2015年北京市高考數學試卷(文科)

一、選擇黑(每小且5分洪40分)

1.(5分)若集合An伙-5<X<2l,B=lx!-3<X<3},則ACB=()

A.<x|-3<x<2}B.{x-5<x<2>

C.(x?3VKV3)D.{X-5<x<3)

2.(5分)喇心為(1.1)H過原點的四的標準方程是<)

A.(x-1)J+(y-1>2=1B.(x-1)J+(y+1)3=1

C.(E)〃(v+D??2D.(x-1)(y-1)??2

3.(5分)卜列威敢中為儡函數的是<>

A.y?xa$lnxB.丫?『cosxC.尸InxD.y?2"

4.(S分)某校老年、中年和青年教蜉的人數見如表，采用分層抽樣的方法調責

教娥的身體狀況.在摘取的樣本中.青年教師為320人.愿讀樣本的老年教

師人數為()

類別人數

老弟教師900

[中年教仲

1800

青年教邪1600

合計4300

A.90B.100C.180D.300

5.(5分)執行川圖所小的程序植圖.輸出的k值為(

A.3B.4C.5D.6

6.（S分）設；.E是非零向易,W?E=a匕”是嚏0自的（

A.充分而不必要條件B,必要而不充分條件

C.充分必要條件D.瓦不充分也不必要條件

8.（5分）某輛汽車每次加油都把油箱加滿.卜衣記錄「該車相鄰西次加油時的

情況

加油時間加油丘（升）加油時的累計里程（千米）

2015年5月1.日1235000

201S年5月15日4835600

注「累計里程嗡汽車從出廠開始累計行駛的路程.在這段時間內,該4每100

千米平均耗油址為（）

A.6升B.8升C.10升0.12升

二、填史?

9.（5分）如數i（l+i>的實那為.

1

10.（5分）23.臺5.1聞方三個數中最大數的是.

11.（5分）在AABC中，a=3,b=A則NB=

w

12.（5分）已知（2,0）是雙曲線X2（b>0）的?個仰點.Mb=

13.（S分）如圖.AABC及其內部的點組成的集合記為D.P<x,y）為。中任

速一點，則z=2x，3丫的最大伯為.

14.（5分）高：年級267位學生參加期末考試，某班37位學生的語文成績.數

學:成績與總成績在全年級的持乂情況如圖所示,甲、乙、內為該施三位學生.

從這次考試或績看.

①在甲,乙兩人中，其i開支成績名次比其總成績名次靠前的學生是：

②在語文和數學兩個科目中，內同學的成績名次更賽前的科目是.

2ft7267

總成績年級名次267（f加購件級名次267

三、解答黑（共80分）

15.（13分）已知函數f（AMSinx-2小所方.

（1）求f（x）的最小正劇Wb

（2）求f（求在區間［0,罕］上的總小俏.

3

16.（13分）己知等差分列E）湎是a1E=10.a?-a3=2

<1）求人力的通項公式：

（2）設等比數列1回｝滿足b,=aj?b3=az.同：上與數列｛卻的第幾項相等？

17.（13分）靈&市隨機送取1000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四

種商乩的情配,整理成如下死計費，其中▼表示購買我示來購買.

甲乙百T

100VXVV

217XVXV

200VVVX

300VXVX

85VXXX

98XVXX

（1）估計顧客同時購買乙利內的概率1

（2）怙計幀客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；

（3）如果粽客購買了甲,則該顧客同時購買乙、丙、「中哪種面品的可能性反

大？

18.（14分）如圖.在三楨推V-ABC中，平面VAB1.平面ABC.ZkVAB為等功

??角形，AC8C11AC=BCsV2.O.M分別為AB,VA的中點.

（1）求證：VB〃平面MOC:

<2）求證：平面MOCX、f‘面VAB

（3）求三校椎V-ABC的體積.

上

19.(13分)設函數f(x)-klnx.k>0.

2

(1)求f(x)的單.調區間和極值；

(2)證明：若f(x>存匕零點，則f(x)住區間11,江！上僅有一個零點.

20.(14分)已知橢SIGW+3/=3.過點D(1.0)且不過點E(2.1)的直線

與橢圓C交卜A?8兩點，宜找AE與直線x=3交「點M.

<1)求橢圈C的離心率：

(2)若AB垂直fx軸.求直線BM的斜率：

⑶試判斷直觸BM與直線DE的位良關系,并說明理由.

2015年北京市高考數學試卷（文科）

—V熹

一、選界■（每小JB5分，共40分）

1.（5分）苔集合A/x-5<x<2l.B?lx|-5<x<3）,則ACB=（）

A.lx-3<x<2|B.（x-5<x<2|C.（x!-3<x<3}D.{x-5<x<3}

【考點】IE:交集及其運算.

