宿州市省、市示范高中2023—2024學年度第一學期期末教學質量檢測高一數學試卷（人教版）一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將集合化簡，再由并集的運算，即可得到結果.【詳解】因為，令，解得，則，且，則.故選：A2.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用誘導公式求出答案.【詳解】.故選：C3.“角是第三象限角”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】結合角所在象限的性質及充分不必要條件進行判斷即可.【詳解】當角是第三象限角時，，，于是，所以充分性成立；當，即時，角是第二或第三象限角，所以必要性不成立，故選：A．4.已知，，則xy的最大值為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，得，再根據基本不等式可求出結果.【詳解】由，得，得，即，因為，所以，當且僅當，時，等號成立，所以，即xy的最大值為.故選：A5.已知，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，結合指數函數以及對數函數的單調性，即可求解.【詳解】因為函數在上單調遞增，則，即，又，即，所以故選：C6.函數在一個周期內的圖象如圖所示，則此函數的解析式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據函數的圖象，利用“五點法”求解即可.【詳解】由圖知，，，∴，又，，∴函數的解析式為．故選：D7.已知是奇函數，當x≥0時，（其中e為自然對數的底數），則（）A.3 B. C.8 D.【答案】D【解析】【分析】根據奇函數的性質即可求解.【詳解】由是奇函數得，又時，，所以.故選：D8.黎曼函數由德國著名數學家黎曼（Riemann）發現提出黎曼函數定義在上，其解析式為：當為真約數且時，當或上的無理數時，若函數是定義在R上的偶函數，且，，當時，，則：（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據已知可推得偶函數的周期為4，利用偶函數性質、周期性求目標函數值.【詳解】由題意，則，所以偶函數周期為4，，，所以.故選：B二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.設，則下列結論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用誘導公式（一）到（六）依次轉化角，逐步化簡即得.【詳解】對于A項，，故A項正確；對于B項，，故B項錯誤；對于C項，，故C項正確；對于D項，，故D項錯誤.故選：AC.10.下列敘述正確的是（）A.若冪函數的圖象經過點，則該函數在上單調遞減B.命題“，”的否定是“，”C.函數的單調遞增區間為D.函數與函數互為反函數【答案】ABD【解析】【分析】對于A,依題求出函數解析式，再判斷即得；對于B，根據全稱量詞命題的否定要求即得；對于C，根據復合函數的單調性判斷“同增異減”原則即可求得遞增區間；對于D，按照互為反函數的兩函數之間的關系分析即得.【詳解】對于A項，設依題意，，解得：，則因，故函數在上單調遞減，即A項正確；對于B項，否定量詞和結論即得命題“，”的否定是“，”，即B項正確；對于C項，設，由解得：或，因在定義域內為增函數，且在上遞減，在上遞增，根據同增異減原則知，函數的單調遞增區間為，即C項錯誤；對于D項，因的定義域為R，值域為，由可得：，交換即得：，即，其定義域為，值域為R.即D項正確.故選：ABD.11.已知函數，則下列關于函數的圖象與性質的敘述中，正確的有（）A.函數的最小正周期為B.函數在上單調遞增C.函數的圖象關于直線對稱D.【答案】ABC【解析】【分析】根據正切函數的性質畫出圖象，即可判斷A、B、C的正誤，由正切函數及誘導公式求判斷D.【詳解】函數的大致圖象，如下圖示，由上圖象，易知：最小正周期為、上單調遞增、圖象關于直線對稱，故A，B，C正確，又，所以，故D錯誤．故選：ABC.12.已知關于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（）A.B.C.不等式的解集為或D.的最小值為6【答案】BCD【解析】【分析】根據含參一元二次不等式的解法，分析可得a的正負，即可判斷A的正誤；根據二次函數性質，可判斷B的正誤；根據根與系數的關系，可得且，代入所求，化簡計算，即可判斷C的正誤；將代入，根據基本不等式，即可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】A選項，依題可得函數開口向下與軸交點橫坐標為2，3，故A錯誤；B選項，依題可得時，函數值小于0，即，故B正確；C選項，因為開口向下與軸交點橫坐標為2，3，所以，即，且，所以不等式可化為，即，解集為或，故C正確；D選項，，當且僅當時，即時取等，故D正確.故選：BCD.三、填空題:（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.________．【答案】2【解析】【分析】利用對數的運算性質和分數指數冪的運算性質計算即得.【詳解】.故答案為：2.14.已知，，則的值為______．【答案】##【解析】【分析】利用半角公式結合已知條件求解.【詳解】因為，所以，因為，所以，故答案為：.15.