36尺規作圖（含解析）

一、選擇題

1.2020?內蒙古通遼，T6,3分）根據圓規作圖的痕跡，可用直尺成功地找到三角形內

心的是（）

【考點】MI：三角形的內切圓與內心；N2：作圖-基本作圖

【專題】64：幾何直觀；13：作圖題

【分析】利用基本作圖和三角形內心的定義進行判斷.

【解答】解：三角形內心為三角形內角平分線的交點，選項8中作了兩個交的平分線.

故選：B.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一

個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂

線）.也考查了線段垂直平分線的性質.

2.（2020湖北宜昌，T4,3分）如圖，點E,F,G,Q,H在一條直線上，且=,

我們知道按如圖所作的直線/為線段FG的垂直平分線.下列說法正確的是（）

I

X

EFGOH

A./是線段E"的垂直平分線B./是線段EQ的垂直平分線

C./是線段融的垂直平分線D.E”是/的垂直平分線

【考點】KG：線段垂直平分線的性質

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；67：推理能力

【分析】根據垂直平分線的性質定理判斷即可.

【解答】解：如圖：

I

X

"EF0G0H

\Z

A.直線/為線段FG的垂直平分線，

:.FO=GO,l±FG,

EF=GH,

：.EF+FO=OG+GH,

即

為線段的垂直平分線，故此選項正確；

B.EOwOQ,

，/不是線段EQ的垂直平分線，故此選項錯誤；

C.FO豐OH,

不是線段我的垂直平分線，故此選項錯誤；

D./為直線，E”不能平分直線/,

.?.E"不是/的垂直平分線，故此選項錯誤；

故選：A.

【點評】本題主要考查了垂直平分線的性質和判定定理，熟練運用定理是解答此題的關鍵.

3.（2020?廣東深圳，T8,3分）如圖，在AABC中，AB=AC.在AB、AC上分別截取AP,

AQ,使紀建.再分別以點尸，。為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在N54C

內交于點H,作射線4?,交BC于點D.若BC=6,則%）的長為（）

【考點】N2：作圖-基本作圖；KH：等腰三角形的性質

【專題】67：推理能力；13：作圖題；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】依據等腰三角形的性質，即可得到8。=工8（7,進而得出結論.

2

【解答】解：由題可得，4?平分N54C,

又AB=AC,

二AD是三角形ABC的中線，

:.BD=-BC=-x6=3,

22

故選：B.

【點評】本題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的性質，等腰三角形的頂角平分線、底邊

上的中線、底邊上的高相互重合.

1.（2020?包頭?T12?3分）如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,BC>AC,按以下步驟作

圖：

（1）分別以點A,2為圓心，以大于‘48的長為半徑作弧，兩弧相交于N兩點（點

2

M在48的上方）；

（2）作直線MN交A8于點。，交BC于點、D；

（3）用圓規在射線0M上截取OE=OD連接AD,AE,BE,過點。作OFLAC.重足

為F,交于點G.

下列結論：

①CD=2GF；

@BD2-CD2^AC2；

（3）5ABOE=2SAAOG；

④若AC=6,OF+Q4=9,則四邊形AOBE的周長為25.

其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】KG：線段垂直平分線的性質；KQ：勾股定理；N3：作圖一復雜作圖.

【專題】13：作圖題；64：幾何直觀；66：運算能力；67：推理能力.

【分析】①根據作圖過程可得，四邊形AD2E是菱形，再根據三角形中位線定理即可判

斷；

②根據菱形的四個邊都相等，再根據勾股定理即可判斷；

③根據三角形一邊的中線分兩個三角形面積相等即可判斷；

④根據勾股定理先求出OF的長，再求出AD的長，進而可以得四邊形ADBE的周長為

25,進而即可判斷.

【解答】解：根據作圖過程可知：

DELAB,AO=BO,OE=OD,

，四邊形AD3E是菱形，

OFLAC,BCLAC,

：.OFLBC,

y,AO=BO,

：.AF=CF,AG=GD,

:.CD=2FG.

①正確；

:四邊形是菱形，

：.AD=BD,

在Rt^AC。中，根據勾股定理，得

AD2-CD2^AC2,

：.BDr-CD2=AC2.

