河南省開封市第十五中學高一數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等腰三角形頂角的余弦值等于,則這個三角形底角的正弦值為（

）A

B

C

D

參考答案：C略2.在△ABC中，D為邊BC的中點，AB=2，AC=4，，則∠BAC為（

）A．30°

B．60°

C．120°

D．150°參考答案：D3.已知，，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.數列中，如果數列是等差數列，則

（

）

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B5.在直角梯形ACBD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=45°，AB=2CD=2，M為腰BC的中點，則=（）A．1B．2C．3D．4參考答案：B【考點】向量在幾何中的應用．【分析】以直角梯形的兩個直角邊為坐標軸，寫出點的坐標，求出向量的坐標，利用向量數量積的坐標形式的公式求．【解答】解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，建立直角坐標系．則：A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1），M（．因為AB=2CD=2，∠B=45，所以AD=DC=1，M為腰BC的中點，則M點到AD的距離=（DC+AB）=，M點到AB的距離=DA=所以，，所以=9/4﹣1/4=2．故答案為B6.已知△ABC中，a＝1，b＝2，c=，則∠C＝A．30°

B．30°或150°

C．60°

D．120°

參考答案：D7.已知其中為常數，若，則的值等于(

)A．－10

B．－6

C．－4

D．－2參考答案：A，則，所以，故選A。

8.下列函數中值域是的是（

）． A． B． C． D．參考答案：B∵的值域為，的值域為，的值域為，選擇．9.已知函數y=|x﹣3|+1在區間[0，9]上的值域是（）A．[4，7] B．[0，7] C．[1，7] D．[2，7]參考答案：C【考點】函數的值域．【分析】對x進行討論，去掉絕對值，利用函數的單調性，求解即可．【解答】解：由題意：函數y=|x﹣3|+1，定義域為[0，9]；當x≥3時，函數y=x﹣2，x在[3，9]是增函數；當x＜3時，函數y=4﹣x，x在[0，3）是減函數；故得x=3時，函數y的值最小為：1；x=9時，函數y的值最大為：7；故得函數y=|x﹣3|+1在區間[0，9]上的值域為[1，7]．故選：C．10.已知

，若，則的值是（

）A．1

B．1或

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若四面體ABCD中，AB=CD=BC=AD=，AC=BD=，則四面體的外接球的表面積為．參考答案：6π【考點】球的體積和表面積．【分析】將四面體補成長方體，通過求解長方體的對角線就是球的直徑，然后求解外接球的表面積．【解答】解：由題意可采用割補法，考慮到四面體ABCD的四個面為全等的三角形，所以可在其每個面補上一個以，，為三邊的三角形作為底面，且以分別x，y，z長、兩兩垂直的側棱的三棱錐，從而可得到一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2+y2=5，x2+z2=5，y2+z2=2，則有（2R）2=x2+y2+z2=6（R為球的半徑），所以球的表面積為S=4πR2=6π．故答案為：6π．12.已知數列{an}的前n項和為，則數列{an}的通項公式為________.參考答案：【分析】利用數列與的關系可求出通項公式.【詳解】數列的前項和為，當n=1時，，當時，，檢驗，當n=1時，適合上式，所以，故答案為：【點睛】數列的通項與前n項和的關系式，常利用這個關系式實現與之間的相互轉化.13.設變量x,y滿足約束條件則目標函數的最小值為_____.參考答案：略14.邊長為a的正三角形ABC的邊AB、AC的中點為E、F，將△AEF沿EF折起，此時A點的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE，則A'B=．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定．【分析】取BC的中點N，連接AN交EF于點M，連接A′M，可證A′M⊥BM，由已知可得AM=MN==A′M，在Rt△MNB中，利用勾股定理可求MB，進而在Rt△A′MB中，利用勾股定理可求A′B的值．【解答】解：取BC的中點N，連接AN交EF于點M，連接A′M，則A′M⊥EF．∵平面A′EF⊥平面BCFE，∴A′M⊥平面BCFE，∴A′M⊥BM，∵AM=MN=，∴A′M=，在Rt△MNB中，MB===，在Rt△A′MB中，A′B===．故答案為：．【點評】本題主要考查了直線與平面垂直的判斷，考查了勾股定理在解三角形中的應用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．15.若集合.當集合中有2個元素時，實數k的取值范圍是