【專即】5J：集合-

【分析】直搔利用集合的交集的運算法則求解即可.

【解冷】斛：臾合A='-S<x<2),B=fxl-3<x<3l.

Ri]AfiB='x-3<x<2).

故選：A.

【點計】本M考杳集合的交集的運算法剜，考杳計翼能力.

2.15分)圓心為(1.1)且過原點的圖的標準方程是<)

A.(x-1)J*<y-1)2?1B.<x>l)(y*l)2?1

C.(x-l>><y*l>?=2D.<x-1)2+(y-i)2=2

【考點】J1:圜的標1方程.

【專.題】11，計算題：SB：直線與圓.

【分析】利用兩點間距離公式求出半徑?由此能求出國的方程.

【解答】解：由題感知I5S半徑

IW的方程為(x-1)2*(V-1)^2.

故選：D.

【點計】本尊考吉網的方程的求法，冊題時要認真審題，注意M的方程的求法.

是基礎題.

3.(5分》下列語數中為隅函數的是(

A.v=x3sinxB.v=?3cosxC.y=InxD.y=2"

【號心】3K：函數奇J性的性就與判斷.

【專題】51:函數的性項及應用.

【分析】首先從定義城上掙除選項C.然后在其他選項中判斷-x與x的Pfl效值

關系，相等的城是偶函數.

【解答】解；對于A,(7)25小《-X)=-x^lnx；是奇函數；

對1于B.(-x)^os(-x)=x2coix：是偶函.數：

對于C,定義域為(0.+8),是非奇非定的域為:

對于D,定義域為R,但是2-=2,工2\2**-2?；是非奇非偶的函效：

故選：B.

【點注】本題考自了函數奇料性的判斷：苜先判斷定M域是否關于原點對稱：如

果不對稱，函數是非奇非偶的函數：如果對稱.再判斷f{-x＞與f(x)Xi

系*相等是偶的數.相反是奇函數.

4.(5分)某校老年、中年和青年故如的人政見如表,采用分層插樣的方法調建

教師的身體狀況，在抽取的樣本中，療年教師有320人.胴讀樣本的老年教

師人數為(?

類別人數

老年軟，巾900

中年教帥1800

青年教的1600

合計4300

A.90B.100C.180D.300

【考點】83：分層抽樣方法.

【專題】11：計算題：51：概率與統計.

【分H】山歌第.老年和*i求帥的人數比為900：1600力：16.即可得出結論.

【解答】解，由超超,老年和青年教牌的人數比為900：1600-9：16?

因為百年教帥有320人，所以老年教師有180人，

故選?C.

【點評】本題薦查分層抽樣，考盒學生的計算能力,比收基礎.

5.（5分）執行如圖所示的程序框圖，輸出的k值為（》

【考點】EF：程序樞圖.

【專題】27：r表型:5K：算法和程序框圖.

【分析】模擬執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的a.k的值.當

足條件a〈L,退出循環,輸出k的值為4.

4

【tmM：模擬執行程序根圖,可得

13

-j

不滿足條件av44

13

不漏足條件av4j

8

1

-

不滿足條件aV4.39

16

滿足條件.退出街環.?出k的值為4.

4

故選：B.

【點評】本題主1考查了循環牯構的程存樞圖.18于基砒題.

6.(5分)設;.E是非零向量，W?認aE"是。。E"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.跣不充分也不必要條件

【號點】29：充分條件、必要條件,充要條件；90：平面向M數圾枳的性版及

其運律.

【專題】5A：平面向玨及應用：5L：諭身邏輯.

【分析】山W?法GllEl便可得到；，5夾用為o,從而得到W〃了,而；〃E并不

能得到；夾用為0.從而得不到ZR二G||E|.這樣根柢充分條件、必要條件

的概念叩可找出正確選項.

【解答】解：<l)；.b=|；||blcoS<；,b>：

.?.a-b=|a||b|lM.cos<a,芯>”;

<a.b>=08

Aa^b：

.,--I-b=|alib|*是嗎〃匕的充分條件：

<2)a/7bHf.；.p4夾角為0或n；

.*.a*b=|a||b|.或-|a||b|：

即a〃b汨不到a"b=|a11b|：

.'.*a-b=|a||b/不是。〃E*的必要條件；

，總上可得W?E=GI后卜是G〃后的充分不必要條件.

故選：A.

[Ai1]號杳充分條件，必要條件，及充分不必要條件的概念,以及判斷方法。

過用，粒品積的計算公式,向比共線的定義，向量夾角的定義.

