高數微積分第六章多元函數微積分§6.2多元函數的基本概念一、平面區(qū)域的概念二、二元函數概念三、二元函數的極限四、二元函數的連續(xù)性第2頁,共143頁，2024年2月25日，星期天注：

設P0(x0

y0)是xOy平面上的一個點

是某一正數

點P0的

鄰域記為U(P0

)

它是如下點集鄰域

如果不需要強調鄰域的半徑

則用U(P0)表示點P0的某個鄰域

點P0的某個去心鄰域記作下頁第3頁,共143頁，2024年2月25日，星期天下頁

任意一點P

R2與任意一個點集E

R2之間必有以下三種關系中的一種

點與點集之間的關系

內點

如果存在點P的某一鄰域U(P)

使得U(P)

E

則稱P為E的內點

外點

如果存在點P的某個鄰域U(P)

使得U(P)

E

則稱P為E的外點

邊界點

如果點P的任一鄰域內既有屬于E的點

也有不屬于E的點

則稱P點為E的邊點

邊界點內點外點

E的邊界點的全體

稱為E的邊界

記作

E

第4頁,共143頁，2024年2月25日，星期天開集

如果點集E的點都是內點,則稱E為開集.下頁閉集如果點集的余集Ec為開集

則稱E為閉集

舉例

點集E

{(x

y)|1<x2

y2<2}是開集也是開區(qū)域

點集E

{(x

y)|1

x2

y2

2}是閉集也是閉區(qū)域

點集E

{(x

y)|1

x2

y2

2}既非開集

也非閉集

區(qū)域(或開區(qū)域)

連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域

閉區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區(qū)域

第5頁,共143頁，2024年2月25日，星期天有界集

對于平面點集E

如果存在某一正數r

使得E

U(O

r)

其中O是坐標原點

則稱E為有界點集

無界集

一個集合如果不是有界集

就稱這集合為無界集

點集{(x

y)|x

y

0}是無界閉區(qū)域

點集{(x

y)|x

y

0}是無界開區(qū)域

舉例

點集{(x

y)|1

x2

y2

4}是有界閉區(qū)域

下頁第6頁,共143頁，2024年2月25日，星期天注：二、二元函數概念下頁舉例二元函數的定義

設D是R2的一個非空子集

稱映射f

D

R為定義在D上的二元函數

通常記為z

f(x

y)

(x

y)

D(或z

f(P)

P

D)其中D稱為該函數的定義域

x

y稱為自變量

z稱為因變量

函數值

與自變量x、y的一對值(x

y)相對應的因變量z的值稱為f在點(x

y)處的函數值

記作f(x

y)

即z

f(x

y)

值域

f(D)

{z|z

f(x

y)

(x

y)

D}

函數也可以用其它符號

如z

z(x

y)

z

g(x

y)等

第7頁,共143頁，2024年2月25日，星期天多元函數的定義域

函數z

ln(x

y)的定義域為

{(x

y)|x

y>0}

函數z

arcsin(x2

y2)的定義域為

{(x

y)|x2

y2

1}

舉例

下頁第8頁,共143頁，2024年2月25日，星期天z=ax+by+c二元函數的圖形點集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)

D}稱為二元函數z

f(x,y)的圖形.

二元函數的圖形是一張曲面.

z=ax+by+c表示一張平面.舉例

方程x2+y2+z2

a2確定兩個二元函數分別表示上半球面和下半球面,其定義域均為D={(x,y)|x2+y2

a2}.首頁第9頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

二重極限概念可以推廣到多元函數的極限.三、多元函數的極限二重極限的定義

設二元函數f(P)

f(x

y)也記作下頁第10頁,共143頁，2024年2月25日，星期天下頁

例

設22221sin)(),(yxyxyxf++=,

求),(lim)0,0(),(?yxfyx.),(lim)0,0(),(?yxfyx=0第11頁,共143頁，2024年2月25日，星期天必須注意

(1)二重極限存在,

是指P以任何方式趨于P0時,

函數都無限接近于A

.

(2)如果當P以兩種不同方式趨于P0時,

函數趨于不同的值,

則函數的極限不存在.