???②正確；

?.?點G是A。的中點，

??SAAOD=2SAAOG，

,**S/\AOD=S/^BOEf

S/\BOE=2S^AOG；

???③正確；

11

：”=—AC=—x6=3,

22

又OF+OA=9,

：.OA=9-OF,

在RtZXAP。中，根據勾股定理，得

(9-OF)2=OF2+32,

解得OF=4,

，OA=5,

，AB=10,

：.BC=S,

：.BD+DC^AD+DC^8,

；.CD=8-AD,

在RtZXACD中，根據勾股定理，得

AD2^62+(8-AD)2,

25

解得=1,

4

菱形ADBE的周長為4AD=25.

...④正確.

綜上所述：①②③④.

故選：D.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖、線段垂直平分線的性質、勾股定理，解決本題的

關鍵是綜合運用以上知識.

L（2020湖南湘西州，T6,4分）己知NAOB,作NAO3的平分線31,在射線上截

取線段OC,分別以。、C為圓心，大于工OC的長為半徑畫弧，兩弧相交于E,F.畫直

2

線EF,分別交OA于。，交OB于G.那么AODG一定是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【考點】N2：作圖-基本作圖；KI：等腰三角形的判定

【專題】67：推理能力；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】依據已知條件即可得到=即可得到8=OG,進而得出AODG是

等腰三角形.

【解答】解：如圖所示，平分NAO3,

ZAOC=NBOC,

由題可得，DG垂直平分OC,

:.NOED=NOEG=90。,

:.AODE=AOGE,

:.OD=OG,

.?.△ODG是等腰三角形，

【點評】本題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的判定，如果一個三角形有兩個角相等,

那么這兩個角所對的邊也相等.

2.1.（3分）（2020?通遼）根據圓規作圖的痕跡，可用直尺成功地找到三角形內心的是（

)

【考點】MI：三角形的內切圓與內心；N2：作圖-基本作圖

【專題】64：幾何直觀；13：作圖題

【分析】利用基本作圖和三角形內心的定義進行判斷.

【解答】解：三角形內心為三角形內角平分線的交點，選項3中作了兩個交的平分線.

故選：B.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一

個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作己知角的角平分線；過一點作已知直線的垂

線）.也考查了線段垂直平分線的性質.

1.（2020貴州貴陽，T9,3分）如圖，RtAABC中，NC=90。，利用尺規在BC,54上分別

截取BE,BD,使BE=BD；分別以E為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧

2

在NCR4內交于點F；作射線6尸交AC于點G.若CG=1,。為Afi上一動點，則GP的

最小值為（）

2

【考點】KF：角平分線的性質；J4：垂線段最短；N2：作圖-基本作圖

【專題】69：應用意識；13：作圖題

【分析】如圖，過點6作3/，45于根據角平分線的性質定理證明GH=GC=1,利

用垂線段最短即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點G作GH_LAB于X.

由作圖可知，GB平分NABC,

GHIBA,GC±BC,

:.GH=GC=1,

根據垂線段最短可知，GP的最小值為1,

故選：C.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，垂線段最短，角平分線的性質等知識，解題的關鍵是熟

練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

3.1.（2020浙江嘉興，T9,3分）如圖，在等腰AABC中，AB=AC=2卮3c=8,按

下列步驟作圖：

①以點A為圓心，適當的長度為半徑作弧，分別交AC于點E,F,再分別以點E,

尸為圓心，大于工所的長為半徑作弧相交于點作射線AH；

2

②分別以點A,3為圓心，大于工4?的長為半徑作弧相交于點〃，N,作直線交

2

射線于點O；

③以點。為圓心，線段。4長為半徑作圓.

則O的半徑為（）

A.2A/5B.10C.4D.5

【考點】N3：作圖-復雜作圖；M2：垂徑定理；KH：等腰三角形的性質

【專題】13：作圖題；69：應用意識

【分析】如圖，設。4交3C于T.解直角三角形求出AT,再在RtAOCT中，利用勾股定理

構建方程即可解決問題.

【解答】解：如圖，設。4交于T.

