目錄

21.1二次函數...................................................................2

21.2.1二次函數的圖象和性質1.......................................................................................................4

21.2.2二次函數的圖象和性質2.......................................................................................................7

21.2.3二次函數的圖象和性質3........................................................................................................9

21.3.4二次函數丫=加+灰+。的圖象和性質......................................11

21.2.5待定系數法求二次函數解析式..............................................14

21.4.1二次函數的應用1..................................................................................................................17

21.4.2二次函數的應用2（利潤問題）............................................20

21.4.3二次函數的應用3（球類運動問題）........................................24

21.4.4二次函數的應用4（橋梁建筑問題）........................................28

21.4.5二次函數在給定圖表問題中的應用.........................................33

21.5.1反比例函數（第一課時）..................................................37

21.5.2反比例函數的圖像和性質（第二課時）.....................................43

21.5.3反比例函數的應用（第三課時）...........................................52

22.1.1相似圖形.................................................................52

22.1.2比例線段.................................................................58

22.1.3比例的性質...............................................................61

22.1.4黃金分割.................................................................67

22.1.5平行線分線段成比例定理..................................................72

22.2.1相似三角形的判定（預備定理）..............................................72

22.2.2相似三角形的判定定理1.....................................................................................................72

22.2.3相似三角形的判定定理2.....................................................................................................81

22.2.4相似三角形判定定理3.........................................................................................................81

22.3相似三角形的性質..........................................................81

22.4.1位似圖形.................................................................85

22.4.2圖形在平面直角坐標系中的位似變換.......................................90

23.1.1銳角三角函數............................................................90

23.1.2特殊角的三角函數........................................................90

23.2.1解直角三角形及其應用1.....................................................................................................90

23.2.2解直角三角形及其應用（俯角仰角問題）...................................94

23.2.3解直角三角形應用（方向角的應用）.......................................94

23.2.4解直角三角形的應用（坡度陂角問題）.....................................94

第21章二次函數與反比例函數復習................................................94

第22章相似三角形復習.........................................................102

第23章解直角三角形復習.......................................................102

【教學設計】

課題名稱21.1二次函數

科目數學設計教師XXX備課組長XXX

課時安排1備課教師XXX時間2019.8

1.掌握二次函數的概念

教學目標2.能識別一個函數是不是二次函數

3.能根據實際情況建立二次函數模型

教學重點能識別一個函數是不是二次函數

教學難點能根據實際情況建立二次函數模型

教學方法問題引導法

教學資源多媒體課件

教學過程教師活動學生活動修改意見

一.圖片引入

雨后天空的彩虹，公園里的噴泉，跳繩等都會形成

一條曲線.這些曲線能否用函數關系式表示呢？

二、復習舊知

復習八年級學習的函數和一次函數的知識回顧思

1.什么叫函數？考，學

2.什么是一次函數？正比例函數？生回答

3一.元二次方程的一般形式是什么？

三.導入新課

探究歸納

1.請用適當的函數表達式表示下列問題情境中的兩

個變量之間的關系：

(1)圓的面積s(cm2)與圓的半徑r(cm);

學生思

某商店月份的利潤是萬元，、月份利潤

(2)1223考后回

逐月增長，這兩個月利潤的月平均增長率為月

x,3答

份的利潤為y；

請同學們思考課本問題1和問題2

從上面幾個問題中可以得到如下幾個函數關系式：

s=7rr2y=2(l+x)2

2

s=_x2+20xy=10x2+40x+2850

上述四個問題中的函數表達式具有哪些共同的特

征？

經化簡后都具有y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,aW0)的

形式.

1.二次函數的定義：

一般地，表達式形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常

數，a#0)的函數叫做二次函數.

二次函數的一般式為y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常

數，a#)),其中a為二次項系數，ax2叫

做二次項；為一次項系數，叫做一次

bbx要求學

項;c為常數項.生在理

二次函數自變量的取值范圍一般都是全體實數，但解的基

是在實際問題中，自變量的取值范圍應使礎上堂

實際問題有意義.如上面幾個問題中的自

握

變量的取值范圍。

練一練：

1.下列函數中，哪些是二次函數？

(Dy二Y

八1鞏固新

知

(2)y-2

X

⑶y=x(l+x)

(4)y=(x-I)?-/

注：先化簡后判斷

2.完成課本第4頁習題第1題

3.(1)正方形邊長為x(cm),它的面積y(Cmh

是多少？

(2)矩形的長是4厘米，寬是3厘米，如果將其

長增加x厘米，寬增加2x厘米,則面積增加到y平

方厘米，試寫出y與x的表達式.