提示討論下頁第12頁,共143頁，2024年2月25日，星期天四、多元函數的連續(xù)性二元函數連續(xù)性定義

二元函數的連續(xù)性概念可相應地推廣到n元函數f(P)上去.下頁第13頁,共143頁，2024年2月25日，星期天性質1(有界性與最大值最小值定理)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數

必定在D上有界

且能取得它的最大值和最小值

多元連續(xù)函數的性質性質2(介值定理)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數必取得介于最大值和最小值之間的任何值

結束第14頁,共143頁，2024年2月25日，星期天§6.3偏導數一、偏導數的定義及其計算法二、高階偏導數上頁下頁鈴結束返回首頁第15頁,共143頁，2024年2月25日，星期天一、偏導數的定義及其計算法

類似地,可定義函數z

f(x,y)在點(x0,y0)處對y的偏導數.偏導數的定義

設函數z

f(x

y)在點(x0

y0)的某一鄰域內有定義

若極限存在

則稱此極限為函數z

f(x

y)在點(x0

y0)處對x的偏導數

記作>>>第16頁,共143頁，2024年2月25日，星期天一、偏導數的定義及其計算法偏導數的定義偏導數的符號

如果函數z

f(x,y)在區(qū)域D內每一點(x,y)處對x的偏導數都存在,那么f(x,y)對x的偏導數是x、y的函數,這個函數稱為函數z

f(x,y)對x的偏導函數(簡稱偏導數),記作偏導函數第17頁,共143頁，2024年2月25日，星期天一、偏導數的定義及其計算法偏導數的定義偏導數的符號偏導函數偏導函數的符號>>>第18頁,共143頁，2024年2月25日，星期天偏導數的求法求函數對一個自變量的偏導數時,只要把其它自變量看作常數,然后按一元函數求導法求導即可.偏導函數第19頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

例

求z

x2

3xy

y2在點(1,2)處的偏導數.

解

偏導函數第20頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

解

例

例

求z

x2sin2y的偏導數.

解

第21頁,共143頁，2024年2月25日，星期天證原結論成立．第22頁,共143頁，2024年2月25日，星期天有關偏導數的幾點說明：１.２.求分界點、不連續(xù)點處的偏導數要用定義求；解第23頁,共143頁，2024年2月25日，星期天3.偏導數存在與連續(xù)的關系？偏導數存在連續(xù).一元函數中在某點可導

連續(xù)，多元函數中在某點偏導數存在

連續(xù)，

對于多元函數來說,即使各偏導數在某點都存在,也不能保證函數在該點連續(xù).第24頁,共143頁，2024年2月25日，星期天但函數在點(0,0)并不連續(xù).在點(0,0),有fx(0,0)

0,fy(0,0)

0,提示：當點P(x

y)沿直線y

kx趨于點(0

0)時

有因此

函數f(x

y)在(0

0)的極限不存在

當然也不連續(xù)

第25頁,共143頁，2024年2月25日，星期天偏導數的幾何意義

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x0

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y0

z=f(x,

y0)z=f(x0,

y)

是截線z=f(x,

y0)在點(x0,

y0)處的切線Tx對x軸的斜率.

是截線z=f(x0,

y)在點(x0,

y0)處的切線Ty對y軸的斜率.第26頁,共143頁，2024年2月25日，星期天偏導數的幾何意義

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x0

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]y0

是截線z=f(x,

y0)在點(x0,

y0)處的切線Tx對x軸的斜率.

是截線z=f(x0,

y)在點(x0,

y0)處的切線Ty對y軸的斜率.第27頁,共143頁，2024年2月25日，星期天設某產品的需求量偏導數的經濟意義其中為該產品的價格，為消費者收入。稱需求對價格的偏彈性需求對收入的偏彈性第28頁,共143頁，2024年2月25日，星期天偏導數的經濟意義科布-道格拉斯生產函數其中是由用品的成本）。偏導數分別稱為人力的邊際生產力和資本的邊際生產力。個人力單位和個資本單位生產出的產品數量（資本是機器、場地、生產工具和其它第29頁,共143頁，2024年2月25日，星期天二、高階偏導數二階偏導數

如果函數z

f(x,y)的偏導數fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏導數,則它們的偏導數稱為函數z

f(x,y)的二階偏導數.

函數z

f(x,y)的二階偏導數有四個:其中fxy(x,y)、fyx(x,y)稱為混合偏導數.

類似地可定義三階、四階以及n階偏導數.第30頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

解

此例中兩個混合偏導數是相等的.