AB=AC=245,AO平分ZfiAC,

:.AO±BC,BT=TC=4,

AT=1AC。-CT。=7（2^）2-42=2,

在RtAOCT中,則有人=（—2）2+42,

解得廠=5,

故選：D.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，等腰三角形的性質，垂徑定理等知識，解題的關鍵是理

解題意，靈活運用所學知識解決問題.

二、填空題

1.（2020?遼寧遼陽，T16,3分）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2BC,分

別以點A和3為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點和N,作直線MN,

2

交AC于點E,連接班，若CE=3,則郎的長為5.

【考點】KG：線段垂直平分線的性質；N2：作圖-基本作圖

【專題】13：作圖題；69：應用意識

【分析】設=M=在RtABEC中，利用勾股定理構建方程即可解決問題.

【解答】解：由作圖可知，垂直平分線段AB,

AE=EB,

^.AE=EB-x，

EC=3,AC=2BC,

BC=1（x+3）,

在RtABCE中，BE1=BC2+EC2,

.-.X2=32+[|（X+3）]2,

解得，x=5或-3（舍棄），

BE=5,

故答案為5.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質，勾股定理等知識，解題的關

鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型.

2.（2020廣東佛山，河源，惠州，江門，T15,4分）如圖，在菱形ABC。中，NA=30。，

取大于的長為半徑，分別以點A,8為圓心作弧相交于兩點，過此兩點的直線交

2

邊于點E（作圖痕跡如圖所示），連接BE,BD.則NE3D的度數為45。.

D

B

題15圖

【考點】KG：線段垂直平分線的性質；L8：菱形的性質；N2：作圖一基本作圖.

【專題】13：作圖題；556：矩形菱形正方形；69：應用意識.

【分析】根據求出/AB。，NA8E即可解決問題.

【解答】解：???四邊形A8CO是菱形，

：.AD=AB,

：.ZABD^ZADB=-（180°-NA）=75°,

由作圖可知，EA=EB,

：.NABE=NA=30。，

ZEBD=ZABD-ZABE=75°-30°=45°,

故答案為45。.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，菱形的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是

熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

3.（2020湖北荊州，T13,3分）已知：△ABC,求作：△ABC的外接圓.作法：①分別作

線段BC,AC的垂直平分線斯和MN,它們相交于點。；②以點。為圓心，OB的長為

半徑畫圓.如圖，。。即為所求，以上作圖用到的數學依據有：線段的垂直平分線的

性質.（只需寫一條）

【考點】KG：線段垂直平分線的性質；MA：三角形的外接圓與外心；N3：作圖一復雜

作圖.

【專題】55A：與圓有關的位置關系；64：幾何直觀.

【分析】利用線段垂直平分線的性質得到OA=OC=OB,然后根據點與圓的位置關系可

判斷點A、C在。。上.

【解答】解：：點。為AC和BC的垂直平分線的交點，

.?Q=OC=OB,

,。。為△ABC的外接圓.

故答案為：線段的垂直平分線的性質.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，

一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖

形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

4.（2020?新疆，T13,5分）如圖，在x軸，y軸上分別截取tM,OB,使04=08,再分

別以點A,8為圓心，以大于工河長為半徑畫弧，兩弧交于點尸.若點p的坐標為

2

（a,?-3）,則a的值為3.

【考點】D5：坐標與圖形性質

【專題】17：推理填空題；531：平面直角坐標系；31：數形結合；66：運算能力；67：推

理能力；551：線段、角、相交線與平行線

【分析】根據作圖方法可知點尸在ZBOA的角平分線上，由角平分線的性質可知點P到x軸

和y軸的距離相等，結合點尸在第一象限，可得關于。的方程，求解即可.

【解答】解：OA^OB,分別以點A,3為圓心，以大于LAB長為半徑畫弧，兩弧交于

2

點尸，

點P在NBQ4的角平分線上，

點尸到x軸和y軸的距離相等，

又點P在第一象限，點尸的坐標為（a,2a-3）,

a=2a—3,

a=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了角平分線的作法及其性質在坐標與圖形性質問題中的應用，明確題中的

作圖方法及角平分線的性質是解題的關鍵.、

5.（2020?新疆，T13,5分）如圖，在光軸，y軸上分別截取04,OB,使。4=08,再分

別以點A,8為圓心，以大于LAB長為半徑畫弧，兩弧交于點尸.若點尸的坐標為

2

（a,勿-3）,則a的值為3.

