專題12解答題25題（代幾綜合題）（16區(qū)）一、解答題1．（2023·上海楊浦·二模）已知是的直徑，弦，垂足為點，點在直徑上（與、不重合），，連接并延長與交于點．(1)如圖1，當點與點重合時，求的度數(shù)；(2)連接交弦于點，如果，求的值；(3)當四邊形是梯形時，且，求的長．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）如圖，連接、、，先證四邊形是菱形，再證是等邊三角形，即可得解；（2）先證（），得，，進而證明，，則，，利用相似三角形的性質(zhì)即可得解；（3）分與兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接、、，∵，垂足為點，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；（2）解：如圖，∵，，，∴（），∴，，∴，∴，∴，∴，∵，設(shè)，則，，∴，∴；（3）解：當，如圖，連接，由（）知，，∴，在梯形中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，設(shè)x，則，∴，∴，∴；當時，如下圖，連接，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴即，∴，∵，∴，解得（舍去）或，綜上的長為或．【點睛】本題主要考查了菱形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及圓周角定理，熟練掌握菱形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）已知：的直徑，C是的中點，D是上的一個動點（不與點A、B、C重合），射線交射線于點E．(1)如圖1，當，求線段的長；(2)如圖2，當點D在上運動時，連接中是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在，請指出這個角并求其度數(shù)；如果不存在，請說明理由；(3)連接，當是以為腰的等腰三角形時，求與面積的比值．【答案】(1)，詳見解析(2)存在，，詳見解析(3)，詳見解析【分析】（1）連，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求出的長，再利用，求出的長，即可得解；（2）由C為的中點，為直徑得出的度數(shù)為，再利用圓周角定理即可得出答案；（3）分類討論,利用勾股定理和面積公式分別求出它們的面積，然后求出比值即可得出答案．【詳解】（1）連，如圖1∵∴,∵C為的中點，為直徑∴在中∴∵∴∴即∴∴∴（2）當D在上運動時，如圖2，在中，為度數(shù)不變的角，理由如下：∵C為的中點，為直徑，∴的度數(shù)∴的度數(shù)為∴所對的圓心角為，圓周角為∴（3）如圖3，當是以為腰的等腰三角形時，當時，連∵∴由(1)知∴∴∴又∵∴∴為等邊三角形∴∴∴∵D為中點∴又∵∴∴當時∴∵∴∴與C,D,E三點共線矛盾，所以此情況不存在；綜上所述：．【點睛】本題考查了三角形相似，圓周角定理，圓心角定理，勾股定理，等腰三角形等知識的綜合應(yīng)用，熟練掌握其性質(zhì)，合理作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．3．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，是半圓O的直徑，C是半圓O上一點，點與點O關(guān)于直線對稱，射線交半圓O于點D，弦AC交于點E、交于點F．(1)如圖，如果點恰好落在半圓O上，求證：；(2)如果，求的值；(3)如果，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)或．【分析】（1）如圖：連接，先根據(jù)圓的性質(zhì)和對稱的性質(zhì)說明是等邊三角形，，然后再說明即可證明結(jié)論；（2）設(shè)圓的半徑為，則，如圖：作于N；先根據(jù)對稱的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，然后解直角三角形可得、，最后代入計算即可；（3）分在半圓O內(nèi)和圓外兩種情況，分別利用面積法解答即可．【詳解】（1）解：如圖：連接，∵點恰好落在半圓O上，∴，∵點與點O關(guān)于直線對稱∴,，∴是等邊三角形，，∴，∴，∴，∴．（2）解：設(shè)圓的半徑為，則，如圖：作于N∵，∴，在中，,，∵，∴，又∵，∴，∴，在中，，由軸對稱可得：，,,，∴為等腰直角三角形∴，

∴．（3）解：當在半圓O內(nèi)時，則，由對稱性可得：，如圖：過F作于N，于M，∴∴，又∵，，即，又∵，∴；當在半圓O外時，由對稱性可得：，如圖：作于M，于N，∴，∴，又∵，，又∵，∴,即，又∵，∴．綜上，或．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形、對稱的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）在中，，點P在線段上，，交于點D，過點B作，垂足為E，交的延長線于點F．(1)如果，①如圖1當點P與點C重合時，求證：；②如圖，當點在線段上，且不與點、點重合時，問：①中的“”仍成立嗎?請說明你的理由；(2)如果，如圖11，已知(n為常數(shù))，當點P在線段上，且不與點B、點C重合時，請?zhí)骄康闹?