例

設z=x3y2-3xy3-xy+1,

求22xz??、33xz??、xyz???2和yxz???2.

第31頁,共143頁，2024年2月25日，星期天那么在該區(qū)域內這兩個二階混合偏導數必相等

定理

解

例

設z=x3y2-3xy3-xy+1,

求22xz??、33xz??、xyz???2和yxz???2.

第32頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

證

例

第33頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

證

例提示

第34頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

證

例第35頁,共143頁，2024年2月25日，星期天一、全微分的定義二、全微分在近似計算中的應用§6.4全微分上頁下頁鈴結束返回首頁應用

一元函數y=f(x)的微分近似計算估計誤差第36頁,共143頁，2024年2月25日，星期天由一元函數微分學中增量與微分的關系得一、全微分（perfectdifferential)第37頁,共143頁，2024年2月25日，星期天全增量(perfectincrement)的概念第38頁,共143頁，2024年2月25日，星期天全微分的定義其中A、B不依賴于

x、

y而僅與x、y有關,則稱函數z

f(x,

y)在點(x,

y)可微分,

而A

x

B

y稱為函數z

f(x,

y)在點(x,

y)的全微分,

記作dz,

即

dz

A

x

B

y.

如果函數在區(qū)域D內各點處都可微分,

那么稱這函數在D內可微分.

下頁

如果函數z

f(x,

y)在點(x,

y)的全增量

z

f(x

x,

y

y)

f(x,

y)可表示為第39頁,共143頁，2024年2月25日，星期天可微分與連續(xù)偏導數存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

這是因為,

如果z=f(x,

y)在點(x,

y)可微,則

z

f(x

x,

y

y)

f(x,

y)

A

x

B

y

o(r),因此函數z=f(x,

y)在點(x,

y)處連續(xù).下頁于是從而第40頁,共143頁，2024年2月25日，星期天可微分的必要條件>>>應注意的問題>>>下頁可微分與連續(xù)偏導數存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

如果函數z

f(x

y)在點(x

y)可微分

則函數在該點的偏導

偏導數存在是可微分的必要條件

但不是充分條件

第41頁,共143頁，2024年2月25日，星期天可微分的充分條件

以上結論可推廣到三元及三元以上函數.

下頁可微分的必要條件可微分與連續(xù)偏導數存在不一定連續(xù),

但可微分必連續(xù).

如果函數z

f(x

y)在點(x

y)可微分

則函數在該點的偏導則函數在該點可微分.

第42頁,共143頁，2024年2月25日，星期天疊加原理

按著習慣,

x、

y分別記作dx、dy,

并分別稱為自變量的微分,這樣函數z=f(x,

y)的全微分可寫作

二元函數的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數的微分符合疊加原理.

疊加原理也適用于二元以上的函數,

例如u

f(x,

y,

z)的全微分為下頁第43頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

例1

計算函數z

x2y

y2的全微分.

解

所以

例2

計算函數z

exy在點(2,1)處的全微分.

解

所以dz

2xydx

(x2

2y)dy.dz

e2dx

2e2dy.

下頁因為因為第44頁,共143頁，2024年2月25日，星期天解第45頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

解

首頁

例3

因為所以第46頁,共143頁，2024年2月25日，星期天設解:

類似可得機動目錄上頁下頁返回結束第47頁,共143頁，2024年2月25日，星期天二、全微分在近似計算中的應用下頁

當函數z

f(x,

y)在點(x0,

y0)處可微，那么函數L(x,y)

f

(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)

fy(x,

y)(y-y0),

就稱為函數z

f(x,y)在點(x0,y0)處的線性化.近似式

f(x,

y)

L(x,y)

稱為函數z

f(x,y)在點(x0,y0)處的標準線性近似.

例求函數在點(3,2)處的線性化.第48頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

當函數z

f(x,y)在點(x,y)的兩個偏導數fx(x,y),fy(x,y)連續(xù),并且|

x|,|

y|都較小時,有近似等式

z

dz

fx(x,y)

x

fy(x,y)

y,即f(x

x,y

y)

f(x,y)

fx(x,y)

x

fy(x,y)

y.

我們可以利用上述近似等式對二元函數作近似計算.第49頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

例4

有一圓柱體,

受壓后發(fā)生形變,

它的半徑由20cm增大到20.05cm,

高度由100cu減少到99cm.

求此圓柱體體積變化的近似值.