2.根據二次函數的定義求待定字母的值

【教學設計】

3

例：關于x的函數y=(m+l)x"J""是二次函

數，求y的值。

課題名稱21.2.1二次函數的圖象和十生質

注覆承函數:能為零.

科目嚼WFXXX備裸組長XXX

練一練：

課時安排1備課教師XXX1寸間2019.8

1屆.—2如、

i.芷蒯隔琬物度的看關概態；

2.會用描點法畫出二次函數y=ax2的圖象，并概括出|￥1象的特點

教學目標3隼熊能娜找外的新鹿還酸靜曲何逸幽；

(2)當m_____這個函數為一次函數.

教學重點解拆翳咎以琮觸亨契髀爵的藪眸象的特點；

例子.

教學難點的鷺嫩^藪遮二強喊嬲呼靜輸礴任

意值；

教學方法燃邂喉骸臬數為5一次項系數為常數項的3倍.

四：當堂練習：

教學資源多媒髡用像本第圖貢鐮習

五：課堂小結：一

二修改意

定義中應該注意的幾橄靴活動

教學過程石

，見

21

堡面而豳tk,形如y=ax+bx+c(a,b,c是常數,a邦)

問題1：搠,簪尊艇陽靳輔輟些函數卷叢哪〃

個

方面於學厚并輪樸瀛1曬聯囑曝以1薪即咤

叵入

手呢？式：

問威啰誦密圖里射陶測出什么？一般步驟有哪些？

二脩螭鏟"月0＜邦).

(3)y=ax2+bx(a^0,b^0,c=0).

F?履濾料觸端尚陸篇第強耳露尊外糠

=x2

的圖案高次數是二次信變量X的取值范圍是全)

解：q建第知

八.鄴，口TF1

X...Nr-2-1012

兀1，成I-P-綠福，科'］，、l_1D-日好的刁題

y1二41014學4

七日4G主t+i....捌r/古力：川人ejlZ石r+iM上/....、

悵坤衣”‘x,y陽烈1日仕空，小1回’1'JWK、)，

切于

作業布置(3)如圖，再用平滑曲線順次連接各點，就得到y=操作

板書設計

教學反思

讓學生觀察，思考、討論、交流，歸結為:

4

它有一條對稱軸，且對稱軸和圖象有一點交點。

拋物線概念:像這樣的曲線通常叫做拋物線。

頂點概念：拋物線與它的對稱軸的交點叫做

拋物線的頂點.

總結：a>0時

(1)它的圖像是一條拋物線；

(2)圖象開口向上；

(3)當x>0時，y隨x的增大而增大，當xVO

時，y隨x的增大而減小；

(4)圖象關于y軸對稱；

(5)頂點(0,0);

(6)圖象有最低點，最低點有最小值。最小值為

0

2.請同學們畫出函數y=-x2的圖象，并觀察拋物

線有哪些性質？并與函數y=x2的圖像進行比較，

學生

它們之間有哪些相同點和不同點，小組合作交流動手

后回答。操作

二------、做/IJ.一做ALL.

1.在同一直角坐標系中，畫出函數y=x2與合作

y=-x2的圖象，觀察并比較兩個圖象，你發現有什

么共同點？又有什么區別？vIL9

2.在同一直角坐標系中，畫出函數y=2x2與得出

y=-2x2的圖象，觀察并比較這兩個函數的圖象，

你能發現什么？N匕o

歸納：當aVO時

(1)它的圖像是一條拋物線；

(2)圖象開口向下；

(3)當x>0時，y隨x的增大而減小，當xV

0時，y隨x的增大而增大；

(4)圖象關于y軸對稱；在理

(5)頂點(0,0);解的

基礎

(6)圖象有最IWJ點，最iWj點有最大值。最大

值為0上學

2.將所畫的四個函數的圖象作比較，你又能發現握

什么？

四.典例分析

例：一個二次函數，它的圖象的頂點是原點，對

稱軸是y軸，且經過點(-1,4)

