第九編解析幾何

§9.1直線的傾斜角與斜率

?—自主學習—

基礎自測

U筏直線I與X軸的交點是P,且傾斜角為a,若將此直線繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線的傾斜角

為a+45°,則a的范圍為.

答案0。<?<135°

2.（2008?全國I文）曲線y=Y-2x+4在點（1,3）處的切線的傾斜角為.

答案45°

3.過點M（-2,m）,N（m,4）的直線的斜率等于1,則m的值為.

答案1

4.已知直線I的傾斜角為a,且0°Wa<135°,則直線I的斜率取值范圍是.

答案（-8,-1）U[0,+8）

5.若直線I經(jīng)過點（a-2,T）和（-a-2,1）且與經(jīng)過點（-2,1）,斜率為-士的直線垂直，則實數(shù)a的值為.

3-----

答案卷

3

----典例剖析----------

例1若ae-,-L則直線2xcosa+3y+l=0的傾斜角的取值范圍是.

2

例2（14分）已知直線l,:ax+2y+6=0和直線l2:x+（a-l）y+a-l=0,

（1）試判斷L與L是否平行；

⑵1山2時,求a的值.

解（1）方法一當a=l時，l1；x+2y+6=0,

L:x=0,Il不平行于12;

當a=0時，li：y=-3,

L:x-yT=0,L不平行于12；2

分

當aWl且a#0時，兩直線可化為

li：y=--x-3,l2:y=-^—A:-（a+1）,

2l-?

li/712<=>I2\-a.解得a=T,

一3工一(。+1)

5分

綜上可知，a=-l時，L〃L,否則li與L不平行.6

分

方法二由AB「AB=O,得a(a-l)-1X2=0,

由ACCiWO,得aG-l)-1X6W0,2

分

fa(a-l)-lx2=0

4

[a(￡72-l)-lx6^0

分

1Q2-^-2=0

Q9=a=T,5

[a(〃2-1)工6

分

故當a二T時，11〃L,否則I1與I2不平行.6

分

(2)方法一當a=l時，h:x+2y+6=0,l2：x=0,

I1與12不垂直，故a=l不成立.8

分

當aWl時，Ii：y=~—x-3,

2

14分

方法二由A,A2+B1B2=O,

7

得a+2(a-l)=0=>a=—.

3

14分

例3已知實數(shù)x,y滿足y=x?-2x+2(TWxWl).

試求：山的最大值與最小值.

x+2

解由山的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點P

x+2

點(x,y)的直線的斜率k,

如圖可知：kpA^kWkpB,

由已知可得：A(1,1),B(-1,5),

4

???一WkW8,

3

故祟的最大值為8,最小值為:

8?一知能遷移

1.直線xcosa+73y+2=0的傾斜角的取值范圍是.

答案k-iuf—

-6」L6)

2.已知兩條直線li：(3+m)x+4y=5-3m,l2：2x+(5+m)y=8.當m分別為何值時，h與

(1)相交？(2)平行？(3)垂直？

解m=-5時，顯然，L與L相交；

當mW-5時:易得兩直線L和L的斜率分別為

3+/77

k.=-

4

它們在y軸上的截距分別為樂子,它捻■

(1)由kHkz,得,

45+m

mW-7且m#T.

???當mW—7且mW—1時，L與12相交.

3+m_2

(2)由得4.5+,n,m=-7.

pl工比，5-3m8

45+m

**?當m=-7時，11與12平行.

(3)由kgl,

17

???當m二-■時，11與I?垂直.

3

3.若實數(shù)X,y滿足等式(x-2)°+/=3,那么上的最大值為.

X

答案后

活頁作業(yè)一

一、填空題

1.直線xcos6+y-l=0(<96R)的傾斜角的范圍是.

答案o,fU:7，乃］

L4」［4)

2.(2009?姜堰中學高三綜合練習)設直線ll：x-2y+2=0的傾斜角為a,,直線l2:tnx-y+4=0的傾斜角為a2，且

a2=g+90°,則m的值為.

答案-2

3.已知直線I經(jīng)過A(2,1),B(1,m2)(mGR)兩點，那么直線I的傾斜角的取值范圍是.

答案0,?[介)

4.已知直線h：y=2x+3,直線Iz與h關于直線y=x對稱，直線LUz,則I?的斜率為.