解

設圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V,

則有V

r2h.

即此圓柱體在受壓后體積約減少了200

cm3.

2

20

100

0.05

202

(

1)

V

dV

2

rh

r

r2

h

200

(cm3),

Vr

r

Vh

h下頁f(x

x,

y

y)

f(x,

y)

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y.

z

dz

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y,

已知r

20,

h

100,

r

0.05,

h

1,根據近似公式,

有第50頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

例5

計算(1.04)2.02的近似值.

(1.04)2.02所以

x

y

yx

y

1

x

x

ylnx

y,

f(x

x,

y

y)

f(x,

y)

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y

1.08.

12

2

12

1

0.04

12

ln1

0.02

解

設函數f(x,

y)

xy.

顯然,

要計算的值就是函數在

x

1.04,

y

2.02時的函數值f(1.04,2.02).

結束f(x

x,

y

y)

f(x,

y)

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y.

z

dz

fx(x,

y)

x

fy(x,

y)

y,因為

取x

1,

y

2,

x

0.04,

y

0.02.第51頁,共143頁，2024年2月25日，星期天練習題第52頁,共143頁，2024年2月25日，星期天第53頁,共143頁，2024年2月25日，星期天練習題答案第54頁,共143頁，2024年2月25日，星期天第五節(jié)、復合函數微分法與隱函數微分法一元復合函數求導法則微分法則第55頁,共143頁，2024年2月25日，星期天一、多元復合函數求導的鏈式法則定理.

若函數處偏導連續(xù),在點t可導,則復合函數且有鏈式法則1.復合函數的中間變量為一元函數情形第56頁,共143頁，2024年2月25日，星期天例如,上述定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.以上公式中的導數稱為全導數.第57頁,共143頁，2024年2月25日，星期天定理22.復合函數的中間變量為多元函數情形第58頁,共143頁，2024年2月25日，星期天鏈式法則如圖示第59頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

第60頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

設z

f(u

v)

u

(x

y)

v

(x

y)

則

例.

解:

exy[ysin(x

y)

cos(x

y)]

eusinv

1

eucosv

y

eusinv

exy[xsin(x

y)

cos(x

y)]

1

eucosv

x

設z

f(u

v)

u

(t)

v

(t)

則第61頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

3.復合函數的中間變量既有一元又有多元函數情形第62頁,共143頁，2024年2月25日，星期天特殊地即其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似第63頁,共143頁，2024年2月25日，星期天解:第64頁,共143頁，2024年2月25日，星期天例.解:第65頁,共143頁，2024年2月25日，星期天為簡便起見,引入記號例.設

f

具有二階連續(xù)偏導數,求解:

令則第66頁,共143頁，2024年2月25日，星期天全微分形式不變性的實質：無論是自變量的函數或中間變量的函數，它的全微分形式是一樣的.全微分形式不變性二、多元復合函數的全微分第67頁,共143頁，2024年2月25日，星期天第68頁,共143頁，2024年2月25日，星期天例1.例.利用全微分形式不變性解例1.解:所以第69頁,共143頁，2024年2月25日，星期天三、隱函數微分法隱函數的求導公式第70頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

例.

驗證方程x2

y2

1

0在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x

0時y

1的隱函數y

f(x),并求這函數的一階與二階導數在x

0的值.

解:

設F(x,y)

x2

y2

1,Fx

2x,Fy

2y,F(0,1)

0,Fy(0,1)

2

0.隱函數存在定理:則

設函數F(x

y)在點P(x0

y0)的某一鄰域內具有連續(xù)偏導數

F(x0

y0)

0

Fy(x0

y0)

0

則方程F(x

y)

0在點(x0

y0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數的函數y

f(x)

它滿足條件y0

f(x0).

由隱函數存在定理,方程x2

y2

1

0在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x

0時y

1的隱函數y

f(x).第71頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

解:

設F(x,y)

x2

y2

1,Fx

2x,Fy

2y,F(0,1)

0,Fy(0,1)

2

0.則由隱函數存在定理,方程x2

y2

1

0在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x

0時y

1的隱函數y

f(x).提示:

由方程F(x,y)

0確定的隱函數y

f(x)的導數為

例.

