2022-2023學年山西省太原市大學附屬中學高二數學文上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數，若，則實數a=（

）A.-1 B.27 C.或1 D.-1或27參考答案：D【分析】分別討論和兩種情況，結合函數解析式，即可求出結果.【詳解】當時，，得，解得，符合題意；當時，由，得，解得，符合題意.綜上可得或.故選D.【點睛】本題主要考查分段函數，由函數值求參數的問題，靈活運用分類討論的思想即可，屬于基礎題型.2.已知雙曲線﹣=1的一個焦點在直線x+y=5上，則雙曲線的漸近線方程為（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x參考答案：B【分析】根據題意，由雙曲線的方程可以確定其焦點在位置，由直線的方程可得直線與x軸交點的坐標，即可得雙曲線焦點的坐標，由雙曲線的幾何性質可得9+m=25，解可得m的值，即可得雙曲線的標準方程，進而由雙曲線的漸近線方程計算可得答案．【解答】解：根據題意，雙曲線的方程為﹣=1，則其焦點在x軸上，直線x+y=5與x軸交點的坐標為（5，0），則雙曲線的焦點坐標為（5，0），則有9+m=25，解可得，m=16，則雙曲線的方程為：﹣=1，其漸近線方程為：y=±x，故選：B．3.平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為（）A．π B．4π C．4π D．6π參考答案：B【考點】球的體積和表面積．【分析】利用平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，求出球的半徑，然后求解球的體積．【解答】解：因為平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，所以球的半徑為：=．所以球的體積為：=4π．故選B．4.統計中有一個非常有用的統計量，用它的大小可以確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”，下表是反映甲、乙兩個班級進行數學考試，按學生考試及格與不及格統計成績后的2×2列聯表.

不及格及格總計甲班123345乙班93645總計216990則的值為（

）A．0.559

B．0.456

C．0.443

D．0.4參考答案：A5.復數的實數與虛部分別為（

）A．5，5

B．5，5i

C．7，5

D．7，5i參考答案：A6.兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數R2如下，其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1的相關指數R2為0.98 B．模型2的相關指數R2為0.80C．模型3的相關指數R2為0.50 D．模型4的相關指數R2為0.25參考答案：A【考點】相關系數．【專題】常規題型．【分析】兩個變量y與x的回歸模型中，它們的相關指數R2，越接近于1，這個模型的擬合效果越好，在所給的四個選項中0.98是相關指數最大的值，得到結果．【解答】解：兩個變量y與x的回歸模型中，它們的相關指數R2，越接近于1，這個模型的擬合效果越好，在所給的四個選項中0.98是相關指數最大的值，∴擬合效果最好的模型是模型1．故選A．【點評】本題考查相關指數，這里不用求相關指數，而是根據所給的相關指數判斷模型的擬合效果，這種題目解題的關鍵是理解相關指數越大擬合效果越好．7.不等式組所表示的平面區域的面積等于（

）A.

B. C.

D.參考答案：C略8.命題“對”的否定是(

)（A）不

（B）

（C）對

（D）參考答案：D9.已知α，β是平面，m，n是直線，給出下列命題，其中正確的命題的個數是（）（1）若m⊥α，m?β，則α⊥β（2）若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β（3）如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交（4）若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α且n∥β．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】利用面面平行和媽媽垂直的判定定理分別分析解答．【解答】解：對于（1），若m⊥α，m?β，則滿足面面垂直的判定定理，所以α⊥β正確；對于（2），若m?α，n?α，m∥β，n∥β，如果m∥n，則α，β可能相交，所以α∥β錯誤；對于（3），如果m?α，n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交或者平行；故（3）錯誤；對于（4），若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，滿足線面平行的判定定理，所以n∥α且n∥β正確．故選B．【點評】本題考查了面面垂直、面面平行、線面平行的判定定理的運用，熟練運用定理是關鍵．10.設，，若對任意的，存在，使得，則實數a的取值范圍為（

）A．[－1,0)∪(0,1]

B．(－∞,－1]∪[1,+∞)C．[－2,0)∪(0,2]