7.15分)某叫核錐的三視圖如圖所不.謨叫梭推品K梭的校長為()

俯視圖

B.V2C.V3D.2

【號點】U：由三視圖求面積、體枳.

【專題】26：開放型；5F：空間位置大系可距離.

【分析】幾何體是四段雉，且四棱錐的一條斜棱與底面垂直,結合直觀圖求相關

幾何量的數據，可得答案

【研答】酎，由三祝圖知，幾何體是四校惟.11W棱錐的一條卿棱,j底曲垂直.

底的為正萬形如圖：

其中PB±平面ABCD,底面ABCO為正方形

.,.PB=1.AB=1.AD=1.

：.BDR1，PD=V2+1=V3.

PC-PA=^

該幾何體眼長梭的梭長為：V3

故選：c.

【點評】本煙號宣了由三視圖求幾何體的威氏校長問麴,根據二視圖判斷幾何體

的結構特征是解答本越的關捶

8.（S分）某輛汽車每次加油都把油粕加滿，下衣記錄/詼下相鄰兩次加油時的

情況

加油時間加油員（升）加油時的累計里程（千米）

201S年5月1日123SOOO

201S年5月年日4835600

注，"累計里程"指汽車從出廠開始累計行駛的路程,在這段時間內.行車每100

千米平均耗油量為（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

【考點】3U:?次函數的性質與次故.

［專題】51:圉數的性就及應用，

【分析】由表格信息，得到該車加廣48升的汽油.富廠600T?米，由此得刊讀

車每100r米平均耗油量.

【解捽】解：由表格信息,得到該軍加廣48升的汽油.跑「600千米,所以該

卒句:100F米平均耗油用48+6=8：

故選：B.

【點評】本心考一查了學生對表格的理薪以及對數據信息的處理能力.

二、填空■

9.（5分）電數i（1+D的實就為-1.

【毋點】Al:虛數單位I、復數.

5N：4系的擴充和復數.

【分析】再按利用發數的乘法運辟法則，求髀即可.

【解答】解；發數I（1-0=11.

所求女數的實部為：-L

故若案為：-1.

【點注】本題考查史數的基本運;L且數的基本概念，考查計。能為.

_L

10.（5分）2.3,3?,106:5三個數中'大數的出k>&5.

【號點】72:不等式比較大小.

【專題】51.函數的性魴及應用.

【分析】運用指數函數和對數或數的的調性，可得0<23Vl.i<^<2,k>g?5

>10^4=2,即可符判成大數.

1_

3

【解答】解：由于0V2<1,1<3'2<2.

Iog25>k）gj4=2.

則三個數中最大的數為log?5.

故答案為：1。&5.

【點泮】本題考行數的大小比較，主嬰若^指致函數和對效函數的單調性的運用.

喝丁基礎的.

11.（5分）在AABC中.a=3.b=>/6-則/B=二一.

［奴.，］HP：正弦定理.

【專題】S8：解：用形.

【分析】由正弦定理可得sinB,再由三角形的邊角關系，即可得到角B.

【解答】解：由正弦定理可得，

a.b.

sinAsinB

即有sinB」'sinA_

a32

由bVa,則BVA,

可得B』.

4

故答案為：21.

4

【點評】本題芍佟正弦定理的運用，同時芍杳三俗形的邊加關系，屬于垢礎

12.（5分）?知（2.0）是雙曲線(b>0)的個焦點,BiJb=_V3_.

［號點】KC:雙曲線的性旗.

【專題】5D：M供曲線的定義、性偵與方程.

^=1(b>0l的焦點為(VTiV-o)-

【分析】求得雙曲線X*

可得b的方程，即可得到b的（ft.

【*￥答】解：雙曲線X?-jl<b>0>的焦點為《行不?0》，<0>*

由四總可得小前門?

解得b=V3.

故答案為：V3.

【點N】本題考自雙曲戰的方程和性質.I：要考傳雙曲線的焦點的求法.居于某

礎題.

13.（5分）如圖，/XABC及其內部的點組成的集合記為D,P<x,y）為。中任

&-點，則z=2x，3丫的母大值為」?

【耳點】7C：簡單找性規劃.

【專題】26；開放型；59：不等式的解法及應用.

【分析】利用我性規劃的知識.幽過平移即可求z的最大值.

【髀約】解：由z-2x+3v，得丫，-^-*玲，

平移日線y=4x+，由圖象可知當亙絞尸A經過點A時,直線T噓

JJJJ

的被踉最大，此時z最大.

?PA<2，1）.

此時Z的最大值為Z=2X2+3X1=7,

故答案為：7.