驗證方程x2

y2

1

0在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x

0時y

1的隱函數y

f(x),并求這函數的一階與二階導數在x

0的值.第72頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

解:

設F(x,y)

x2

y2

1,Fx

2x,Fy

2y,F(0,1)

0,Fy(0,1)

2

0.則由隱函數存在定理,方程x2

y2

1

0在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x

0時y

1的隱函數y

f(x).

例.

驗證方程x2

y2

1

0在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個有連續(xù)導數、當x

0時y

1的隱函數y

f(x),并求這函數的一階與二階導數在x

0的值.第73頁,共143頁，2024年2月25日，星期天隱函數存在定理>>>

設函數F(x

y

z)在點P(x0

y0

z0)的某一鄰域內具有連續(xù)的偏導數

且F(x0

y0

z0)

0

Fz(x0

y0

z0)

0

則方程F(x

y

z)

0在點(x0

y0

z0)的某一鄰域內恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數的函數z

f(x

y)

它滿足條件z0

f(x0

y0)

并有第74頁,共143頁，2024年2月25日，星期天解:令則第75頁,共143頁，2024年2月25日，星期天內容小結1.復合函數求導的鏈式法則“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”例如,2.全微分形式不變性不論u,v是自變量還是因變量,3.隱函數微分法.第76頁,共143頁，2024年2月25日，星期天練習題第77頁,共143頁，2024年2月25日，星期天一、多元函數的極值及最大值、最小值二、條件極值拉格朗日乘數法§6.6多元函數的極值及其求法上頁下頁鈴結束返回首頁第78頁,共143頁，2024年2月25日，星期天一、多元函數的極值及最大值、最小值下頁極值的定義

設函數z

f(x

y)在點(x0

y0)的某個鄰域內有定義

如果對于該鄰域內任何異于(x0

y0)的點(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數在點(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值

使函數取得極值的點稱為極值點

第79頁,共143頁，2024年2月25日，星期天一、多元函數的極值及最大值、最小值極值的定義

設函數z

f(x

y)在點(x0

y0)的某個鄰域內有定義

如果對于該鄰域內任何異于(x0

y0)的點(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數在點(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

例

函數z

3x2

4y2在點(0,0)處有極小值.提示:

當(x,

y)=(0,0)時,z=0,而當(x,

y)

(0,0)時,z

0.

因此z=0是函數的極小值.下頁第80頁,共143頁，2024年2月25日，星期天一、多元函數的極值及最大值、最小值極值的定義

設函數z

f(x

y)在點(x0

y0)的某個鄰域內有定義

如果對于該鄰域內任何異于(x0

y0)的點(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數在點(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

提示:

例

當(x,

y)=(0,0)時,z=0,而當(x,

y)

(0,0)時,z

0.因此z=0是函數的極大值.下頁第81頁,共143頁，2024年2月25日，星期天提示:

因為在點(0,0)處的函數值為零,而在點(0,0)的任一鄰域內,總有使函數值為正的點,也有使函數值為負的點.

例

函數z

xy在點(0,0)處既不取得極大值也不取得極小值.下頁一、多元函數的極值及最大值、最小值極值的定義

設函數z

f(x

y)在點(x0

y0)的某個鄰域內有定義

如果對于該鄰域內任何異于(x0

y0)的點(x

y)

都有f(x

y)<f(x0

y0)(或f(x

y)>f(x0

y0))

則稱函數在點(x0

y0)有極大值(或極小值)f(x0

y0)

第82頁,共143頁，2024年2月25日，星期天下頁定理1(取得極值的必要條件)

設函數z

f(x

y)在點(x0

y0)具有偏導數

且在點(x0

y0)處有極值

則有fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

類似地可推得

如果三元函數u

f(x

y

z)在點(x0

y0

z0)具有偏導數

則它在點(x0

y0

z0)具有極值的必要條件為fx(x0

y0

z0)

0

fy(x0

y0

z0)

0

fz(x0

y0

z0)

0

>>>第83頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

凡是能使fx(x

y)

0

fy(x

y)

0同時成立的點(x0

y0)稱為函數z

f(x

y)的駐點

駐點

設函數z

f(x

y)在點(x0

y0)具有偏導數

且在點(x0

y0)處有極值

則有fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

下頁討論

駐點與極值點的關系怎樣？提示

具有偏導數的函數的極值點必定是駐點

函數的駐點不一定是極值點

>>>定理1(取得極值的必要條件)例如,有駐點(0,0),

但在該點不取極值.第84頁,共143頁，2024年2月25日，星期天下頁定理2(取得極值的充分條件)