(1)求這個二次函數的解析式；

5

(2)畫出這個二次函數的圖象；

(3)根據圖象指出，當x>0時，若x增大，y怎

樣變化？當x<0時，若x增大，y怎樣變化？

(4)當x取何值時，y有最大(或最小)值，其

值為多少？

五：練一練

1.二次函數丫=-3X2

(1)圖象的開口向一,對稱軸是___,

頂點是______,頂點坐標是______.圖象有最

____點.

鞏^同

當時，隨的增大而增大.

(2)x_____yx新知

(3)當x_____時，y隨x的增大而減小.

(4)當x_____時，函數y有最_____值________.

2.

請同學們完成課本第10頁課后練習1,2,3

六：課堂小結

1.一般地，拋物線y=ax2的對稱軸是y軸，頂

點是原點；

2.當a>0時，拋物線開口向上，頂點是拋物線的

最低點；

當aVO時，拋物線開口向下，頂點是拋物線

的最高點；

3.對于拋物線y=ax2(a>0)

當x>0時，y隨x取值的增大而增大；

當x<0時，y隨x取值的增大而減小；

七：課后作業

完成資料上相應的習題

作業布置畫出y=3%2和>=-3/的圖像

板書設計

教學反思

6

【教學設計】

2

課題名稱rey=+左（a，。）團缶口時慶

21.2.2J''的1Vt圖象及性質

科目數學設計教師程航備課組長XXX

課時安排1備課教師時間

1）會畫二次函數丁="廠+以。"0）的圖象；

教學目標2）在畫圖的基礎上，理解》="廠+口"0°）的性質。

3）掌握二次函數的上下平移。

教學重點二次函數的圖象及平移

教學難點二次函數,=〃％2+左300）的性質

教學方法PPT

教學過程教師活動學生活動修改意見

活動一：知識回顧；

復習y=ap（aN0）的圖象及性質。

活動二：學會畫戶.+以"。）的圖

象。

在同一平面直角坐標系畫出：

22121

y=xy=x+1y=xT的圖象。

自主練習：課本P12頁練習1

活動三：類比y=①，總結

y=a%2+k（aw0）的圖象及性質。

總結表：

7

a>0a<0

y=ax2+k

開口方向向上向下

對稱軸y軸（直線y軸（直線

x=0）x=0）

最值當x=0時有當x=0時有

最小值二ky最大值=k

頂點坐標(0,k)(0,k)

增減情況當x<0當x<0

時，y隨x時，y隨x

的增大而減的增大而增

小，當x>大，當x>

0時，y隨0時，y隨

X的增大而X的增大而

增大。減小。

平移2

當k<0,是y="向下

平移悶個單位；

當k>0,是y=向上

平移同個單位。

鞏固練習：課本P13頁2,3題。

本課小結：

這節課，你有什么收獲。

作業布置完成配套同步練習。

板書設計

教學反思

8

【教學設計】

課題名稱21.2.3'="）2（aw。）的圖象及性質

數學

科目設計教師程航備課組長XXX

課時安排1備課教師時間

1）會畫二次函數y="（*+'）2（"w°）的圖象；

教學目標6l畝囪的苴碎【加wy=。（％+力）2（。w°）的肚尸

2）在畫圖的基礎上，理解‘'7v’的性質。

3）掌握二次函數的左右平移。

教學重點二次函數的圖象及平移

教學難點二次函數圖象的性質

教學方法PPT

教學資源

學生活

教學過程教師活動修改意見

動

活動一：知識回顧；

復習y=ax2（aw0）

y=以2+女（“wo）的圖象及性質。

活動二：學會畫丁二以1十外"〃。。）

的圖象。

完成課本P14頁問題2

自主練習：課本P15頁第1題。

活動三：類比＞="2（aN°）,總結

y=a（%+份2（.0）的圖象及性質。

9

總結表

a>0a<0

y-a(x+hy

開口方向向上向下

對稱軸直線x=—h直線x=-h

最值當x=-h時，當x=—h時

y最小值二0y最大值=o

頂點坐標(―h,0)(―h,0)