B-、年

~0X

【考點】D5：坐標與圖形性質

【專題】17：推理填空題；531：平面直角坐標系；31：數形結合；66：運算能力；67：推

理能力；551：線段、角、相交線與平行線

【分析】根據作圖方法可知點P在NBOA的角平分線上，由角平分線的性質可知點P到x軸

和y軸的距離相等，結合點P在第一象限，可得關于a的方程，求解即可.

【解答】解：OA=OB,分別以點A,3為圓心，以大于工45長為半徑畫弧，兩弧交于

2

點P,

二.點尸在NBQ4的角平分線上，

.?.點P到x軸和y軸的距離相等，

又點尸在第一象限，點尸的坐標為(a,2a-3),

:.a=2a—3f

.,.a=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了角平分線的作法及其性質在坐標與圖形性質問題中的應用，明確題中的

作圖方法及角平分線的性質是解題的關鍵.、

6.(2020?揚州,Tl,3分)如圖，在AABC中，按以下步驟作圖：

①以點3為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB、BC于點、D、E.

②分別以點。、E為圓心，大于工。石的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點

2

③作射線防交AC于點G.

如果AB=8,BC=12,AABG的面積為18,則ACBG的面積為27.

【考點】N2：作圖-基本作圖；KF：角平分線的性質

【專題】13：作圖題；67：推理能力；64：幾何直觀；66：運算能力

【分析】過點3作&以_148于點GN_LAC于點N,根據作圖過程可得AG是NABC的

平分線，根據角平分線的性質可得GM=QV,再根據AABG的面積為18,求出GM的長，

進而可得ACBG的面積.

【解答】解：如圖，過點G作GM_LAB于點A/,GN1AC于點、N,

根據作圖過程可知：

3G是NABC的平分線，

:.GM=GN,

AABG的面積為18,

.-.-xABxGM=18,

2

，4GW=18,

9

:.GM=-,

2

11Q

.?.△CBG的面積為：-xBCxG?/=-xl2x-=27.

222

故答案為：27.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖、角平分線的性質，解決本題的關鍵是掌握角平分線的

性質.

1.1.（3分）（2020?遼陽）如圖，在RtAABC中，NACB=90。，AC=2BC,分別以點A和

3為圓心，以大于LAB的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N,作直線交AC于點

2

E,連接3E,若CE=3,則班的長為5

【考點】KG：線段垂直平分線的性質；N2：作圖-基本作圖

【專題】13：作圖題；69：應用意識

【分析】設=M=在RtABEC中，利用勾股定理構建方程即可解決問題.

【解答】解：由作圖可知，垂直平分線段AB,

AE=EB,

^AE=EB=x，

EC=3,AC=2BC,

BC=1（x+3）,

在RtABCE中，BE1=BC2+EC2,

.-.X2=32+[|（X+3）]2,

解得，x=5或-3（舍棄），

BE=5,

故答案為5.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質，勾股定理等知識，解題的關

鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型

2.2.（2020?廣東潮州，T15,4分）如圖，在菱形中，4=30°,取大于工/8的長

2

為半徑，分別以點48為圓心作弧相交于兩點，過此兩點的直線交/〃邊于點E（作圖痕

跡如圖所示），連接宛，BD.則N四的度數為45°.

題15圖

【考點】KG：線段垂直平分線的性質；L8：菱形的性質；N2：作圖一基本作圖.

【專題】13：作圖題；556：矩形菱形正方形；69：應用意識.

【分析】根據N加N/8F,求出N48D,N/8F即可解決問題.

【解答】解：；四邊形是菱形，

：.AD=AB,

:.NABD=NADB=L（180°-Z/）=75°,

2

由作圖可知，EA=EB,

：.ZABE=ZA=30a,

:/EBD=/ABD-NABE=15°-30°=45°,

故答案為45°.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，菱形的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關

鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

1.（2020邵陽，T14,3分）如圖，線段AB=10cm,用尺規作圖法按如下步驟作圖.

