江西省上饒市石門街中學高三數學理知識點試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設△ABC的三內角A、B、C成等差數列，sinA、sinB、sinC成等比數列，則這個三角形的形狀是（

）

A.直角三角形

B.鈍角三角形

C.等腰直角三角形

D.等邊三角形參考答案：D2.函數f（x）=，g（x）=x2?f（x﹣1），則函數g（x）的遞減區間是（）A．[0，+∞） B．[0，1） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1）參考答案：B考點： 分段函數的應用；函數單調性的判斷與證明．專題： 函數的性質及應用．分析： 由題意可得g（x）=x2?f（x﹣1）=，結合二次函數分別研究各段的單調性可得．解答： 解：∵f（x）=，∴f（x﹣1）=，∴g（x）=x2?f（x﹣1）=，當x＞1時，y=x2單調遞增，當x＜0時，y=﹣x2單調遞增，只有當0≤x＜1時，y=﹣x2單調遞減．故選：B．點評： 本題考查分段函數的單調性，涉及復合函數和二次函數的單調性，屬中檔題．3.已知滿足，則的最大值等于A．

B．

C．

D．

參考答案：C4.中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線，一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（

）A.

B.

C.

D.2參考答案：D5.設函數Ｒ）滿足，則的值是（A）3 （B）2 （C）1 （D）0參考答案：D6.

如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是

（A）

（B）（C）

（D）參考答案：D7.四個小動物換座位，開始是鼠、猴、兔、貓分別坐1、2、3、4號位上（如圖），第一次前后排動物互換座位，第二次左右列動物互換座位，…這樣交替進行下去，那么第2014次互換座位后，小兔坐在第（

）號座位上

A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：B略8.已知數列{}是等比數列，且a2＝2，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋＝

A．16（1－）B．16（1－）

C．（1－）D．（1－）參考答案：C略9.定義運算，若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是A． B． C． D．參考答案：D10.下列命題是真命題的是（）A．?φ∈R，函數f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函數B．?α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβC．向量=（2，1），=（﹣1，0），則在方向上的投影為2D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要條件參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】舉出反例φ=，可判斷A；舉出正例α=，β=﹣，可判斷B；求出向量的投影，可判斷C；根據充要條件的定義，可判斷D．【解答】解：當φ=時，函數f（x）=sin（2x+φ）=cos2x是偶函數，故A為假命題；?α=，β=﹣∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ=1，故B為真命題；向量=（2，1），=（﹣1，0），則在方向上的投影為﹣2，故C為假命題；“|x|≤1”?“﹣1≤x≤1”是“x≤1”的充分不必要條件，故D為假命題，故選：B【點評】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查奇數的奇偶性，特稱命題，向量的投影，充要條件等知識點，難度中檔．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.記等比數列{an}的前n項和為Sn，若S6＝，則{an}的公比為

參考答案：-112.已知函數f（x）=4lnx+ax2﹣6x+b（a，b為常數），且x=2為f（x）的一個極值點，則a的值為

．參考答案：1【考點】利用導數研究函數的極值．【專題】函數思想；綜合法；導數的綜合應用．【分析】求出函數的導數，得到f′（2）=0，解出即可．【解答】解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），∵f′（x）=+2ax﹣6，x=2為f（x）的一個極值點，∴f'（2）=2+4a﹣6=0，∴a=1，故答案為：1．【點評】本題考查了函數的極值的意義，考查導數的應用，是一道基礎題．13.設，則二項式展開式中含項的系數是

．參考答案：-19214.在(ax–)8的展開式中含x2項的系數為70，則實數a的值是_________.參考答案：±115.關于、的二元線性方程組的增廣矩陣經過變換，最后得到的矩陣為，則二階行列式=

.參考答案：由增廣矩陣可知是方程組的解，所以解得，所以行列式為。16.設a=（sinx+cosx）dx，則二項式（a﹣）6的展開式的常數項是

．參考答案：﹣160考點：二項式系數的性質；定積分．專題：導數的概念及應用；二項式定理．分析：求定積分求得a的值，然后寫出二項展開式的通項，由x得指數為0求得r值，代入通項求得常數項．解答： 解：a=（sinx+cosx）dx==2．∴（a﹣）6=．其通項==．由3﹣r=0，得r=3．∴二項式（a﹣）6的展開式的常數項是．故答案為：﹣160．點評：本題考查了定積分，考查了二項式定理，關鍵是熟練掌握二項展開式的通項，是基礎題．17.已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A、B兩點，，P為C的準線l上一點，則的面積為