答案-2

5.若直線I沿x軸負方向平移3個單位，再沿y軸正方向平移1個單位后，又回到原來位置，那么直線I的

斜率是.

答案4

6.(2008?浙江理，11)已知a>0,若平面內(nèi)三點A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共線，則a=.

答案1+V2

7.已知點A(-2,4)、B(4,2),直線I過點P(0,-2)與線段AB相交，則直線I的斜率k的取值范圍是.

答案(-8,-3]U[1,+8)

8.已知兩點A(-1,-5),B(3,-2),若直線I的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，則I的斜率是.

答案1

二、解答題

9.已知線段PQ兩端點的坐標分別為(-1,1)、(2,2),若直線I：x+my+nFO與線段PQ有交點，求m的取值

范圍.

解方法一直線x+my+m=0恒過A(0,-1)點.

則———或——W~2,

m2m

21

--WmW—fl.mWO.

32

XVm-0時直線x+myE=0與線段PQ有交點,

/.所求m的取值范圍是--WmW

32

方法二過P、Q兩點的直線方程為

2-114

y-l=---(x+1),即y=—x+—,

2+133

代入x+my+m=O,

整理，得x=-N.

/n+3

由已知-1W-3LW2,

機+3

解得

32

10.已知直線11:x+my+6=0,L:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得:

(1)h與1相交;(2)h_Llz；(3)h〃l2；(4)h,卜重合.

解(D由已知lX3Wm(m-2),

即m2-2m-3^0,

解得mWT且mW3.

故當mX-1且mN3時，L與k相交.

(2)當1?(m-2)+m?3=0,即11)=,時，l,1l2.

2

(3)當一!一=絲片上，即m=T時，I.//L.

m-232m

即m=3時，11與I2重合.

11.己知A（0,3）、B（-1,0）、C（3,0）,求D點的坐標，使四邊形ABCD為直角梯形（A、B、C、D按逆時

針方向排列）.

解設所求點D的坐標為（x,y）,如圖所示，由于lw=3,kec=0,

**?k>B?kec=0#-1,

即AB與BC不垂直，故AB、BC都不可作為直角梯形的宜角邊.

①若CD是直角梯形的直角邊，則BC_LCD,AD1CD,

???kscX）,???CD的斜率不存在，從而有x=3.

又kAD二ko；,--=0,即y=3.

x

此時AB與CD不平行.

故所求點D的坐標為（3,3）.

②若AD是直角梯形的直角邊，

則AD_LAB,AD±CD,

xx-3

由于ADJ_AB,)三?3=-1.

X

又AB〃CD,/.-^―=3.

x-3

18

x=一

解上述兩式可得5

9

yS'

此時AD與BC不平行.

故所求點D的坐標為

綜上可知，使ABCD為直角梯形的點D的坐標可以為（3,3）或

12.已知兩點A(-1,2),B(m,3).

（1）求直線AB的方程;

⑵已知實數(shù)me_與一/一，求直線AB的傾斜角a的取值范圍

解（1）當時，直線AB的方程為x=T,

當mK-1時，直線AB的方程為y-2=」一(x+1).

m+\

(2)①當m=T時，a-^-\

2

②當mWT時、m+1￡-半,o)u(o同

/.k=—!—￡(-8,-6]U-^-,+<x>,

m+\3

綜合①②知'直線AB的傾斜角滉不，胃

§9.2直線的方程、直線的交點坐標與距離公式

――自主學習―—

Q基礎自測

1.下列四個命題中真命題的序號是.

①經(jīng)過定點P°(xo,y?)的直線都可以用方程y-y產(chǎn)k(x-x?)表示

②經(jīng)過任意兩個不同點Pi(xi,yj,Pz(x2,y?)的直線都可以用方程(y-y)(X2-x)=(x-x】)(y「y】)表示

③不經(jīng)過原點的直線都可以用方程土+2=1表示

ab

④經(jīng)過定點A(0,b)的直線都可以用方程y=kx+b表示

答案②

2.A,B是x軸上兩點，點P的橫坐標為2,且|PAhPB|,若直線PA的方程為x-y+l=0,則直線PB的方程

為.

答案x+y-5=0

3.(2008?全國II文)原點到直線x+2y-5=0的距離為.