（1）過點3作AB的垂線，并在垂線上取=

2

（2）連接AC,以點C為圓心，CB為半徑畫弧，交AC于點E；

（3）以點A為圓心，AE為半徑畫弧，交AB于點。.即點。為線段的黃金分割點.則

線段相＞的長度約為6.18cm.（結果保留兩位小數，參考數據：梃=1.414,白=1.732,

【考點】N3：作圖-復雜作圖；KQ；勾股定理；14：近似數和有效數字

【專題】13：作圖題；69：應用意識

【分析】根據作圖得AASC為直角三角形，CE=BC=-AB^5cm,AE=AD,根據勾股定

2

理求出AC,再求出花，即可求出AD.

【解答】解：由作圖得AABC為直角三角形，CE=BC=-AB=5cm,AE^AD,

2

AC=VAS2+BC2=A/102+52=5非cm,

AE=AC-CE=5A/5-5=5(75-l)cm,

AD=A￡=5（75-1）^6.18CTTI.

故答案為：6.18.

【點評】本題考查了尺規作圖，勾股定理等知識，根據作圖步驟得到相關已知條件是解題關

鍵.

2.（2020寧夏，T14,3分）如圖，在AABC中，ZC=84°,分別以點A、5為圓心，以大

于LAB的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點加、N,作直線交AC點以點3為圓心,

2

適當長為半徑畫弧，分別交54、BC于點E、F,再分別以點E、E為圓心，大于‘EF的

2

長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線此時射線3P恰好經過點。，則/4=32度.

【考點】N3：作圖-復雜作圖；KG-.線段垂直平分線的性質

【專題】13：作圖題；64：幾何直觀；67：推理能力

【分析】由作圖可得是線段4?的垂直平分線，班?是44BC的平分線，根據它們的性

質可得ZA=ZABD=NCBD,再根據三角形內角和定理即可得解.

【解答】解：由作圖可得，是線段AB的垂直平分線，皿）是NABC的平分線，

:.AD=BD,ZABD=ZCBD=-ZABC,

2

:.ZA=ZABD,

:.ZA=ZABD=NCBD,

ZA+ZABC+ZC=180°,且NC=84°,

ZA+2ZAB￡>=180°-ZC,

即3ZA=180°-84°,

,-.ZA=32°.

故答案為：32.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖，解決本題的關鍵是掌握線段垂直平分線的作法和角平

分線的作法.

1.（2020綏化T22,6分）（1）如圖，已知線段Afi和點O,利用直尺和圓規作AABC,使點

。是AABC的內心（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在所畫的AABC中，若NC=90。，AC=6,BC=8,則AABC的內切圓半徑是，

*O

~AB

【考點】MI-.三角形的內切圓與內心；N3：作圖-復雜作圖

【專題】69：應用意識；13：作圖題

【分析】（1）作射線AO,BO,作NC4O=NBAO,=可得A4BC.

（2）利用面積法求解即可.

【解答】解：（1）如圖，AABC即為所求.

NC=90°,AC=6,BC=8,

AB=7AC2+BC2=^62+82=10,

-ACBC=-r（AB+AC+BC）,

22

48c

r——=2，

24

故答案為2.

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，三角形的內切圓與內心等知識，解題的關鍵是熟練掌握

基本知識，屬于中考常考題型.

1.（2020?濰坊T15.3分）如圖，在RtAABC中，NC=90。，N3=20。，尸。垂直平分AB,

垂足為。，交3c于點P.按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以適當的長為半徑作弧，分

別交邊AC,AB于點。，E；②分別以點。，E為圓心，以大于的長為半徑作弧,

2

兩弧相交于點B；③作射線AF.若AF與P。的夾角為。，則夕=55。.

【考點】KG：線段垂直平分線的性質；N2：作圖-基本作圖

【專題】13：作圖題；64：幾何直觀；66：運算能力

【分析】根據直角三角形兩銳角互余得44c=70。，由角平分線的定義得N2=35。，由線

段垂直平分線可得AAQM是直角三角形，故可得4+N2=90。，從而可得4=55。，最后

根據對頂角相等求出a.