用含n的式子表示)，并寫出你的探究過程．【答案】(1)①證明見解析；②成立，證明見解析(2)，過程見解析【分析】（1）①由等角對等邊可得，證明，則，證明，則，進而可證；②如圖1，過作交于，交于，則，同理①可證，，則，同理①可證，，則，；（2）如圖2，過作交于，交于，同理（1）可證：，則，證明，則，證明，則，即，可知，即，進而可得．【詳解】（1）①證明：∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；②解：仍成立，理由如下：如圖1，過作交于，交于，∴，，∴，∴，∵，∴，同理①可證，，∴，同理①可證，，∴，∴；（2）解：如圖2，過作交于，交于，同理（1）可證：，∴，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴，即，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．5．（2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）如圖，已知半圓O的直徑，C是圓外一點，的平分線交半圓O于點D，且，聯(lián)結(jié)交于點E．(1)當時，求的長；(2)當時，求的值；(3)當為直角三角形時，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)的值為或．【分析】（1）作于M，連接，證明四邊形是矩形，求得，推出是等腰直角三角形，求得，再利用勾股定理即可求解；（2）同（1）作于M，連接，可得四邊形是矩形，求得，由，求得，再求得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解；（3）分兩種情況討論，當時，同（1）可得四邊形是矩形，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得的長，即可求解；當時，求得，即可求解．【詳解】（1）解：作于M，連接，∵，∴，∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）解：作于M，連接，同理四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：作于M，連接，同理四邊形是矩形，∴，當時，∵，，∴，又，∴，∴，即，解得(負值已舍)，∴，∴；當時，由垂徑定理得，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∴；綜上，的值為或．【點睛】本題考查了垂徑定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．6．（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）已知：如圖1，四邊形ABCD中，，．(1)求證：四邊形ABCD是等腰梯形；(2)邊CD的垂直平分線EF交CD于點E，交對角線AC于點P，交射線AB于點F．①當時，設(shè)AD長為x，試用x表示AC的長；②當時，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)①；②．【分析】（1）如圖，過作于，過作于，證明，再證明，從而可得答案；（2）①如圖，連接，延長交于，證明，可得，再證明四邊形為平行四邊形，，可得，，，即，可得，即，重合，再建立方程求解即可；②當時，則在線段的延長線上，如圖，延長交于，連接，證明四邊形是菱形，，設(shè)，，，則，由，可得，過作，交的延長線于，證明，，可得，，證明，可得，，再建立方程求解即可．【詳解】（1）證明；如圖，過作于，過作于，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，，不平行，∴四邊形為等腰梯形．（2）①如圖，連接，延長交于，∵是的垂直平分線，∴，∴，，∵，∴，∴，而，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，而，∴四邊形為平行四邊形，，∴，，∴，即，∴，∴，而，∴，即，重合，∴即，解得：（負根舍去）．②當時，則在線段的延長線上，如圖，延長交于，連接，∵是的垂直平分線，∴，，∵，∴，∴，∴，而，∴四邊形是平行四邊形，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，∴四邊形是菱形，，設(shè)，，，則，∵，，∴，∴，∴，∴，過作，交的延長線于，∴，∴，∵，等腰梯形，∴，∴，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，解得：，（使，不合題意舍去），∴，∴．【點睛】本題考查的是等腰梯形的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，難度大，計算量大，屬于壓軸題．7．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，．點D是邊上一動點（不與A、C重合），聯(lián)結(jié)，過點C作，分別交、于點E、F．