答案后

4.過點P(-1,2)且方向向量為a=(-1,2)的直線方程為.

答案2x+y=0

5.?條直線經(jīng)過點A(-2,2),并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1,則此直線的方程為.

答案x+2y-2=0或2x+y+2=0

----8?—典例剖析――----

例1求適合下列條件的直線方程：

(1)經(jīng)過點P(3,2),且在兩坐標軸上的截距相等；

(2)經(jīng)過點A(-1,-3),傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.

解(1)方法一設直線I在x,y軸上的截距均為a,

若a=0,即I過點(0,0)和(3,2),

I的方程為y=；x,即2x-3y=0.

若aWO,則設I的方程為土+2=1,

ah

32

VI過點(3,2),/.-+-=1,

???a=5,工I的方程為x萬-5=0,

綜上可知，直線I的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.

方法二由題意知，所求宜線的斜率k存在且kWO,

設直線方程為y-2=k(x-3),

2

令y=0,得x=3--,令x=0,得y=2-3k,

k

21

由己知3-4二2-3k,解得卜=-1或卜=上,

k3

工直線I的方程為：

2

y-2=-(x-3)或y-2二三(x-3),

3

即x+y-5=0或2x-3y=0.

(2)由已知：設直線y=3x的傾斜角為a,

則所求直線的傾斜角為2a.

1-tan2a4

又直線經(jīng)過點A(-1,-3),

因此所求直線方程為y+3=--(x+1),

4

即3x+4y+15=0.

例2過點P(2,1)的直線I交x軸、y軸正半軸于A、B兩點，求使：

y

(1)Z^AOB面積最小時I的方程；\B

(2)|PA|?|PB|最小時I的方程.

解方法一設直線的方程為二+2=1(a>2,b>l),°

ab

71

由已知可得已+上=1.

ab

i'2r?i

(1)V2^-+-=1,.?.ab28.

Ntabab

??S/AAOB二一ab24.

2

當且僅當2二L=,，即a=4,b=2時，S/.A08取最小值4,此時直線I的方程為三+2=1,即x+2y-4=0.

ab242

7I

(2)由￡+，=l,得ab-a-2b=0,

ab

變形得(a-2)(b-1)=2,

|PA?PB

=J(2_a)2+(1-0)2-J(2-0)2+(l-[)2

=7[(2-a)2+l].[(l-*)2+4]

當且僅當a-2=l,b-l=2,

即a=3,b=3時，PA?IPBI取最小值4.

此時直線I的方程為x+y-3=0.

方法二設直線I的方程為yT=k(x-2)(k<0),

則I與x軸、y軸正半軸分別交于

、B(0,l-2k).

(1)SAW?=Q(2—彳］(12k)

=；X4+(-4氏)+(―i)

>—(4+4)=4.

2

當且僅當-4k=-，，即k=-,時取最小值，此時直線I的方程為y-l=--(x-2),即x+2y-4=0.

k22

(2)|PA?|PB=^(j-)2+lg4k2

=9+4〃+82

當且僅當今=4k；即k=-l時取得最小值，此時直線I的方程為y-l=-(x-2),即x+y-3=0.

例3(14分)已知直線I過點P(3,1)且被兩平行線l,:x+y+l=0,l2:x+y+6=0截得的線段長為5,求直線

I的方程.

解方法一若直線I的斜率不存在，

則直線I的方程為x=3,此時與L,I,的交點分別是

A(3,-4),B(3,-9),

截得的線段長AB|=|-4+9|=5,符合題意.4分

若直線I的斜率存在時，

則設直線I的方程為y=k(x-3)+l,

分別與直線h,L的方程聯(lián)立，

由

[x+y+1=0

解得A(改二2,上竺].8分

(k+1k+1)

由匕方3)+1,解得B怦彳，皆)，

由兩點間的距離公式，得

(3k-2f1-4*1-9*V”

[7丁總=25,

解得k=0,即所求直線方程為y=l.12分

綜上可知，直線I的方程為x=3或y=l.14分

方法二設直線I與IbL分別相交于A(x“y),B(X2,yj,

+

則xi+yi+1-0,x2+y26=0,

兩式相減，得(x「X2)+(y「y2)=5①6分

又區(qū)-乂2尸+刖》)2=25②

聯(lián)立①②可得或

12分

⑶-丫2=0⑶->2=5

由上可知，直線I的傾斜角分別為0°和90°,

故所求的直線方程為x=3或y=L14分

例4求直線l,:y=2x+3關于直線I:y=x+l對稱的直線L的方程.