▲

參考答案：；16.已知點,點是圓上任意一點，則面積的最大值是

參考答案：略17.設i為虛數單位，復數的模為______。參考答案：5【分析】利用復數代數形式的乘法運算化簡，然后代入復數模的公式，即可求得答案．【詳解】由題意，復數，則復數的模為．故答案為：5【點睛】本題主要考查了復數的乘法運算，以及復數模的計算，其中熟記復數的運算法則，和復數模的公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，△OAB是邊長為4的正三角形，記△OAB位于直線x=t（0＜t＜6）左側的圖形的面積為f（t），試求f（t）的解析式．參考答案：考點： 函數解析式的求解及常用方法．專題： 函數的性質及應用．分析： 根據“0＜t＜6”和圖形，分三種情況進行討論．解答： 當0＜t＜2時，f（t）=，當2≤t≤4時，==，當4＜t＜6時，，所以f（t）的解析式為．點評： 本題考察分段函數解析式的求解，求解時讓“直線x=t”動起來，先觀察直線左側圖形是什么圖形，再根據對應的面積公式來求解．19.（12分）已知函數，且對任意的實數x都有成立.（Ⅰ）求實數a的值；（Ⅱ）利用單調性的定義證明函數f(x)在區間[1，＋∞上是增函數.參考答案：（Ⅰ）由f(1+x)=f(1－x)得，(1＋x)2＋a(1＋x)＋b＝(1－x)2＋a(1－x)＋b，整理得：(a＋2)x＝0，由于對任意的x都成立，∴a＝－2.----------------(6分)（Ⅱ）根據（Ⅰ）可知f(x)=x2－2x+b，下面證明函數f(x)在區間[1，＋∞上是增函數.設，則＝（）－（）＝（）－2（）＝（）（－2）∵，則＞0，且－2＞2－2＝0，∴＞0，即，故函數f(x)在區間[1，＋∞上是增函數.---------------(12分)20.為了參加全運會，對甲、乙兩名自行車賽手在相同條件下進行了6次測試，測得他們的最大速度（m/s）的數據如表．（1）畫出莖葉圖甲273830373531乙332938342836（2）分別求出甲、乙兩名自行車賽手最大速度（m/s）數據的平均數、標準差，并判斷說明選誰參加比賽更合適．參考答案：【考點】BA：莖葉圖．【分析】（1）由莖葉圖的特點確定莖葉圖的莖和葉，得到莖葉圖；（2）利用平均數公式以及標準差公式得到數據，然后比較．【解答】解：（1）由已知得到莖葉圖如圖：（2）甲的中位數是33，乙的中位數是33.5甲的平均數是=33，乙的平均數是=33甲的方差是15.67，標準差是3.96，乙的方差是12.67；標準差是3.56，乙比較穩定一點，綜合比較選乙參加比賽較為合適．21.在四面體ABCD中，過棱AB的上一點E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點F，G，H（1）求證：截面EFGH為平行四邊形（2）若P、Q在線段BD、AC上，，且P、F不重合，證明：PQ∥截面EFGH參考答案：（1）證明：，∵AD∥平面EFGH，平面ADB平面EHGH=EF，AD平面ABD，∴AD∥EF∵AD∥平面EHGH，平面ADC平面EHGH=GH，AD平面ADC，.∴AD∥GH由平行公理可得EF∥GH同理可得EH∥FG∴四邊形EFGH為平行四邊形.（2）如圖在CD上取點M，使，連接MQ則PM∥BC∥FG，，則QM∥AD∥HGPMQM=M∴平面PMQ∥平面EHGH∵PQ平面PMQ∴PQ∥截面EFGH22.如圖，正三棱錐的三條側棱、、兩兩垂直，且長度均為2．、分別是、的中點，是的中點，過作平面與側棱、、或其延長線分別相交于、、，已知.（1）求證：⊥平面；（2）求二面角的大小.參考答案：(1)證明:依題設,是的中位線,所以∥,

則∥平面,所以∥。

又是的中點,所以⊥,則⊥。

因為⊥,⊥,

所以⊥面,則⊥,

因此⊥面.

(2)作⊥于,連。因為⊥平面,

根據三垂線定理知,⊥,

就是