增減情況當x<-h當x<-h

時，y隨x時，y隨x

的增大而的增大而

減小，當增大，當X

x>-h時，>-h時，y

y隨x的隨X的增

增大而增大而減

大。小。

平移

當h>0時，是由y=?/向

左平移個單位；

2

當h<0時，是由>

向右平移網個單位。

鞏固練習：課本P16頁2,3,4,5題。

本課小結：

這節課，你有什么收獲。

作業布置完成配套同步練習。

板書設計

教學反思

10

【教學設計】

課題名稱21.3.4二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質

科目數學設計教師張文燦備課組長XXX

課時安排1備課教師張文燦時間2019.8.11

1、掌握用描點法畫出函數丫=2*2+6*+?的圖象。

2、掌握用圖象或通過配方確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點

教學目標坐標。

3、經歷探索二次函數y=ax2+bx+c的圖象的開口方向、對稱軸和

頂點坐標以及性質的過程，理解二次函數y=ax2+bx+c的性質。

用描點法畫出二次函數y=ax2+bx+c的圖象和通過配方確定拋物

教學重點

線的對稱軸、頂點坐標

理解二次函數y=ax2+bx+c(a#0)的性質以及它的對稱軸(頂點坐

2

教學難點「八口?口bb4ac—b

標分別TEX—Fa、(-2a,4a)

教學方法分組討論法，問題探究法

教學資源課本

教學過程教師活動學生活動修改意見

一、復習回顧：

完成下列表格

二次函數開口方向對稱軸頂點坐標

2

y=-2x向下y軸(0,

2

y=-2x+l向下y軸(0,1)

廠如+2)2+1直線A--2

向下(2

二、探究新知：

探究二次函數-V=-2AT2—8x—7

的圖象和性質

2

如何畫出3=-2x

的圖象呢？

11

我們知道，像y=a(x+h)2+k這樣的函數,容易確

定相應拋物線的頂點為(-h,k),二次函數

y=-2x2_8x_7也能化成這樣的形式

嗎？

應怎樣轉化？

2配方,

y=ox+bx+c?>y=a(x+h)+k

y=-2x2-8x-7=-2(x2+4x)-7提取.次項系數

=-2(x2+4x+4-4)-7配方

=-2(Y+4X+4)-7+8整理

=-2(X+2)2+1

牙方

y=-2x2-8x-7y=-2(x+2)2+1

由此"J知，拋物線y=-2x2-8x-7的頂點坐標是

（-2,1）,對稱軸是直線x=-2,開口方向向下。

請畫出J=-2x2—8x-7的圖象

歸納：二次函數y=-2x2-8x-7圖象的畫法：

（1）“化”：化成頂點式；（2）“定”：確定開口

方向、對稱軸、頂點坐標；（3）“畫”：列表、

描點、連線。

求：次函收尸av—bxh,的對稱軸和頂

點坐標.

y=axi+&r+c

配九設取次攻條H

2丫cV：*i再域去次第系

<1五JtJ敢池wnT?f

'與7]整理：前項化為Y方形A,

*4*化隔：A櫛中

函數尸ix2+bx+c的對稱“、頂點坐標是什么？

b

y=ax2+灰+。的對稱軸是猶=---

2a

頂點坐標是：（-2,%二2）

2a4a

三、例題講解：

12

例1.寫出下列函數的開口方向、對稱軸、頂點坐標

⑴y=—x2—2x

(2)y—g,r2—4JC+3

例2、已知二次函數y=2x2+bx+c的頂點坐標是(1

-2),求b和c的值.

歸納：二次函數尸ov2+bx+c(a#0)的圖象和性質

拋物線yiaax2+bx+c(a>Q)yt=ar2+hr+c(6r<0)

頂點坐標(b_4ac-b^

14aJ1la4aJ

對稱軸我弋噌=q

開口方向向上向下

在對稱軸的左側?隨著X的在對稱軸的左側..V隨著X的

增減性增大而減小.在對稱軸的右增大而增大.在對稱軸的

側.]?隨著工的增大而增大.右側.]隨著Y的增大而減小.