知直線h與I的交點坐標為(-2,-1),

二設直線k的方程為y+l=k(x+2),

即kx-y+2k-l=0.

在直線I上任取一點(1,2),

由題設知點(1,2)到直線I,、L的距離相等,

由點到直線的距離公式得

|*-2+2*-1|_|2-2+3]

J[2+*2^22+(-1)2

解得k=L(k=2舍去)，

2

二直線12的方程為x-2y=o.

方法二設所求直線上一點P(x,y),

則在直線h上必存在一點Pi(xo,yo)與點P關于直線I對稱.

由題設：直線PPi與直線I垂直，且線段PPi的中點

P(寧，號)在直線I上.

2ozZ_i

.x°~xel=，變形得[與=>-[

y+y0x+x0?1[yo=x+\

.2-2

代入直線li：y=2x+3,得x+l=2X(y-1)+3,

整理得x-2y=0.

所以所求直線方程為x-2y=0.

知能遷移一一?

1.(1)求經(jīng)過點A(-5,2)且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程；

a

(2)過點A(8,6)引三條直線h,h,1?它們的傾斜角之比為1：2：4,若直線L的方程是y=±x,求直

4

線I,,心的方程.

解(D①當直線I在x、y軸上的截距都為零時，

設所求的直線方程為y=kx,

將(-5,2)代入y=kx中,

得k=-2,此時，直線方程為y=-2x,

55

即2x+5y=0.

②當橫截距、縱截距都不是零時,

設所求直線方程為二+2=1,

2aa

將(-5,2)代入所設方程，

解得a二—-,

2

此時，直線方程為x+2y+l=0.

綜上所述，所求直線方程為x+2y+l=0或2x+5y=0.

(2)設直線k的傾斜角為a,則tana二士.

1-cosa

于是嗚=—二一

sina33

5

2tana

tan2a-

1-tan-a

所以所求直線L的方程為y-6=1(x-8),

24

即乂-3丫+10=0,13的方程為y~6=—(x-8),

即24x-7yT50=0.

2.直線I經(jīng)過點P(3,2)且與x,y軸的正半軸分別交于A、B兩點，^OAB的面積為⑵求直線I的方程.

解方法一設直線I的方程為4+上=1(a>0,b>0),

ab

AA(a,0),B(0,b),

ab=24,

a=6,

32解得

—F—=1.b=4.

ab

.,?所求的直線方程為二+2=1,

64

即2x+3y-12=0.

方法二設直線I的方程為y-2=k(x-3),

令y=0,得直線I在x軸上的截距a=3-1,

令x=0,得直線I在y軸上的截距b=2-3k.

二(2-3k)=24.解得k=-1.

...所求直線方程為y-2=--(x-3).

3

即2x+3yT2=0.

3.已知三條直線h：2x-y+a=0(a>0)，直線lz：4x-2y-l=0和直線L：x+yT=O,且L與L的距離是5石.

(1)求a的值：

(2)能否找到點P,使得P點同時滿足下列三個條件：

①P是第一象限的點;②P點到L的距離是P點到L的距離的,；③P點到L的距離與P點到I,的距離之

2

比是收：石.若能，求P點坐標;若不能，說明理由.

解⑴卜即為2一千。，

.?.L與%的距離d=

Va>0,.,.a=3.

(2)假設存在這樣的P點.

設點P(x“y°),若P點滿足條件②，則P點在與h、％平行的直線I，：2x-y+C=0±,

|l|

且1￡歹=11~c理+，即c=坦或C=衛(wèi)，

萬2百26

/.2x-yo+—=0或2x-y))+—=0；

o260

若p點滿足條件③，由點到直線的距離公式色二普a=*x此"?，

y/5V5V2

即12x「y0+31—'Xo+yo_1j,

/.x()-2yo+4=0或3xo+2=0；

由于P點在第?象限，???3&+2:0不滿足題意.

聯(lián)立方程3。7。+畀。，

xo-2)，o+4=O

工0=-3,

解得|（舍去）.