設函數z

f(x

y)在點(x0

y0)的某鄰域內連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數

又fx(x0

y0)

0

fy(x0

y0)

0

令fxx(x0

y0)

A

fxy(x0

y0)

B

fyy(x0

y0)

C

則f(x

y)在(x0

y0)處是否取得極值的條件如下

(1)AC

B2>0時具有極值

且當A<0時有極大值

當A>0時有極小值

(2)AC

B2<0時沒有極值

(3)AC

B2

0時可能有極值

也可能沒有極值

第85頁,共143頁，2024年2月25日，星期天極值的求法第一步解方程組fx(x

y)

0

fy(x

y)

0

求得一切實數解

即可得一切駐點.

第二步對于每一個駐點(x0

y0)

求出fxx(x0

y0)

fxy(x0

y0)

fyy(x0

y0)

第三步定出fxx(x0

y0)

fyy(x0

y0)

-fxy2(x0

y0)的符號

判定f(x0

y0)是否是極值、是極大值還是極小值

函數f(x

y)在駐點處如果fxx

fyy-fxy2>0

則函數在駐點處取得極值

如果fxx

fyy-fxy2>0

則函數在駐點處不取得極值

在極值點處

當fxx<0時有極大值

當fxx>0時有極小值

下頁第86頁,共143頁，2024年2月25日，星期天例求函數解:第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數第87頁,共143頁，2024年2月25日，星期天在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;第88頁,共143頁，2024年2月25日，星期天例

討論函數及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為第89頁,共143頁，2024年2月25日，星期天應注意的問題不是駐點也可能是極值點.

因此,在考慮函數的極值問題時,除了考慮函數的駐點外,如果有偏導數不存在的點,那么對這些點也應當考慮.下頁但(0

0)不是函數的駐點

第90頁,共143頁，2024年2月25日，星期天最大值和最小值問題如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.討論:

比較極值的大小就能確定函數的最大值和最小值嗎？提示:

不能,最大值和最小值也可能在區(qū)域的邊界上取得,而極值是在區(qū)域的內部求得的.下頁第91頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

使函數取得最大值或最小值的點既可能在D的內部,也可能在D的邊界上.最大值和最小值的求法

將函數f(x,y)在D內的所有駐點處的函數值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.

如果函數f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的內部取得,而函數在D內只有一個駐點,那么該駐點處的函數值就是函數f(x,y)在D上的最大值(最小值).下頁最大值和最小值問題如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.第92頁,共143頁，2024年2月25日，星期天下頁

例某廠要用鐵板做成一個體積為8m3的有蓋長方體水箱

問當長、寬、高各取多少時

才能使用料最省

解

根據題意可知

水箱所用材料面積的最小值一定存在

并在開區(qū)域D

{(x

y)|x>0

y>0}內取得又因為函數在D內只有一個駐點(2

2)

所以此駐點一定是A的最小值點

設水箱的長為xm

寬為ym

則所用材料的面積為水箱所用的材料最省

第93頁,共143頁，2024年2月25日，星期天二、條件極值拉格朗日乘數法條件極值對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.

上述問題就是求函數V

xyz在條件2(xy

yz

xz)

a2下的最大值問題,這是一個條件極值問題.

例如,求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題.

設長方體的三棱的長為x,y,z,則體積V

xyz.

又因假定表面積為a2,所以自變量x,y,z還必須滿足附加條件2(xy

yz

xz)

a2.下頁第94頁,共143頁，2024年2月25日，星期天求條件極值的方法(1)將條件極值化為無條件極值

例如,求V

xyz在條件2(xy

yz

xz)

a2下的最大值.

有時可以把條件極值問題化為無條件極值問題.這就把求條件極值問題轉化成了求無條件極值問題.下頁二、條件極值拉格朗日乘數法條件極值對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.第95頁,共143頁，2024年2月25日，星期天(2)用拉格朗日乘數法

在多數情況下較難把條件極值轉化為無條件極值,需要用一種求條件極值的專用方法,這就是拉格朗日乘數法.下頁求條件極值的方法(1)將條件極值化為無條件極值二、條件極值拉格朗日乘數法條件極值對自變量有附加條件的極值稱為條件極值.第96頁,共143頁，2024年2月25日，星期天拉格朗日乘數法

要找函數z

f(x,y)在附加條件j(x,y)

0下的可能極值點,可以先作輔助函數(拉格朗日函數)F(x,y)

f(x,y)

lj(x,y),其中l(wèi)為某一常數(拉格朗日乘子).

