平面任意力系第四章工程實(shí)例

§4-1力的平移力的平移定理

Od令F’=F=-F’’F’F”FOdF’F”FF”FF”FF”FM作用于剛體上的力

F

的作用線可等效地平移到任意一點(diǎn)O，但須附加一力偶，此附加力偶的矩等于原力對(duì)O點(diǎn)的矩。逆過(guò)程：

平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶總可以等效地被同平面內(nèi)的一個(gè)力替換，但作用線平移一段距離OMF’FdMF’dF位置由M

的轉(zhuǎn)向確定。力線平移的討論1F力線平移的討論2圖中單手攻絲時(shí)，由于力系(F’,MO)的作用，不僅加工精度低，而且絲錐易折斷。例4-1求圖中力F對(duì)點(diǎn)A之矩。若r=20cm，R=50cm，F(xiàn)=300N。解:F600OAF*OOAMF1F2F3O

O

F1F1M2M1F2

F2

F3F3M3O

R,Mo§4-2平面任意力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化O

點(diǎn)稱為簡(jiǎn)化中心將各力向簡(jiǎn)化中心平移平面任意力系平面匯交力系平面力偶系一個(gè)合力R,一個(gè)合力偶MO

﹛主矢：O

R,Moxy主矢為原力系各力的矢量和主矢大小主矢方向主矢與簡(jiǎn)化中心無(wú)關(guān)主矢用于量度平面任意力系對(duì)物體的移動(dòng)作用效應(yīng)主矢的作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心主矩：O

R,Moxy主矩用于量度平面任意力系對(duì)物體繞簡(jiǎn)化中心轉(zhuǎn)動(dòng)的作用效應(yīng)結(jié)論:

平面任意力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化可得到作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心的主矢和關(guān)于簡(jiǎn)化中心的主矩。主矢為該力系各力的矢量和,主矩為該力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心矩的代數(shù)和。主矩與簡(jiǎn)化中心有關(guān)主矩為原力系各力對(duì)簡(jiǎn)化中心矩的代數(shù)和固定端約束的工程實(shí)例AAAAA固定端支座反力簡(jiǎn)化圖形

AFAXAYAMAMAXAYAMAXAYAMAXAYAMA

情況一：主矢等于零，即R’=0主矩合成結(jié)果說(shuō)明MO

≠

0合力偶此力偶為原力系的合力偶，由簡(jiǎn)化結(jié)果彼此等效知：此情況下，主矩與簡(jiǎn)化中心O無(wú)關(guān)。平衡MO

=0§4-3節(jié)將重點(diǎn)討論。平面力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析O

Mo

情況二：主矢不等于零，即 R’≠0主矩合成結(jié)果說(shuō)明MO

=0合力R此力為原力系的合力，合力的作用線通過(guò)簡(jiǎn)化中心。合力R大小等于

主矢MO

≠0此力為原力系的合力，合力的作用線距簡(jiǎn)化中心的距離O

RO合力矩定理

平面任意力系的合力對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)的矩的代數(shù)和。合力對(duì)O點(diǎn)的矩為：

MO

(R)=Rd=MO∵主矩

MO

=∑MO

(F)∴MO

(R)=∑MO(F)RdMOR’MOR’MOR’MOR’MOR’證： 由前表的第二種情況可知：即，主矢R’=0,這樣可知主矩與簡(jiǎn)化中心D的位置無(wú)關(guān)，以B點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心有：MD=MB

=M-F3×1=1Nm，主矩

MD=1Nm例4-2圖示力系,已知:M=2(Nm)

F2F3F1MABCD3m1m1m1m1m解：求力系的主矢及關(guān)于D點(diǎn)的主矩。。求力系的合力。例4-3重力壩受力如圖所示。設(shè)解：（1）先將力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，主矢在x、y軸上的投影。主矢的大小kNkN式中kN而因?yàn)镕Ry

為負(fù)，故主矢在第四象限內(nèi)，與x軸的夾角為70.84

。

（2）合力FR的大小和方向與主矢相同。其作用線位置根據(jù)合力矩定理求得（圖c），解得即力系的主矩（順時(shí)針圖b）§3-3平面力系的平衡條件平面任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和力系對(duì)任意點(diǎn)的主矩都等于零。即：R’=0,MO=0

由：平衡的解析條件：∑X=0，

XA+3lq/2－Fsin60°=0XA=316.4

kN∑Y=0，F(xiàn)cos60°－P+YA

=0

YA=-100kN∑MA(

F)=0，

MA

－3l

2

q/2－M+

3lFsin60°－Flsin30°=0

MA

=-789.2kNm

自重為P=100kN的T

字形剛架，l=1m，M=20kNm，F(xiàn)=400kN，q=20kN/m

，試求固定端A的約束反力。例4-4解：qMABDll3lF60°PXAYAMA自重不計(jì)的簡(jiǎn)支梁AB受力如圖，M=Pa。試求

A和B支座的約束反力。例4-5MPqxy4a2aNBXAYA解：受力分析，取坐標(biāo)軸如圖。XAXANBNBYAYA∑MA

(F)=0,NB·4a－M－P·2a－q·2a·a=0∑X=0,XA

=0∑Y=0,YA－q·2a－P+NB

=0AB當(dāng)我們更換第三個(gè)方程，結(jié)果同。解：受力分析，取坐標(biāo)軸如圖。∑MA

(F)=0,NB·4a－M－P·2a－q·2a·a=0∑X=0,XA=0MPqxy4a2aNBXAYAXAXANBNBYAYAAB－YA

·4a+q·2a·3a+P·2a－M=0∑MB=0,二力矩形式的平衡方程:

∑MA

(F)=0，則力系簡(jiǎn)化為過(guò)A點(diǎn)的一個(gè)合力

∑MB

(F)=0

，則力系簡(jiǎn)化為過(guò)B點(diǎn)的一個(gè)合力合力沿AB的連線

∑X=0，R×COSα=0

若α≠90OR=0，物體平衡若α=90O，（AB⊥x）方程自然滿足，平衡不定ABxα用二力矩方程要求AB聯(lián)線不與x軸垂直用三力矩方程要求A、B、C三點(diǎn)不共線平衡方程的三種形式基本二力矩三力矩要求x

軸

不平行y軸要求AB聯(lián)線不與x軸垂直要求A、B、C

三點(diǎn)不共線形式限制條件平衡方程∑X=0∑Y=0∑MO(F)=0∑X=0∑MA(F)=0∑MB(F)=0∑M

A

(F)=0∑M

B

(F)=0∑MC

(F)=0平面平行力系的平衡方程

平行力系：力系中所有力的作用線都相互平行的力系。

于是，獨(dú)立的平衡方程數(shù)只有兩個(gè)∑Y=0∑MO

(F)=0或∑MA

(F)=0∑MB(F)=0A、B連線不與力平行F1F2F3FN如選x

軸與各力垂直就有∑X≡0xyO（1）保證起重機(jī)在滿載和空載時(shí)都不至翻倒，求平衡載荷P3應(yīng)為多少？塔式起重機(jī)如圖，P1=700kN，P2=200kN，試問(wèn)：例4-66m12m2m2mABP2P1P3NBNA（2）當(dāng)P3=180kN時(shí)，求滿載時(shí)軌道A、B

輪的約束反力。保證起重機(jī)在滿載和空載時(shí)都不至翻倒，求平衡載荷P3應(yīng)為多少？（P1=700kN，P2=200kN）6m12m2m2mABP2P1P3NBNA解：滿載而不翻倒時(shí)，臨界情況下，NA

=0∑MB

=0,

P3min(6+2)+2P1－P2(12－2)=0

P3min=(10P2－2P1)/8=75kN當(dāng)空載（

P2=0）而不翻到，臨界情況下，NB=0∑MA=0,P3max(6－2)－2P1=0

P3max=2P1/4=350kN得：75kN≤P3≤350kN當(dāng)P3=180kN時(shí)，求滿載時(shí)軌道A、B

給輪的反力。6m12m2m2mABP2P1P3NBNAP1=700kN，P2=200kN解：∑MA=0,

P3(6－2)－2P1－P2(12+2)+4NB

=0

NB=(14P2+2

P1

－4P3)/4=870kN∑Y=0,NA+NB

－P3－P1

－P2=0

NA

=210kN用∑MB=0可以進(jìn)行校驗(yàn)。§4-4剛體系的平衡·靜定和靜不定問(wèn)題工程結(jié)構(gòu)大都是幾個(gè)剛體組成的系統(tǒng)。為提高結(jié)構(gòu)堅(jiān)固性，常常增加多余約束，使未知量個(gè)數(shù)超過(guò)獨(dú)立方程數(shù)，這樣的問(wèn)題稱為靜不定或超靜定問(wèn)題。當(dāng)系統(tǒng)中的未知量個(gè)數(shù)等于獨(dú)立方程數(shù)，這樣的問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。在平面任意力系的作用下，每個(gè)物體可寫出三個(gè)平衡方程，若體系由n

個(gè)物體組成，則可寫出3n

個(gè)獨(dú)立方程。（平行、匯交力系減少）系統(tǒng)平衡時(shí)，組成該系統(tǒng)的每個(gè)物體皆平衡。ABC靜定和靜不定問(wèn)題對(duì)比（1）本問(wèn)題為平面匯交力系，獨(dú)立方程數(shù)為2個(gè)未知量的個(gè)數(shù)——（1）2個(gè)（2）3個(gè)PP靜定和靜不定問(wèn)題對(duì)比（2）XAYAMAXAYAMA本問(wèn)題為平面任意力系，獨(dú)立方程數(shù)為3個(gè)未知量4個(gè)未知量3個(gè)未知量3個(gè)未知量4個(gè)XAYAN1N2NXAYAN靜定和靜不定問(wèn)題對(duì)比（3）

獨(dú)立方程數(shù)6個(gè)

未知量

獨(dú)立方程數(shù)3個(gè)

未知量XAYAXBYBXAYAXBYBXCYCYC’XC’ABCAB6個(gè)4個(gè)

