＋8×0.25＋9×0.12＋10×0.01=7.15（分）如果學校的很多學生抽200個，則一個學生的平均得分約是7.15分，200個的總得分就是1430分。2.設風速在（0，a）上服從均勻分布，即概率密度為飛機兩側受到的正壓力是的函數，求的數學期望。解：2.2數學期望的性質設是常數，則有.設是一個隨機變量，是常數，則有設，是兩個隨機變量，則有當，獨立或不相關時，才有證明：（1）（2）（3）設二維隨機變量的概率密度為，邊緣概率密度為（4），相互獨立，3.數學期望的應用事物的發展受隨機因素的影響，人們做出某種決定就會有一定風險。數學期望就為我們大大減少了這種風險。例如，公司新生產的產品會出現次品;電子產品不可能一直用下去,會有使用壽命;人們出售商品不想虧本等等。下面為大家介紹了幾個數學期望的具體例子，通過計算和總結發現了利用數學期望可以解決一些實際生活問題。3.1產品的次品率次品率（DefectivePercentageRate）是指次品的數量與全部產品數量的比率。次品是指不完全和品質要求一樣或者沒有滿足所規定的要求，但是不影響使用的產品。在經濟生活的生產問題中，不可能每次都能生產出完好的產品，這時可以利用次品率去計算次品數，然后調整設備，從而減少次品的出現。例1.已知某公司上市了一種新型產品，它的損壞率為0.1，每天定點排查4次，一次會隨機抽查10個產品，要是損壞數超過1就去調整機器。我們設一天當中對機器進行調節的次數為，求解：首先算出一次檢查需要調整機器的概率，設查出損壞的個數為,則,令需要調整機器一次的概率為，那么因為每次檢查出的結果是相互獨立的，故，的分布律為表2分布律01234于是，綜上知數學期望為1.0556。根據數學期望我們可以進行改進，調整設備來減少次品的出現，降低次品率，同時，當次品率很低，就會有足夠的信心保證我們產品的質量。我們出售商品時，可以適當提高商品的價錢，并向顧客承諾：雖然我們的價錢很高，我們的質量同時也是高的，商品有效期內，如有損壞包退包換。如果商品質量得到了保障，那么顧客就會越來越多，商品自然也就會被購買，也就會有很大的收益。3.2電子裝備的壽命現在我們的時代科技發展很迅速，電子產品不斷出現在我們的身邊，方便了我們的生活，不僅讓我們的生活上升了一個高度，還能開拓我們的視野。但有很多的電子設備是有使用壽命的，一段時間后可能就不行了，我們可以利用數學期望的知識計算出電子裝備壽命的具體數值。例1.一家商店對其中的一件電器，采取了先可以用事后再付錢的方法，電器的使用時長為（用年計算），有以下條件：X12X設使用時間服從指數分布，其概率密度為那么一件電器費用的數學期望。解：先求出壽命落在各個區間的概率，即有則一臺電器的收費Y下表是其分布律：表3分布律10001500200030000.09520.08610.07790.7408那么，可以得出數學期望為綜上知，平均每臺收費2602.55元。商家售出電子產品，一定程度上要保證其使用壽命，買家會覺得商品很好（有很好的口碑），會吸引更多的客人，提高了商家產品售出的可能，增加了營業額，如果使用壽命很短價錢也不夠低，客人不會選擇購買此商品，就會賣不出去，商家自然也就不會賺錢。3.3產品獲得的最大利潤問題最大利潤（maximumprofit）是指利潤最大，也就是說邊際收益和邊際成本相等。。數學期望在當中也有應用，為廠商獲得產品利潤做出了貢獻。例1.某公司的一種新型產品打算近期出售。該產品的損壞年限概率密度為：公司說明，已經賣出的產品如果在一年當中壞了可以進行調換，如果公司賣出一件此商品可以賺200元，但是調換一件該商品需要公司花費500元，那么公司賣出一件商品凈盈利的數學期望。解：一件此商品在一年內調換的概率為Y記作公司出售一件商品的凈盈利值，則Y的分布律為表4分布律200200-500故有綜上知，凈盈利的數學期望為89.4。一位商人在路邊擺攤，他帶來了8個白球8個黑球，都放進一個箱子里。原則是：玩游戲的每個人要交出一塊錢當押金，然后從箱子里一次隨機拿出五個球，下表所示是中獎情況：表5中獎情況結果獎品5個白球獎勵30元4個白球獎勵3元3個白球獎勵0.5元其他沒有任何獎品如果一天當中有200個人進行抽獎，試計算攤主一天的期望收益。