如圖1，折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，其展開的平面圖如圖2的扇形，其中，則扇面（曲邊四邊形）的面積是__________.【答案】##【解析】【分析】由大扇形面積減去小扇形面積即可得．【詳解】，由題意可得，扇形的面積是，扇形的面積是.則扇面（曲邊四邊形）的面積是.故答案為：．16.已知函數有且僅有3個零點，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據函數圖像及零點的定義可得結果.【詳解】當時沒有零點，所以依題意有且僅有3個零點，又時，所以，即，故；當時有1個零點，所以依題意有且僅有2個零點，所以，即，故答案為：.四、解答題：（本題共6小題，共70分．第17題10分，其他每題12分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（1）已知，求的值。（2）已知角的終邊過點，，，求的值．【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）化簡已知式，求得的值，將利用弦的齊次式化弦為切代入即得；（2）由條件分別求出的值，再代入兩角和的余弦公式計算即得.【詳解】（1）由可得：；（2）角的終邊過點，則．由，可知：則.18.已知函數.（1）求的單調遞增區間；（2）將的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，求在上的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據三角恒等變換可得，然后根據三角函數的性質即得；（2）根據圖象變換規律可得，然后根據正弦函數的性質即得.【小問1詳解】因為，令，解得，則的單調遞增區間是；【小問2詳解】因為，將的圖象向右平移個單位長度，可得．因為，所以，所以，則，即在區間內的值域為．19.已知函數是定義在R上的奇函數，其圖象經過點．（1）求實數，的值并指出的單調性（不必證明）；（2）求不等式的解集．【答案】（1），在上單調遞減（2）【解析】【分析】（1）根據R上奇函數的性質得，再由，列出方程組，求得，再利用函數的單調性定義證明函數單調性即得；（2）觀察易得，代入不等式，利用奇函數性質將其化成，最后利用函數單調性化為一元二次不等式，解之即得.，【小問1詳解】是R上的奇函數，，即，又解得.故，易得在R上單調遞減，證明如下.任取，由，因，則，而，則，故在R上單調遞減.【小問2詳解】易得：，不等式可化為，是R上的奇函數，又在R上單調遞減，，即，解得或故原不等式的解集為.20.國家質量監督檢驗檢疫局于2004年5月31日發布了新的《車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》國家標準，新標準規定，車輛駕駛人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車，經過反復試驗，喝一瓶啤酒后酒精在人體血液內的變化規律“散點圖”如下：該函數模型如下，.根據上述條件，回答以下問題：（1）試計算喝1瓶啤酒后多少小時血液中的酒精含量達到最大值？最大值是多少？（2）試計算喝1瓶啤酒后多少小時才可以駕車？（時間以整小時計）（參考數據：）【答案】（1）喝一瓶啤酒后1.5小時血液中的酒精達到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；（2）喝一瓶啤酒后6小時才可以駕車【解析】【分析】（1）由圖可知，當函數取得最大值時，，此時時，取得最大值，即可求得.（2）由題意知當車輛駕駛人員血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以駕車，此時，解不等式，兩邊取對數，即可求出..【詳解】（1）由圖可知，當函數取得最大值時，.此時.當時，即時，函數取得最大值為，故喝一瓶啤酒后1.5小時血液中的酒精達到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，（2）由題意知當車輛駕駛人員血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以駕車，此時，由，得，兩邊取自然對數得，即，∴，故喝一瓶啤酒后6小時才可以駕車.【點睛】本題考查函數模型應用和分段函數，考查分析問題的能力和運算求解的能力，屬于中檔題．21.已知函數且的圖象過點.（1）求的值及的定義域；（2）求在上的最大值；（3）若，比較與的大小.【答案】（1），定義域為；（2）最大值是，（3）．【解析】【分析】（1）由求得，由對數函數的定義得定義域；（2）函數式化簡為只含有一個對數號，然后由二次函數性質及對數函數性質得最大值；（3）指數式改寫為對數式，然后比較的大小，并由已知得出的范圍，在此范圍內由的單調性得大小關系．【小問1詳解】由已知，，，定義域；小問2詳解】，，，則，所以，時取等號，最大值為；【小問3詳解】，，，，，，所以，，則，，∵，所以，，即，，，所以，，∵在上是增函數，又在時是減函數，∴在上是減函數，∴．22.已知函數。（1）若為偶函數，求函數的定義域；（2）若過點，設，若對任意的，，都有，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得出的值，然后解出的解，即為函數的定義域；（2）先求出的最小值，然后分類討論求出的最大值，進而得出的取值范圍.【小問1詳解】（1）因為為偶函數，所以,