【點評】本題《嬰當魚線性規劃的應用，利用致形結合是解決線性規劃題目的常

用方法.

14.（5分）高三年級267位學生參加期末考試,某班37位學生的語支成練數

學成績與總成績在全年級的推幺情況如圖所示.甲、乙、丙為該班三位學生.

從這次考凌成績看，

①在甲、乙兩人中，其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是―一：

⑵在）?t文和數學兩個科n中,因同學的成績名次更顯前的科n是.數學

267

娶

次

0總成演年《名次267

【專點】B6：變盤間的相關關系.

【專題】51.概率與線計.

【分析】（1）根據散點圖1分析甲乙兩人所在的位巴的圾坐標確定總成績W次:

（2）根據散點圖2,觀祭內的對應的坐標，如果橫坐標大于縱坐標.說明總成

績名次大于數學成績名次,反之小T.

【解答】解:由高三年級267位學生參加刪末考試，某班37位學生的語文成績,

教學成績與總成績在全年級的搏名情況的散點圖可知，兩個圖中.同?個人

的總成績是不公交的.從第二個圖看.丙是從右往左數第5個點，即丙的總

成績在班里倒數第5.在左邊的圖中，找到倒數第5個點,它我示的就是丙.

發現這個點的位芭比右邊圖中丙的位置高.所以語文名次更"大"

①在甲、乙兩人中，其唐文成績名次比其總成績名次靠前的學生是乙；

②觀察酸點圖，作出對角線V=x,發現丙的用標橫中標大于縱里標，說明數學成

績的名次小于總成績名次,所以在譜文和數學兩個科H中.內同學的成績名

次更靠前的科H是數學：

故答案為：乙：數學.

【點評】本題考查了對做點圖的認識：屈于基地題.

三、解答JK（共80分）

15.（13分）已知函數f（X）=sinx-2Msin?L

2

（1）求f（x）的遺小正周期:

（2）求f（x）在區間10.衛口上的最小值.

3

【號點】GP：兩M和與差的二角函數：H1：三角函數的用朋件；HW：三角函數

的破值.

【專題】57,三地函數的圖像。性質.

【分析】《1》由三角函數恒等變換化簡函數端折式可甭f"）=2sin（吟》?

由三角函數的冏硼性及孜求法即可得解；

（2）山x€0,空]?可求范國K+二w[2±.汨，即叫求得f（x）的取值范圍.

333

即呼得解.

【解答】解：⑴'.'f（x）=sinx-2\，信所節

7nx-2日上3.

2

=sinx-V3cosx-V3

?2sin（x*—>-V3

3

：.f（x>的最小正周用T等《2n：

（2）VxG[O,"]?

3

.,.sift（x+q）Gfo.1J.即有：f（x）=2sin（x+三）-V3e[-2-巡]?

33

.?.可解得f（X）在區間[0.2二]上的呆小值為：

【.511】本題主嬖考告（一:用曲數恒等變換的應用,三角函數的周期性及其求法.

三用函數的地值的應用，屬于基本知識的考查.

16.（13分）已知等差數列（aj滿足力，”=10.a<-33=2

（1）求laN的通項公式：

（2）設等比數列｛小｝滿足b產a-b,=aT.問:&與數列｛癡，的第幾項相等？

【考點】83:等差數列的性隨.

【專題】11:計算禺54：等差數列與等比數列.

【分析】⑴由a=as=2?可求公牽d.」后由ai+ago,可求a」,」合等差融

列的通項公式可求

(II)由b?=aE,b,=aT=16.可求等比數列的首地及公比，代人等比數列的通項

公式可求b6,結合(I)可求

【W答］解：(|>諛等荃數列4的公空為d.

a?-a??2.所以d?2

Vai*32=10.所以2ai，d=10

.*.31-4.

.'.an=4+2(n-1)?2n+2(n=l,2,...)

<11)設等比數列｛b“：的公比為q.

Vb2=aj=8.bj=a?=16.

bi<p8

,［電口2=16

.'.q=2.bi=4

6-

b6=4X21=128,而I28=2n+2

.,.n=63

???b6與數列la力中的第63項相等

【點討】本超主要號杳/等基數列與等比數列通項公式的簡單應用，隨于對基本

公式應用的考杳，試睡比較容易.

17.(13分)某超市附機送取1000位顧客.記錄了他們購買甲、乙、丙、「四

種商品的情況,整理成如卜統計衣，其中▼友示購買?"X"我示未購買.