）°=2,

由卜。7。+*0,解得卜=3

37

xo-2y（）+4=O,）'0=t7

1o

?,?假設成立，p\,總即為同時滿足三個條件的點.

4.光線沿直線l「x-2y+5=0射入，遇直線l:3x-2y+7=0后反射，求反射光線所在的直線方程.

x-2y+5=0,

解方法一由

3x-2y+7=0.y'

x=-l.

得

y=2.

，反射點M的坐標為(-1,2).

又取直線x-2y+5=0上一點P(-5,0),設P關于直線I的對稱點P'(xo,y°),由PP'J.|可知,kpp=」―

3x0+5

而PP'的中點Q的坐標為

Q點在I上，二3?①二^-2?也+7=0.

22

_2O__217

=Xn=------

由卜o+53得13

332

X?

~(O-5)-,0+7=0.)0T3

根據(jù)直線的兩點式方程可得I的方程為

29x~2y+33=0.

方法二設直線x-2y+5=0上任意一點P(x?,y?)關于直線I的對稱點為P'(x,y),

則也工-2,

XQ-X3

又PP'的中點。詈,甘弛)在I上,

??.3Xj-2x2121+7=0,

22

二2

-x3

由

3x"J_(y+yo)+7=0

可得P點的坐標為

-5x+12y-42⑵+5y+28

xo=--------------------，y產(chǎn)-----------

1313

代入方程x-2y+5=0中，

化簡得29x-2y+33=0,

即為所求反射光線所在的直線方程.

8?—活頁作業(yè)一

一、填空題

1.過點(1,3)作直線1,若經(jīng)過點(a,0)和(0,b),且adN*,beN*,則可作出的I的條數(shù)為.

答案2

2.已知直線I,的方向向量為a=(l,3),直線k的方向向量為b=(T,k),若直線L過點(0,5),且hJJ”則直

線I2的方程是.

答案x+3y-I5=0

3.若直線I與兩直線y=l,x-y-7=0分別交于M,N兩點，且MN的中點是P(l,-1),則直線I的斜率是.

答案4

4.直線x-2y+l=0關于直線x=l對稱的直線方程是.

答案x+2y-3=0

5.經(jīng)過點P(l,4)的直線在兩坐標軸上的截距都是正的，且截距之和最小，則直線的方程為.

答案2x+y_6=0

6.點(1,cos。)到直線xsin9+ycos6?-l=0的距離是工(0°W9W180。),那么9=

4

答案30°或150°

7.設的傾斜角為a,a「繞其上一點P沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)a角得直線I”L的縱截距為-2,I

繞P沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)/-a角得直線加x+2y-l=0,則L的方程為.

答案2x-y+8=0

8.若直線l:y=kx-l與直線x+y-l=0的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是.

答案(1,+8)

二、解答題

9.已知直線I與兩坐標軸圍成的三角形的面積為3,分別求滿足下列條件的直線I的方程：

(1)過定點A(-3,4)；(2)斜率為

6

解(1)設直線I的方程是y=k(x+3)+4,它在x軸，y軸上的截距分別是-3,3k+4,

4

由已知，得(3k+4)(-+3)二±6,

k

解得k尸-2或k?=-芻.

33

直線I的方程為2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.

(2)設直線I在v軸上的截距為b,則直線I的方程是尸，x+b,它在x軸上的截距是-6b,

6

由已知,得由6b?b|=6,/.b=±l.

???直線I的方程為x-6y+6=0或x-6y-6=0.

10.一條光線經(jīng)過P(2,3)點，射在直線l:x+y+l=0上，反射后穿過Q(1,1).

(1)求光線的入射方程；

(2)求這條光線從P到Q的長度.

解(1)設點Q'(x'，y')為Q關于直線I的對稱點且QQ'交I于M點，??飛尸-1,，必二1.

???QQ'所在直線方程為y-l=l*(x-l)

即x-y-0.

由f+y+l=O,

(x-y=0,

解得I與QQ'的交點M的坐標為

又?；M為QQ'的中點,

1+f1

-------

2-----2

由此得，

\+y'1

----=—

,22

解之得卜=一2'.?.()'(-2,-2).

，=-2

設入射線與I交點N,且P,N,Q'共線.