最值當…“小值為筆i當-2時,最大值為竺匕Q

2a4a

四、課堂練習：

學習,你學到了彳

五、小結通過本節課的1■

么知識？有何體會？

作業布置

板書設計

教學反思

13

【教學設計】

課題名稱21.2.5待定系數法求二次函數解析式

科目數學設計教師張文燦備課組長XXX

課時安排備課教師張文燦時間2019.8.16

1、通過對待定系數法求二次函數解析總:的探究，掌握求解析式的

教學目標方法。

2、會根據不同的條件，利用待定系數法求二次函數的函數關系式。

教學重點掌握待定系數法求二次函數解析式的方法。

能靈活根據條件恰當地選擇表達式，體會二次函數表達式之間的轉

教學難點

化。

教學方法講練結合

教學資源課本、PPT

教學過程教師活動學生活動修改意見

一、導入新課：

1.二次函數關系式有哪兒種表達方式？

一般式：y=ax2+bx+c(a/0)

頂點式：y=a(x+h)2+k(a邦)

交點式：y=a(x+%p(x+(a翔)

2.還記得我們是怎樣求一次函數的表達式嗎？

待定系數法

二、講授新課：

用待定系數法求二次函數的解析式

例1、已知關于X的二次函數，當x=-l時,函數值

為10,當x=l時，函數值為4,當x=2時，函數值為7,

求這個二次函數的解析式.

解：設所求的二次函數為y=ax2+bx+c

由題意得：

fa—+c=1O

Ja+Z?+c=4

(46?+2Z?+c=7

解得，a=2,6=—3,。=5

.?.所求的二次函數是y=2x2-3x4-5

14

例2：二次函數的圖象過點A(0,5),B(5,0)兩

點，它的對稱軸為直線x=3,求二次函數的表達

式.

解：?.?二次函數的對稱軸為直線x=3

.?.二次函數表達式為y=a(x-3)2+k

二r5=a(0-3)2+￡,

、0=<7(5-3)2+左，

二次函數的表達式y=(x-3)2-4

即y=x2-6x+5

例3：已知拋物線的頂點是(1,2)且過點

(2,3),求二次函數的表達式.

解：由題意得：

???頂點是(1,2)

設y=a(x-l)2+2,

又???拋物線過點(2,3)

，a(2-l)2+2=3,.*.a=l

y=(x-l)2+2,即y=x2-2x+3

小結：已知定點坐標(h,k)或對稱軸方程x=h

時，優先選用頂點式.

例4：已知二次函數與x軸兩交點橫坐標為1,

3,且圖象過(0,-3),求二次函數的表達式.

解：由題意得：

拋物線與x軸兩交點橫坐標為1,3

:.設y=a(x-l)(x-3).

?.?圖象經過(0,-3)

，a(O-l)(O-3)=-3,

a=-l

y=-(x-l)(x-3),

即y=_x2+4X-3.

歸納：

(1)已知三點坐標，設二次函數解析式為

y=ax2+bx+c(a/0);

(2)已知頂點坐標，設二次函數解析式為

y=a(x-h)2+k(a/0);

(3)已知拋物線與x軸兩交點坐標為

(xl,0),(x2,0),可設二次函數解析式為

y=a(x-xi)(x-x2)(a#)).

課堂小結：

1.求二次函數y=ax2+bx+c的表達式，

關鍵是求出待定系數a,b,c的值，由已

知條件列出關于a,b,c的方程或方程

組，求出a,b,c,就可以寫出二次函數的

15

表達式.

2.當給出的坐標或點中有頂點，可設頂點

式y=a(x+h)2+k,將h、k換為頂

點坐標，再將另一點的坐標代入即可求出a

的值.

3.當給出與x軸的兩個交點，可設兩根式y

=a(x+x1)(x+再將另一點的

坐標代入即可求出a的值.