解：摸到的五個球中白色的個數用隨機變量表示，那么， 可以知道這一天中攤主需要交出的彩金為他一天的手續費收入為200元綜上知，攤主一天的凈收益為10.38（元）看似顧客只需要拿一元錢就可以參加比賽，他們真的撿到便宜了嗎？我們通過計算發現其實不是，商家不會做虧本生意，商家利用人們的這種心理，聚集了人氣賺了錢。在實際生活中我們遇到類似情況應該擦亮眼睛，不要盲目參加。我們可以看到數學期望對經濟決策的影響。3.4疾病普查問題當進行疾病篩查時，醫生會對某一地區的人進行體檢，通常要檢查每個人，如果人數很多并且發病率也很低，可以用分組檢查來節省人力。有一個地區人很多，醫生需要檢查人的身體狀況，要對個人抽血檢驗，兩種方法：（1）每個人的血都需要檢查，一共要次；（2）此時把這些人進行分組：每一組人，如果把人的血放在一塊，出現陰性，那么人里都顯示陰性，所以這人的只需要檢驗一次就好，然后依次檢驗每個人，一共檢驗次。我們令是每個人陽性的可能這些人檢驗出來的結果是相互獨立的。當很小時，取何值化驗次數最少（用方法二）解：陽性概率為，則陰性為,人混合血陰性的概率為，陽性為。令以人為一組時，組中每人化驗次，則是隨機變量，分布律為表6分布律的數學期望為個人平均需要化驗，要是化驗次數小于只需我們取合適的值，在固定情況下，得到的是最小值，就是我們要求的結果。例如，，取到最小。當N為1000，平均檢驗次數為減少了0.4的工作量。這題說明了數學期望在普查問題上也發揮的重要的作用。疾病在我們生活中會出現，我們該怎么去檢查？此時有一萬人來醫院檢查同一種病，我們就要檢查一萬次嗎？答案并不是。如果人數很多發病率也很低，我們會選擇混合血液，來減少檢查次數，這樣會減少我們的工作量，增加了我們的工作效率，經濟效益也有所提高。但是，如果發病率高我們就需要仔細逐個檢驗，以防有差錯出現。3.5彩票問題我們假設一張彩票的價錢為6元，每人買都有一個專門的號碼，賣出100萬張就會開獎一組，會隨機搖出一個6位數號碼（中獎），我們可以認為000000-999999每個號碼出現的可能性相同，中獎的結果為：如果我們買的那張彩票的號碼與大獎號碼最后一位的數字一樣就是四等獎10元（中獎可能性為10%）；最后三位一樣就是三等獎300元（0.1%）；最后四位一樣就是二等獎3000元（0.01%）；全部一樣就是我們的大獎300000萬（0.0001%），每人只限一張，求每張彩票的數學期望。由此可知，每賣出100萬張會得到600萬元，當中會有獎金460萬，剩下的140萬會用于福利事業。目前我們知道，很多人都想去買彩票，中大獎一夜暴富。通過我們的計算和發現，可以知道，中獎的概率很低尤其是一等獎，得獎的人少之又少，我們不要寄托于買彩票，應該實事求是，付出努力。但是像很多福利彩票，他們會把錢捐給有需要的人，幫助那些貧困艱苦的地方。成年人也可以適當理性購買彩票，為公益事業付出自己的一點力量。結束語本文運用了數學期望的相關理論知識，對我們實際經濟生活中一些問題做出了合理的計算和解釋。與公司賣家而言，他們要盡可能降低產品的次品率，增加產品的使用壽命，以達到獲取高收益的目標。對于買家而言，我們應明辨事物，避免落入小圈套，合理消費。除了文中這些，在我們日常經濟生活中數學期望的其它應用也很常見，法律、醫學、體育等諸多方面都有體現，經濟社會在不斷發展和進步，人民生活水平也在增高，競爭激烈，要想降低遇到的風險，減少自己的損失，降低所需成本，賺取更大的利潤，人們必須運用科學有效的方式做出正確的決定，數學期望正好可以綜合各種可能出現的情況挑選出最好的方法[10]。近些年來，不管是自然界還是我們的社會生活，數學期望不斷出現去處理各種實際問題，也為我們提供了重要的理論依據，從各方面都表現出了數學期望重要性。因此，我們要盡自己所能，充實數學知識，為國家的發展做出努力。參考文獻張茜茹.數學期望在經濟決策中的應用研究[J].今日財富,2020(4):1-12.[2]趙艷俠.數學期望在經濟問題中的應用[J].吉林師范大學學報（自然科學版）,2005(2):92-93.[3]江秉華.淺談數學期望在經濟生活中的應用[J].數學學習與研究（教研版）,2012(23):110-113.[4]盛驟.概率論與數理統計（第四版）[