然后解方程組

上述方程組的解(x,y)就是所要求的可能的極值點,

對于所求得的可能的極值點還需判斷是否是極值點,在實際問題中往往可根據問題本身的性質來判定.下頁第97頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

例

求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積.

設長方體的三個棱長x,y,z,則問題就是求函數V

xyz在條件2(xy

yz

xz)=a2下的最大值.

作拉格朗日函數解方程組F(x,y,z)

xyz

l(2xy

2yz

2xz

a2),結束

因為由問題本身可知最大值一定存在

所以最大值就在這個可能的值點處取得

此時

解

第98頁,共143頁，2024年2月25日，星期天小結1.函數的極值問題第一步利用必要條件在定義域內找駐點.即解方程組第二步利用充分條件判別駐點是否為極值點.2.函數的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(2)一般問題用拉格朗日乘數法第99頁,共143頁，2024年2月25日，星期天設拉格朗日函數如求二元函數下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點及邊界點上函數值的大小?根據問題的實際意義確定最值第一步找目標函數,確定定義域(及約束條件)3.函數的最值問題在條件求駐點.第100頁,共143頁，2024年2月25日，星期天解按題意，即求函數在條件第101頁,共143頁，2024年2月25日，星期天第102頁,共143頁，2024年2月25日，星期天解由第103頁,共143頁，2024年2月25日，星期天第104頁,共143頁，2024年2月25日，星期天一、二重積分的概念二、二重積分的性質§6.7二重積分的概念與性質第105頁,共143頁，2024年2月25日，星期天一、二重積分的概念1

曲頂柱體的體積

設一立體的底是xOy面上的閉區(qū)域D

它的側面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面

它的頂是曲面z

f(x

y)

這里f(x

y)

0且在D上連續(xù)

這種立體叫做曲頂柱體

第106頁,共143頁，2024年2月25日，星期天提示

相應地把曲頂柱體分成了n個小曲頂柱體.提示

其中l(wèi)為各小區(qū)域直徑的最大值.用小平頂柱體的體積近似代替小曲頂柱體的體積Vi

Vi

f(

i

i)

i

用小平頂柱體的體積之和近似代替整個曲頂柱體體積

將分割加細

取極限

求得曲頂柱體體積的精確值

si(xi,hi)一、二重積分的概念1

曲頂柱體的體積用曲線網把D分成小區(qū)域

1

2

n

第107頁,共143頁，2024年2月25日，星期天二重積分的定義

設f(x

y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數

將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域

1

2

n

其中

i表示第i個小閉區(qū)域

也表示它的面積

在每個小閉區(qū)域

i上任取一點(

i

i)

作和

設

為各小閉區(qū)域的直徑中的最大值

如果當

0時這和式的極限總存在

則稱此極限為函數f(x

y)在閉區(qū)域D上的二重積分

記為第108頁,共143頁，2024年2月25日，星期天———積分號

二重積分的定義積分中各部分的名稱

f(x

y)——被積函數

f(x

y)d—被積表達式

d———面積元素

x

y———積分變量

D————積分區(qū)域

——積分和

第109頁,共143頁，2024年2月25日，星期天對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義:當被積函數大于零時，二重積分是柱體的體積．當被積函數小于零時，二重積分是柱體的體積的負值．第110頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素(arealelement)為第111頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

二、二重積分的性質性質1設c1、c2為常數

則性質2

如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個閉區(qū)域D1與D2

則第112頁,共143頁，2024年2月25日，星期天注

二、二重積分的性質性質1設c1、c2為常數

則

如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域

則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和

性質2

如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個閉區(qū)域D1與D2

則第113頁,共143頁，2024年2月25日，星期天

二、二重積分的性質性質1設c1、c2為常數

則性質2

如果閉區(qū)域D被一條曲線分為兩個閉區(qū)域D1與D2

則性質3第114頁,共143頁，2024年2月25日，星期天性質4

如果在D上

f(x

y)

g(x

y)

則有不等式

特殊地有性質5

設M、m分別是f(x

y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值

為D的面積

則有性質6(二重積分的中值定理)

設函數f(x