則P(2,3),Q'(-2,-2),得入射線方程為

=,即5x-4y+2=0.

3+22+2

(2"門是QQ'的垂直平分線，因而|NQ|=NQ'

A|PN|+|NQ|=|PN|+NQ,|=PQ||

=J(3+2/+(2+2)2=屈,

即這條光線從P到Q的長度是向.

11.已知正方形的中心為直線2x-y+2=0,x+y+l=O的交點，正方形一邊所在的直線方程為x+3y-5=0,求正方形

其他三邊的方程.

解設與直線I：x+3y-5=0平行的邊的直線方程為li:x+3y+c=0.

由12x-y+2=°得正方形的中心坐標p(_],0),

[x+y+1=0

由點P到兩直線I,L的距離相等，

得c=7或c=-5(舍去)./.11：x+3y+7=0.

乂???正方形另兩邊所在直線與I垂直，

???設另兩邊方程為3x-y+a=0,3x-y+b=0.

??,正方形中心到四條邊的距離相等，

-3+Q

五+十

.??另兩條邊所在的直線方程為3x-y+9=0,3x-y-3=0.

J.另三邊所在的直線方程為3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.

12.過點P(3,0)作?直線，使它夾在兩直線I,：2x-y-2=0與Qx+y+3=0之間的線段AB恰被點P平分，求

此直線的方程.

解方法一設點A(x,y)在11±,

由題意知，2，，點B(6-x,-y),

2x-y-2=O

解方程組

(6-x)+(-y)+3=0

，所求的直線方程為y=8(x-3),

即8x-y-24=0.

方法二設所求的直線方程為y=k(x-3),

3k-2

則心、解得廣k-2

4k

1以

1^2

3k-3

XD=-----------

由焉:言解得k+\

-6k

VP(3,0)是線段AB的中點,

y*+yB=0,即4k+—=0

k-2k+T

/.k-8k=0,解得k=0或k=8.

又二當k二。時,XA=1,XB=-3,

此時以十坳=三=3,?》=0舍去,

22

???所求的直線方程為y=8(x-3),

即8x-y-24=0.

§9.3圓的方程

----…自主學習一?*?

Ei基礎自測

1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-l=0表示圓，則a的取值范圍是.

.2

答案-2<a<-

3

2.圓好+/+2乂-4y+l=0關于直線2ax-by+2=0(a、beR)對稱，則ab的取值范圍是

答案（-8，；

3.過點A（1,-1）,B（-1,1）,且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是.

答案（x-1）2+（y-l）2=4

4.以點（2,-1）為圓心且與直線3x-4y+5=0相切的圓的方程為.

答案（x-2）>（y+1尸=9

5.直線y=ax+b通過第一、三、四象限，則圓（x+a）,（y+QJJ（r>0）的圓心位于第象限.

答案二

典例剖析—>

例1已知圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸匕直線3x+4y+4=0與圓C相切，則圓C的方程為.

22

答案x+y-4x=0

例2（14分）已知圓（+y’分-6y+m=0和直線x+2y-3=0交于P,Q兩點，且OP_LOQ（。為坐標原點）,求該圓

的圓心

坐標及半徑.

解方法一將x=3-2y,

代入方程x'+y'+x-6y+m=0,

得5y2-20y+12+m=0.

4分

設P(xi,y(),Q(X2,y。，則yi、門滿足條件：

.12+m

yi+yk4,y】y尸一--.

6分

VOP±OQ,.'.XiXo+yiy?^.8

分

而Xi=3-2yt,X2=3-2y2.

/.xiXz=9-6(yi+y2)+4yiy2.

；.m=3,此時A>0,圓心坐標為,半徑.■1.

14分

方法二如圖所示，設弦PQ中點為M,

V0.M1PQ,???％也二2.

**?OiM的方程為:y-3-2(x+萬)，

即：y=2x+4.

由方程組一+4

[x+2y-3=0

解得M的坐標為(T,2).

則以PQ為直徑的圓可設為(x+l)2+(y-2)2=r2.

6分

???OP_LOQ,...點0在以PQ為直徑的圓上.

(0+1)2+(0-2)2=r2,即/=5,MQ三產(chǎn).

在RtAO.MQ中,0O=0M/MQ：

?；+]『+(3-2)2+5=]+(-6；2-4，”

m=3.半徑為；，圓心為(―5,3).