無(wú)底圓柱形空桶放在光滑水平面上，內(nèi)放兩個(gè)重球，每個(gè)球重P、半徑r，圓桶半徑R

。不計(jì)摩擦和桶壁厚，求圓桶不至翻倒的最小重量G

min

。例4-7PPABGCD取整體為研究對(duì)象，受力情況如圖。翻倒的臨界情況時(shí)，min桌面對(duì)圓筒的約束反力集中在最右邊的一點(diǎn)上。且：G=Gmin

。PPABCDCDaRb解1：分別以兩個(gè)球和圓桶為研究對(duì)象,畫受力圖。設(shè)BE=a

，AE=b。顯然，DO=BE=a

，b=2(R-r)。O以兩球?yàn)閷?duì)象EOOGmin∑MO(F)=0，

Gmin

R－FD’a=0Gmin

=FD’a／R=Pb

／R

Gmin=2P(1－r／R)→FD=Pb／a∑MA

(F)=0，F(xiàn)D

a－Pb=0FC’FCFB

FA

以桶為對(duì)象，選擇O點(diǎn)，解2：以兩個(gè)球?yàn)檠芯繉?duì)象ABCDPPNCDPPABOGminN→N=2P以整體為研究對(duì)象∑Y=0，N－P－P=0∑MO(F)=0， Pr+Gmin

R－(N－P)(2R－

r)

=0靜定組合梁如圖，已知Q=10kN，P=20kN，p=5kN/m，q=6kN/m和2a=1m。梁自重不計(jì)，求A，B的支座反力。2a2a2a2aaa例4-8ABCDXAYAMApqQPNB解：1、以CD為對(duì)象例3-8(續(xù)1)BDCqQNB2a2aaXCYC∑X=0，

XC=0∑MC(F)=0，－

Q·a+NB·2a－=0

NB

=Q

／2+4qa／3=9（kN)∑M

B

(F)=0,=0

Q

a－YC·

2a－

YC=Q／2-qa

／3=4kN)Q=10kN，q=6kN/m2a=1mNBYCXCNBXCYC例3-8(續(xù)2)2、再以AC為對(duì)象AC2a2aaPXAYAMApYC’XC’由（1）知,X

C’=0,YC’

=4kN∑X=0，X

A=0∑Y=0，YA－P

－

p·2a

－YC’=0

Y

A

=

P+p·2a+YC’=29(kN)∑M

A(F)=0，MA－P·a

－p·2a·3a－YC’·4a=0

MA

=10+7.5+8=25.5(kN·m)P=20kN，p=5kN/m，2a=1mXAYAMAXAYAMA校驗(yàn)：以整體為研究對(duì)象2a2a2a2aaaABCDXAYAMApqQPNBYA

－P

－p·2a

－Q+NB

－qa

=29－20－5－10+9－3=0

MA－P·a

－p·2a·3a－Q·5a+NB

·6a－

20qa2/3

=25.5－10－7.5－25+27－10=0∑Y=0，?∑MA

(F)=0，?????滿足圖示結(jié)構(gòu)，已知載荷F1、F2、M及尺寸a，且M=F1a，F(xiàn)2作用于銷釘上，求:

（1）固定端A的約束反力；

（2）銷釘

B

對(duì)

AB

桿及T

形桿的作用力。例4-9aaaa/2a/2BDEACF1F2M1、以CD為研究對(duì)象aaDCMXCYCXDYD∑MD(F)=0，YC·2a

-M=0

YC

=F1/2XCYCXDYDXCYCXDYDaaaa/2a/2BEACF1F2MDM=F1aYBT2、以T形桿為研究對(duì)象BECaaa/2a/2F1XC’YC’XBT∑Y=0,

YBT+YC’－F1=0

YBT

=F1

／2∑MC(F)=0,

XBT

a

－YBT

a－

F1a=0

XBT=3F1／2YBTXC’YC’XBTYBTXC’YC’XBTaaaa/2a/2BEACF1F2MD

Y’C=YC=F1/2前頁(yè)已算得：

XBT=3F1／2

YBT

=F1

／2XBT

和YBT

就是銷對(duì)T形桿的作用力3、以銷釘

b為研究對(duì)象YB’XB’F2∑X=0,XB’－XBT’=0 XB’=3F1／2∑Y=0,YB’－YBT’－F2=0YB’=YBT’+F2=F2+F1

／2XB’和

YB’

是懸臂梁AB對(duì)銷的作用力。顯然， XBT’=XBT=3F1／2

YBT’=YBT=F1／2YB’XB’YB’XB’aaaa/2a/2BEACF1F2MD前頁(yè)已算得：XB’=3F1／2，

YB’=F2+F1

／2

顯然，

XB=XB’=3F1／2

YB

=YB’=F2+F1

／2這就是銷對(duì)懸臂梁AB的作用力。

以懸臂梁AB為研究對(duì)象aBAXBYBXAYA∑X=0,

XA

－XB=0 XA=3F1／2∑Y=0, YA－YB=0YA

=