【解答】解：如圖，

AABC是直角三角形，ZC=90°,

.1NB+Nfl4c=90°,

ZB=20°,

二Zfi4c=90°—ZB=90°—20°=70°,

AM是Na4c的平分線，

N2」NBAC」x70°=35°,

22

PQ是的的垂直平分線，

.?.AAMQ是直角三角形，

:.ZAMQ+Z2=90°,

ZAMQ=90°-N2=90°-35°=55°,

Na與NAMQ是對頂角，

:.Za=ZAMQ=55°.

故答案為：55°.

【點評】此題考查了直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，線段垂直平分線的性質，對

頂角相等等知識，熟練掌握相關定義和性質是解題的關鍵.

3

1.（2020貴州畢節，T20,3分）如圖，RtAABC中，ZBAC=90°,AB=6,sinC=—,

5

以點A為圓心，AB長為半徑作弧交AC于點分別以點3,M為圓心，以大于長

2

為半徑作弧，兩弧相交于點N,射線4V與3c相交于點￡>,則AD的長為生旦.

一7一

【考點】T7：解直角三角形；N2：作圖-基本作圖

【專題】13：作圖題；55E：解直角三角形及其應用；69：應用意識

【分析】過。作于E,DF_LAC于F,設汨4E即尋戶，則用=6黃，

CF=8—x,依據NB=ZFDC,ZBDE=ZC,可得ABDEs/sDCF,依據相似三角形對應

邊成比例，即可得到AE的長，進而得出題的長.

【解答】解：如圖，過。作于E,DF_LAC于尸，

由題可得，AD平分44C,440=90。，

四邊形AS方是正方形，

:.DE=DF,ZBAD=45°=ZADE,

:.AE=DE=AF=DF,

3

ZBAC=90°,AB=6,sinC=—,

5

:.BC=10,AC=8,

^AE=DE=AF=DF=x,貝U3E=6—x,CF=8—X,

ZB=ZFDC,ZBDE=NC,

:.ABDEs^DCF,

BEED6—x_x

即

DF-FCx8—x

解得X=*

7

24

:.AE=—,

7

.〔RtAADE中，AD=42AE=^!^-

7

故答案為：生2

【點評】此題主要考查了基本作圖以及相似三角形的性質，正確運用相似三角形的性質列出

比例式是解題關鍵.

3.1.（2020蘇州,T18,3分）如圖，已知NMON是一個銳角，以點O為圓心，任意長為半

徑畫弧，分別交QM、QV于點A、B,再分別以點A、3為圓心，大于1人3長為半徑畫

2

弧，兩弧交于點C,畫射線OC.過點A作AD//ON,交射線OC于點O,過點。作

24

DELOC,交QV于點E.設。4=10,DE=12,貝UsinNMQV=—.

一25一

【考點】KF：角平分線的性質；JA：平行線的性質；N3：作圖-復雜作圖；T7：解直

角三角形

【專題】13：作圖題；69：應用意識

【分析】如圖，連接DB,過點。作于".首先證明四邊形AO8D是菱形，解直

角三角形求出DH即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接。5,過點。作于".

由作圖可知，ZAOD=ZDOE,OA=OB,

AD//EO,

,\ZADO=ZDOE.

.\ZAOD=ZADO,

AO=AD,

.\AD=OB,AD//OB,

，四邊形是平行四邊形，

OA=OB,

.??四邊形是菱形，

,\OB=BD=OA=10,BDHOA,

:.ZMON=ZDBE,ZBOD=/BDO,

DEVOD,

ZBOD+ZDEO=90°,NODB+ZBDE=90。,

:.ZBDE=ZBED,

.\BD=BE=10,

:.OE=2OB=2O,

/.OD=^OE2-DE2=7202-122=16,

DH±OE,

八〃ODDE16x1248

EO205

48

sinZMON=sinZDBH=—=^-=—.

DB1025

故答案為4.

25

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，平行線的性質，角平分線的定義，菱形的判定和性質,

解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題.