．參考答案：36不妨設拋物線方程為，，，∴準線方程為，到直線的距離為6，∴.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四面體P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．（Ⅰ）在四面體各表面所成的二面角中，指出所有的直二面角，并說明理由；（Ⅱ）若PA=AB=1，AC=2，求四面體各表面所成角的二面角中，最小角的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由PA⊥平面ABC，得到二面角P﹣AC﹣B，P﹣AB﹣C都是直二面角，再推導出BC⊥平面PAB，得到A﹣PB﹣C是直二面角．（Ⅱ）以A為頂點，AC，AP所在直線為y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出四面體各表面所成角的二面角中，最小角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥PA⊥平面ABC，∴二面角P﹣AC﹣B，P﹣AB﹣C都是直二面角，由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴A﹣PB﹣C是直二面角．（Ⅱ）由BC⊥平面PAB，得二面角P﹣BC﹣A的平面角為∠PBA=45°，由PA⊥平面ABC得二面角B﹣PA﹣C的平面角為∠BAC=60°，以A為頂點，AC，AP所在直線為y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則P（0，0，1），B（，，0），C（0，2，0），=（，，﹣1），=（0，2，﹣1），設平面PBC的法向量=（x，y，z），則，取y=1，得=（），平面PAC的法向量=（1，0，0），cos＜＞===，∴四面體各表面所成角的二面角中，最小角的余弦值為．19.已知函數f（x）=x3﹣x﹣．（I）求函數y=f（x）的零點的個數；（Ⅱ）令g（x）=+lnx，若函數y=g（x）在（0，）內有極值，求實數a的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對任意t∈（1，+∞），s∈（0，1），求證：g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．參考答案：考點：導數在最大值、最小值問題中的應用．專題：綜合題；導數的綜合應用．分析：（Ⅰ）易知x=0是y=f（x）的零點，從而x＞0時，f（x）=x（x2﹣1﹣），設φ（x）=，利用導數及零點判定定理可求函數零點個數；（Ⅱ）化簡得g（x）=lnx+，其定義域是（0，1）∪（1，+∞），求導得g'（x）=，令h（x）=x2﹣（2+a）x+1，則問題轉化為h（x）=0有兩個不同的根x1，x2，從而△=（2+a）2﹣4＞0，且一根在（0，）內，不妨設0＜x1＜，再由x1x2=1，得0＜x1＜＜e＜x2，根據零點判定定理可知只需h（）＜0，由此可求a的范圍；（Ⅲ）由（Ⅱ）可求y=g（x）在（1，+∞）內的最小值為g（x2），y=g（x）在（0，1）內的最大值為g（x1），由（Ⅱ）同時可知x1+x2=2+a，x1x2=1，，x2∈（e，+∞），故g（t）﹣g（s）≥g（x2）﹣g（x1）=lnx2+﹣==（x2＞e），令k（x）=lnx2+x﹣=2lnx+x﹣，利用導數可判斷k（x）在（e，+∞）內單調遞增，從而有k（x）＞k（e），整理可得結論；解答：解：（Ⅰ）∵f（0）=0，∴x=0是y=f（x）的一個零點，當x＞0時，f（x）=x（x2﹣1﹣），設φ（x）=，φ'（x）=2x+＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上單調遞增．又φ（1）=﹣1＜0，φ（2）=3﹣＞0，故φ（x）在（1，2）內有唯一零點，因此y=f（x）在（0，+∞）內有且僅有2個零點；（Ⅱ）g（x）=+lnx=+lnx=lnx+，其定義域是（0，1）∪（1，+∞），則g'（x）===，設h（x）=x2﹣（2+a）x+1，要使函數y=g（x）在（0，）內有極值，則h（x）=0有兩個不同的根x1，x2，∴△=（2+a）2﹣4＞0，得a＞0或a＜﹣4，且一根在（0，）內，不妨設0＜x1＜，又x1x2=1，∴0＜x1＜＜e＜x2，由于h（0）=1，則只需h（）＜0，即+1＜0，解得a＞e+﹣2；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當x∈（1，x2）時，g'（x）＜0，g（x）遞減，x∈（x2，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）遞增，故y=g（x）在（1，+∞）內的最小值為g（x2），即t∈（1，+∞）時，g（t）≥g（x2），又當x∈（0，x1）時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增，x∈（x1，1）時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減，故y=g（x）在（0，1）內的最大值為g（x1），即對任意s∈（0，1），g（s）≤g（x1），由（Ⅱ）可知x1+x2=2+a，x1x2=1，，x2∈（e，+∞），因此，g（t）﹣g（s）≥g（x2）﹣g（x1）=lnx2+﹣==（x2＞e），設k（x）=lnx2+x﹣=2lnx+x﹣，k'（x）=+1+＞0，∴k（x）在（e，+∞）內單調遞增，故k（x）＞k（e）=2+e﹣，即g（t）﹣g（s）＞e+2﹣．點評：本題考查利用導數研究函數的零點、極值、最值，考查轉化思想，考查學生綜合運用數學知識分析解決問題的能力，綜合性強，能力要求比較高．20.已知函數（a為常數）是R上的奇函數，函數是區間[-1，1]上的減函數.

（1）求的值；

（2）若上恒成立，求的取值范圍；

（3）討論關于的方程的根的個數.參考答案：解：（1）是奇函數，,,故a=0.

（2）由（1）知：，上單調遞減，,在[-1，1]上恒成立，.

（其中）恒成立，令，則恒成立，

（3）由令當時，上為增函數；當時，上為減函數；當而

方程無解；當時，方程有一個根；當即時，方程有兩個根.

21.（本小題滿分12分）已知等差數列{an}滿足a2=0，a6+a8=-10（I）求數列{an}的通項公式；（II）求數列{an·3n-1}的前n項和．參考答案：（I）設等差數列{an}的公差為d，由已知條件可得解得故數列{an}的通項公式為an=2-n

………………5分

（II）設數列{an·3n-1}的前n項和為Sn，即

Sn=1·30+0·31-1·32-···+(3-n)3n-1+(2-n)3n3Sn=

1·31+0·32-1·33-···+(3-n)3n+(2-n)3n+1所以2Sn=30+31+32-···+3n-1+(2-n)3n所以Sn=綜上，數列{an·3n-1}……………