1丙

甲乙T

100VXVV

217XVXV

200V7VX

300VXVX

85VXXX

98XVXX

（1）估計糠客同時購買乙和內的概率i

（2）估計瞳客在甲、乙、丙、丁中同時購買3牌商品的概率;

（3）如果顧客購買了甲.叫該顧客冏時購買乙、內.「中那種商品的可說性或

大？

［考點］C8:4互獨立事件和相互獨立事件的悔奉乘法公式,

【專區】SI：概率與1計.

【分析】（D從銃計1可得,在這WOO名顧客中.同時也買乙和內的有200人.

從而求得顧客同時的買乙和丙的概率.

<2）根據在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的有300人，求將顧客顧客在

甲、乙、丙、丁中同時四買3種商品的概率.

（3）在這1000名顧客中，求出同時購買甲和乙的低率、附時的買甲和丙的悔率,

同時購買甲和「的慨率,從而得出結論.

【解答】解：（1）從統計衣可行?在這1000名顧客中?同時購買乙和丙的有200

人，

故顧客同時購買乙和內的概率為團”0.2.

1000

?2）在這1000名頤客中,在甲、乙、丙、丁中同時購買3種超品的100-200=300

（人）,

故帔客幀客在甲、乙、內、丁中同時購買3種箭品的概率為鏢?03

1000

（3）在這1000名拽客中，同時購買甲和乙的慨率為黑=02

1000

同時購買甲和內的概率為100+200+30.06.

1000

同時購買甲和「的概率為黑=0.1,

1000

故同時購買甲和丙的概率最大.

【點評】本即主要考鏗大典概率、互斥事件的概率加法公式的應用.屆于推礎肽.

18.（14分）如圖，在」.校鍵V-ABC中，平面VABL平面ABC.AVAB為等邊

三用形，AC_BC11AC=BC=F，O.M分別為AB.VA的中點.

（1）求證：VB〃平面MOC：

（2）求證：平面MOC_L平面VAB

，3）求.極推V?ABC的體積.

【考點】LF：橫柱、棱推、4臺的體枳:LS：直踐與平面平行：國：平面與平面

垂直.

【專題】15:嫁合題：5F：空間位置關系與距離.

【分析】⑴利用三角形的中位線得出。M〃VB.利用線而平行的判定定理證明

VB〃平面MOC;

（2）證明:OC1T向VAB.即nJ,證明中血MOC_LT血VAB

（3）利用等體枳法來.梭佛V?ABC的體枳.

【解答】（1）iEM：VO.M分別為AB,VA的中點，

OMAVB.

?.,VB/C平面MOC.OMcTlfilMOC.

，VB〃平面MOC；

（2）VAC=BC.。為AB的中點.

AOCIAB.

；平面VABJ_T?ABC.OCc平面ABC.

，OCL平面VAB.

VOCc平面MOC，

Af[fl]MOC-YrfriVAB

（3）在等腰直角角形ACB中.AC=BC=V2.AB=2.OC=1.

?'-5VAB=6,

VOCl-'KlfiiVAB,

-'?VcVAb--i-OC*S

JJ

.'.Vv*BC=VCVAB=^-.

3

【點評】本屆考查線面平行的判定.軍杳平面與平面痣直的判定.考點體枳的計

算,正確運用線而平行、平面與平面垂直的判定定理是關鍵.

2

19.(13分)設函數f(X〉號-klnx,k>0.

(1)求f(X)的單調區間和極值；

<2)證明：若f(x)存在寫點，則f(x)在區間門，正】上儀有一個零點.

【考點】6B：利用導數研究函數的單調性?6D：利用導致研究函數的極值.

【專題】26：開放型：53：導數的標合應用.

【分析】《1》利川r(X)=0或「(X》W0求得兩數的單調區間并能求出極電;

(2)利用函數的導數的極值求出最值，利用最值討論存在零點的情況.

【解答】解：(1)由f<x)4』lnx(k>0)

<?

f(x>.x-X_2i±.

XX

由f(x)=0解汨x八日

f(x)與r<X>在區間(o.+8》上的情況如下：

X(0,Vk)Vk(Vk，+00!

f(x)-0*

f(x)1k(l-lnk)t

2

所以，f(x)的單調遞增區間為(&，Q),單調遞減區間為(0.a)；

f(x)在x=4處的極小值為f(五)4(1片),無極大值.

(2)證明：由(1)知,f(x>在區間<0.?->上的最小值為f(6>*■空迪■?

因為f(八存在零點，所以也嚴\<0,從而k》e

當k=e時，f(x)在區間(1,4)上單調遞減，且f(a)=0

所以“正是f（x）在區間（1.山）上唯一零點.

當k>?時?fix）在國間（0.5）上電調遞減.且f⑴*X）,f（^）=e±<0.

所以f（x）在