M分

方法三設過P、Q的圓系方程為xJ+y2+x-6y+m+2(x+2y-3)=0.

由OP_LOQ知，點0(0,0)在圓上.

m_3A=0,即m=3A.

3分

二圓的方程可化為

xL+y2+x-6y+32+2x+2Ay-3A=0

BPx2+(1+2)x+y2+2(X-3)y=0.

6分

；.圓心M(-一『3”),J

分

又圓在PQh.

/.--+2(3-2)-3=0,A2=1,；.m=3.

2

12分

.?.圓心為(-對，半徑為:

14分

例3已知實數(shù)x、y滿足方程x“yJ4x+l=0.

(1)求y-x的最大值和最小值；

(2)求/+/的最大值和最小值.

解(1)y-x可看作是直線y=x+b在v軸上的截距，當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最

小值，此時？_丫q=6解得b=-2土石.

V2

所以y-x的最大值為-2+而，最小值為-2-n.

(2)/+-表示圓上的?點與原點距離的平方，由平面兒何知識知，在原點與圓心連線與圓的兩個交點處取

得最大值和最小值.

乂圓心到原點的距離為J(2-0)2+(o-o)2=2,

所以x//的最大值是(2+6)三7+4V3,

xR的最小值是(2-73)eG

知能遷移

1.(2008?山東文，11)若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x-3y=0和x軸都相切，則該圓的

標準方程是.

答案(x-2)2+(y-l)2=l

2.已知圓C：(x-1)?+(y-2)2=25及直線l:(2m+l)x+(m+l)y=7m+4(mCR).

(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線I與圓C恒相交；

(2)求直線I被圓C截得的弦長的最短長度及此時的直線方程.

(1)證明直線I可化為x+y-4+m(2x+y-7)=0,

即不論m取什么實數(shù)，它恒過兩直線x+y-4=0與2x+y-7=O的交點.

兩方程聯(lián)立，解得交點為(3,1),

又有(3-1)2+(1-2)J5V25,.,.點(3,1)在圓內(nèi)部，

二不論m為何實數(shù)，直線I與圓恒相交.

(2)解從(1)的結(jié)論和直線I過定點M(3,1)且與過此點的圓C的半徑垂直時，I被圓所截的弦長|AB

22

最短，由垂徑定理得|AB=2>jr-CM

=2725-[(3-1)2+(1-2)2]=4石.

此時，k,=--!—,從而k,=---J—=2.

kcM￡-1

1-3

I的方程為y-l=2(x-3),即2x-y=5.

3.已知點P(x,y)是圓(x+ZV+yJl上任意一點.

(1)求P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值和最小值;

(2)求x-2y的最大值和最小值；

(3)求上二的最大值和最小值.

X-1

解(1)圓心C(-2,0)到直線3x+4y+12=0的距離為

|3x(-2)+4x0+12|_6

d------——.

方+425

...P點到直線3x+4y+12=0的距離的最大值為

d+r=—+1=—,最小值為d-r=&T=L

5555

(2)設t=x-2y,

則直線x-2y-t=0與圓(x+2)2+y2=l有公共點.

t,??=后-2,t,?,.=-2-V5.

則直線kx-y-k+2=0與圓(x+2)2+y2=l有公共點,

----活頁作業(yè)一----------

一、填空題

1.圓x2+y2-2x+4y+3=0的圓心到宜線x-y=l的距離為.

答案6

2.兩條直線y=x+2a,y=2x+a的交點P在圓(xT)'+(y-l)J4的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是.

答案-1<a<l

3.已知A(-2,0),B(0,2),C是圓x?+y2-2x=0上任意一點，則AABC面積的最大值是.

答案3+五

4.圓心在拋物線y2=2x上且與x軸和該拋物線的準線都相切的圓的方程是.

答案x'+y'-x±2y+-=0

4

5.若直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)始終平分圓x2+y2+2x-4y+l=0的周長，則工+工的最小值是__________.

ab

答案4

6.從原點0向圓：x2+yJ6x+"=0作兩條切線，切點分別為P、Q,則圓C上兩切點P、Q間的劣弧長為______.

4

答案乃

7.(2008?四川理，14)已知直線I：x-y+4=0與圓C：(x-1)2+(