D．(－∞,－2]∪[2,+∞)參考答案：D函數在上單調遞增，所以的值域為，當時，為增函數，在]上的值域為，由題意可得當時，為減函數，在]上的值域為，由題意可得當時，為常數函數，值域為，不符合題意；綜上，實數的取值范圍為.故選D.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設.若曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為,則____.參考答案：略12.某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名．現用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了9名，則在高二年級的學生中應抽取的人數為

．參考答案：12【考點】分層抽樣方法．【專題】方程思想；做商法；概率與統計．【分析】根據分層抽樣的定義建立比例關系進行求解即可．【解答】解：∵在高一年級的學生中抽取了9名，∴在高二年級的學生中應抽取的人數為人，故答案為：12；【點評】本題主要考查分層抽樣的應用，根據條件建立比例關系是解決本題的關鍵．比較基礎．13.設m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx﹣y﹣m+3=0交于點P（x，y）．則|PA|?|PB|的最大值是．參考答案：5【考點】點到直線的距離公式．【專題】直線與圓．【分析】先計算出兩條動直線經過的定點，即A和B，注意到兩條動直線相互垂直的特點，則有PA⊥PB；再利用基本不等式放縮即可得出|PA|?|PB|的最大值．【解答】解：有題意可知，動直線x+my=0經過定點A（0，0），動直線mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，經過點定點B（1，3），注意到動直線x+my=0和動直線mx﹣y﹣m+3=0始終垂直，P又是兩條直線的交點，則有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|?|PB|≤=5（當且僅當時取“=”）故答案為：5【點評】本題是直線和不等式的綜合考查，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是本題解答的突破口，從而有|PA|2+|PB|2是個定值，再由基本不等式求解得出．直線位置關系和不等式相結合，不容易想到，是個靈活的好題．14.(A卷）（1+的展開式中，系數最大的項是第___________ 項。參考答案：n+115.數列的前項和為．參考答案：16.如圖，在開關電路中，開關開或關的概率都為，且是相互獨立的，則燈亮的概率是___________.

參考答案：略17.復數的虛部為________.參考答案：;三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對某種電子元件的使用壽命進行調查,抽樣200個檢驗結果如表：壽命(h)個數2030804030⑴補充頻率分布表；⑵畫出頻率分布直方圖以及頻率分布折線圖；⑶根據頻率分布直方圖，求這種電子元件的眾數、中位數及平均數.參考答案：（1）略

（2）分組頻數頻率200.1300.15800.4400.2300.15合計2001.00（3）眾數為350，中位數為。平均分=150×0.1+250×0.15+350×0.4+450×0.2+550×0.15=365略19.等差數列的前項和記為，已知；（1）求數列的通項（2）若，求（3）令，求數列的前項和參考答案：解：（1）由，得方程組，解得（2）由得方程解得或（舍去）數列的前項和20.（本小題滿分14分）已知大于1的正數x，y，z滿足．（1）求證：．（2）求的最小值．參考答案：

（1）由柯西不等式得，（）[（x+2y+3z）+（y+2z+3x）+（z+2x+3y）]≥（x+y+z）2=27得：；（2）∵=++，由柯西不等式得：（++）（log3（xy）+log3（yz）+log3（zx）），由柯西不等式得：（++）（log3（xy）+log3（yz）+log3（zx））≥9所以，，．∴．∴．得所以，當且僅當時，等號成立．故所求的最小值是3．21.已知四棱錐如圖1所示，其三視圖如圖2所示，其中正視圖和側視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形.（1）若E是PD的中點，求證：平面PCD；（2）求此四棱錐的表面積。參考答案：（1）證明：由三視圖可知，平面，∴

∵是正方形，∴

又，平面，平面∴平面，

∵平面，∴

又是等腰直角三角形，E為PD的中點，∴又，平面，平面∴平面.（2）解：由題意可知，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，其面積，高，所以

四棱錐的表面積

略22.給定數列

(1)判斷是否為有理數,證明你的結論;(2)是否存在常數.使對都成立?若存在,找出的一個值,并加以證明;若不存在,說明理由.參考答案：解:(1