1.（2020?廣東?T15?4分）如圖，在菱形A5CZ）中，ZA=30°,取大于3A8的長為半徑,

分別以點42為圓心作弧相交于兩點，過此兩點的直線交邊于點E（作圖痕跡如圖

所示），連接BE,BD.則/E8D的度數為45°.

＞題1溷

【考點】KG：線段垂直平分線的性質；L8：菱形的性質；N2：作圖一基本作圖.

【專題】13：作圖題；556：矩形菱形正方形；69：應用意識.

【分析】根據/￡8。=乙48。-448￡,求出/AB。，/A8E即可解決問題.

【解答】解：：四邊形ABC。是菱形，

：.AD=AB,

：.ZABD=ZADB=^（180°-ZA）=75°,

由作圖可知，EA=EB,

：.ZABE=ZA=30°,

:./EBD=/ABD-NABE=75°-30°=45°,

故答案為45°.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，菱形的性質，三角形內角和定理等知識，解題的關

鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

1.（2020遼陽，T16,3分）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=2BC,分別以點A

和3為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點”和N,作直線MN,交AC于

2

點E,連接BE,若CE=3,則助的長為5

【考點】KG：線段垂直平分線的性質；N2：作圖-基本作圖

【專題】13：作圖題；69：應用意識

【分析】設=M=在RtABEC中，利用勾股定理構建方程即可解決問題.

【解答】解：由作圖可知，垂直平分線段AB,

AE=EB,

^AE=EB=x，

EC=3,AC=2BC,

BC=1(x+3),

在RtABCE中，BE2=BC2+EC2,

.-.X2=32+[|(X+3)]2,

解得，x=5或-3(舍棄)，

BE=5,

故答案為5.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質，勾股定理等知識，解題的關

鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型.

三、解答題

1.（2020?江蘇鹽城，T21,8分）如圖，點。是正方形ABCD的中心.

（1）用直尺和圓規在正方形內部作一點E（異于點O）,使得EB=EC；（保留作圖痕跡，

不寫作法）

（2）連接￡B、EC、EO,求證：ZBEO=NCEO.

。?

BC

【考點】KD：全等三角形的判定與性質；N3：作圖-復雜作圖；LE：正方形的性質

【專題】13：作圖題；64：幾何直觀

【分析】（1）作3c的垂直平分線，在3c的垂直平分線上（正方形內部異于點O）的點E即

為所求；

（2）根據等腰三角形的性質和角的和差關系即可求解.

【解答】解：（1）如圖所示，點E即為所求.

（2）證明：連結08,OC,

點。是正方形ABCO的中心，

:.OB^OC,

:.ZOBC=ZOCB,

EB=EC,

:.ZEBC=ZECB,

:.ZBEO=ZCEO.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般

是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性

質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.

2.（2020湖北天門，T18,6分）在平行四邊形ABCD中，E為4）的中點，請僅用無刻度

的直尺完成下列畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡.

（1）如圖1,在BC上找出一點使點M是的中點；

（2）如圖2,在上找出一點N,使點"是血的一個三等分點.

EE

，DD

B----------------CB匕-----------------C

圖1圖2

【考點】L5：平行四邊形的性質；N3：作圖-復雜作圖

【專題】13：作圖題；64：幾何直觀

【分析】（1）連接AC和%）,它們的交點為O,延長EO并延長交于歹，則尸點為所

作；

（2）連接CE交3。于點N,則N點為所作.

【解答】解：（1）如圖1,F點就是所求作的點：

圖1圖2

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般

是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性

質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了平行四邊形

的判定與性質.

3.（2020?山東青島，T15,3分）已知：AABC.

求作：。。，使它經過點8和點C,并且圓心。在NA的平分線上.

【專題】13：作圖題；64：幾何直觀.

【分析】作出/A的平分線和線段的垂直平分線，找到它們的交點，即為圓心。，再

以為半徑畫出。。，得出答案.

【解答】解：如圖所示：。。即為所求.

【點評】此題主要考查了復雜作圖，正確掌握角平分線和垂直平分線的作法是解題關鍵.

4.（2020?山東濟寧，T18,7分）如圖，在AABC中，AB=AC,點P在3c上.