作業布置

板書設計

教學反思

16

【教學設計】

課題名稱21.4.1二次函數的應用

科目數學設計教師楊甜甜備課組長XXX

課時安排1備課教師楊甜甜時間2019.8.15

理解并掌握二次函數在利潤問題中的應用；

教學目標

能找準數量關系，并列出函數表達式；

教學重點二次函數在利潤問題中的應用，找準數量關系；

教學難點會利用二次函數列出函數表達式，解決利潤問題；

教學方法PPT

教學資源課本，多媒體

教學過程教師活動學生活動修改意見

創設情境

問題1：某水產養殖戶用長40m的圍網，在水庫

中圍一塊矩形的水面，投放魚苗，要是圍成的水面

面積最大，則它的邊長應是多少米？

引入新知

問題2：在問題1中，你能找到圍成的矩形的最大

面積嗎？

解在第21.1節中，得

S=x(20-x).將這個函數的表達式配方海

S=-(x-10)2+100(0<x<20)

這個函數的圖象是一條開口向下拋物線中的一

段，它的頂點坐標是(10,100)

所以，當x=10時，函數取得最大值，即S最大值

=100(m2)

此時,另邊長=20-10=10(m).

答:當圍成的矩形水面邊長都為10m時，它的面積

最大值是100平方米。

變式訓練

某生物園用60米長的籬笆圍成長方形的生物園，

飼養小兔，怎樣圍可以使小兔的活動范圍最大？

問題3:由矩形的面積問題，你有什么收獲？

歸納總結：

1.求出函數解析式和自變量的取值范圍；

2.配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值，

17

3.檢查求得的最大值或最小值對應的自變量的值

必須在自變量的取值范圍內.

應用新知

用一段長為15m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形

菜園，墻長為18m,這個矩形的長、寬各為多少

時，菜園的面積最大，最大是多少？

變式訓練

如圖，在一面靠墻的空地上用長24米的籬笆，圍

成中間隔有兩道籬笆的長方形花圃，設花圃的一

邊AB的長為x

米，面積為S平方米.

(1)求5與*之間的函數表達式及自變量X的取值

范圍；

(2)當x取何值時，圍成的花圃面積最大?最大值是

多少？

(3)若墻的最大可用長度為8米，則花圃的最大面

積是多少？

當堂檢測

1.如圖1,用長8m的鋁合金條制成如圖的矩形

窗框，那么最大的透光面積是

B/

2.如圖2,在AABC中，Z

B=90°,AB=12cm,BC=24cm,動點P從點A開始沿

AB向B以2cm/s的速度移動(不與點B重合)，

動點Q從點B開始BC以4cm/s的速度移動(不

與點C重合).如果P、Q分別從A、B同時出發，

那么經過秒，四邊形APQC的面積最小.

3.某廣告公司設計一幅周長為12m的矩形廣告

牌，廣告設計費用每平方米1000元，設矩形的一

邊長為x(m),面積為S(m2).

(1)寫出S與x之間的關系式，并寫出自變量x的

取值范圍；

(2)請你設計一個方案，使獲得的設計費最多，

并求出這個費用.

18

拓展提高

1.在足夠大的空地上有一段長為am的舊墻MN,

某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形的菜園ABCD,

其中ADWMN,已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊

共用了100m欄。

(1)若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450m平

方米,求所利用舊墻AD的長；

(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.

2.某商鋪計劃用地面磚鋪設營業用房的矩形地面

ABCD,己知該矩形地面長10m.寬8m鋪設，圖案

如圖所示，矩形的四角處各有一個小正方形，陰影

部分為四個矩形，四個矩形的寬都為小正方立形

的邊長.陰影部分鋪綠色地面磚，其余部分鋪白色

性地面磚。

(1)要使鋪白色地面磚的面積為52平方米，矩形地

面四角處小正方形的邊長應為多少？

(2)如果鋪白色地面磚的費用為30元/平方米.鋪綠

色地面磚的費用為在20元/平方米，當地面四角小

正方形的邊長為多少時，鋪設地面的總費用最少？

最少費用是多少？

作業布置課本36頁第2題

板書設計

教學反思

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【教學設計】

課題名稱21.4.2二次函數的應用—利潤問題

科目數學設計教師楊甜甜備課組長XXX

課時安排1備課教師楊甜甜時間2019.8.15

理解并掌握二次函數在利潤問題中的應用；

教學目標

能找準數量關系，并列出函數表達式；

教學重點二次函數在利潤問題中的應用，找準數量關系；

教學難點會利用二次函數列出函數表達式，解決