(1)當時，求的正切值；(2)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的定義域；(3)聯(lián)結(jié)并延長，與邊的延長線相交于點G，若與相似，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等分析可得，然后根據(jù)正切的概念求解；（2）過點F作，，然后結(jié)合角的正切值及三角形的面積比分析求解；（3）分情況討論，通過證明和利用點四點共圓以及相似三角形的性質(zhì)分析求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴；（2）過點F作，，∵，，∴，∴，∴，設(shè)的邊上的高為，則的邊上的高為，∴，又∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，即；（3）如圖：①當時，,又∵，∴，∴，∴點四點共圓，且為直徑，又∵，∴，，在中，，∴，即．②當時，，又∵，∴，過點F作，∴，∵，，∴，∴，解得（負值舍去），∴，綜上，的值為或．【點睛】本題考查余角的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)，理解正切的概念，掌握相似三角形的性質(zhì)，準確添加輔助線是解題關(guān)鍵．8．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，以為邊作（點D、A在直線的異側(cè)），且滿足，．(1)求證：；(2)設(shè)點E為邊的中點，連結(jié)并延長交邊于點F，當為直角三角形時，求邊的長；(3)設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域．【答案】(1)見詳解(2)或(3)，【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可進行求解；（2）由題意可分：①當時，②當時，然后分別畫出圖形，進而根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)可進行求解；（3）過點D作于點M，交于點N，過點N作于點Q，由題意易得，則有，，然后可得，，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)可進行求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由題意可分：①當時，∵點E為邊的中點，且，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，在上取一點G，使得，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②當時，過點C作于點H，∴，，由（1）可知，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵點E為邊的中點，∴，∴，∵，∴;綜上所述：當為直角三角形時，或；（3）解：過點D作于點M，交于點N，過點N作于點Q，如圖所示：由（1）可知，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∵，，∴，，∴，，∴，∴，，∵，由（1）知，∴，∴是等腰直角三角形，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∵，∴，∴，∵是斜邊，∴，即．【點睛】本題主要考查函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，，E是邊上一點，過點E作，垂足為點H，點G在邊上，且，連接，分別交于點M、N．(1)已知，①當時，求的面積；②以點H為圓心，為半徑作圓H，以點C為圓心，半徑為1作圓C，圓H與圓C有且僅有一個公共點，求的值；(2)延長交邊于點P，當設(shè)，請用含x的代數(shù)式表示的值．【答案】(1)①；②或(2)【分析】（1）①聯(lián)結(jié)交于點O，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再由銳角三角函數(shù)可得的長，再由，可得，即可求解；②先證明四邊形是平行四邊形，可得，從而得到，進而得到，繼而得到，再由，可得，再由，可得，，在中，根據(jù)勾股定理可得然后分兩種情況：當兩圓外切時，當兩圓內(nèi)切時，即可求解；（2）先證明．．取中點Q，聯(lián)結(jié)，再證明，可得，即可求解．【詳解】（1）解：①聯(lián)結(jié)交于點O，∵四邊形是菱形，∴．在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，即∴．∴；②在菱形中，，，即，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴．又∵，∴，∴．又∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，∴，∴，在中，．當兩圓外切時，8，解得；當兩圓內(nèi)切時，，解得；綜上所述，長是或；（2）解：∵，，∴．∴．取中點Q，聯(lián)結(jié)，由（1）得：，，∴，∴，∴，又∵，∴．∴．【點睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）如圖，扇形的半徑為，圓心角，點是上的動點（點不與點、重合），點、分別在半徑、上，四邊形為矩形，點在線段上，且．(1)求證：；(2)如圖，以為頂點、為一邊，作，射線交射線于點，聯(lián)結(jié)，

①當時，求與的面積之比；②把沿直線翻折后記作，當時，求的正切值．【答案】(1)見解