（1）求作：NPCD,使點。在AC上，且APCD^AABP；（要求：尺規作圖，保留作圖痕

跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，若NAPC=2NABC.求證：PD//AB.

【考點】KH：等腰三角形的性質；SB：作圖-相似變換

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；67：推理能力；55￡>：圖形的相似；554：等

腰三角形與直角三角形

【分析】（1）尺規作圖作出/4PO=NA5,即可得到NDPC=NPA,從而得到

APCZ^AAB；

（2）根據題意得到"PC=ZABC,根據平行線的的道理即可證得結論.

【解答】解：（1）如圖：作出=即可得到

:.ZDPC^ZABC

:.PD//AB.

【點評】本題考查了作圖-相似變換，等腰三角形的性質，平行線的判定等，熟練掌握性質

定理和判定定理是解題的關鍵.

5.（2020?無錫,T1,8分）如圖，已知AABC是銳角三角形（AC<AB）.

（I）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規作圖：作直線/,使/上的各點到8、C兩點的距離

相等；設直線/與AB、3c分別交于點/、N,作一個圓，使得圓心O在線段上，且

與邊AB、3c相切；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若BC=2,貝。O的半徑為—工

【考點】KG：線段垂直平分線的性質；N3：作圖-復雜作圖；ME：切線的判定與性質;

KF：角平分線的性質

【專題】69：應用意識；13：作圖題

【分析】（1）作線段BC的垂直平分線交至于交BC于N,作NABC的角平分線交MN

于點O,以。為圓心，QV為半徑作O即可.

（2）過點。作于E.設OE=ON=r,利用面積法構建方程求解即可.

【解答】解：（1）如圖直線/,。即為所求.

（2）過點。作OE_LAB于E.設OE=ON=r,

BM=~,BC=2,MN垂直平分線段3C,

3

,-.BN=CN=I,

MN=yjBM--BN2=J（|）2-I2=1,

ShBNM=S邸NO+S即OM'

23223

解得r=L

2

故答案為］

【點評】本題考查作圖-復雜作圖，角平分線的性質，線段的垂直平分線的性質，切線的判

定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

L（2020哈爾濱，T22,7分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1,線段四和線

段CD的端點均在小正方形的頂點上.

（1）在圖中畫出以AS為邊的正方形點E和點廠均在小正方形的頂點上；

（2）在圖中畫出以CD為邊的等腰三角形CDG,點G在小正方形的頂點上，且ACDG的周

長為10+回.連接EG,請直接寫出線段EG的長.

BD

【考點】N4：作圖-應用與設計作圖；KQ-.勾股定理；KI：等腰三角形的判定

【專題】13：作圖題；69：應用意識

【分析】（1）畫出邊長為M的正方形即可.

（2）畫出兩腰為10,底為JQ的等腰三角形即可.

【解答】解：（1）如圖，正方形4?跖即為所求.

（2）如圖，ACDG即為所求.EG="”=卮

尸

【點評】本題考查作圖-應用與設計，等腰三角形的判定，勾股定理等知識，解題的關鍵是

學會利用數形結合的思想思考問題，屬于中考常考題型.

1.1.（2020?甘肅武威，T21,6分）如圖，在AA5c中，。是3C邊上一點，且%）=54.

（1）尺規作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：

①作ZABC的角平分線交AD于點E；

②作線段DC的垂直平分線交DC于點F.

（2）連接EF,直接寫出線段砂和AC的數量關系及位置關系.

【考點】N3：作圖-復雜作圖；KG：線段垂直平分線的性質

【專題】64：幾何直觀；13：作圖題；55G：尺規作圖

【分析】（1）根據尺規作基本圖形的方法：

①作ZABC的角平分線交AD于點E即可；

②作線段DC的垂直平分線交DC于點F即可.

（2）連接/，根據等腰三角形的性質和三角形中位線定理，即可寫出線段EF和AC的數

量關系及位置關系.

【解答】解：（1）如圖，①班即為所求；

②如圖，線段DC的垂直平分線交DC于點P.

(2)BD=BA,BE平分ZABD,

.?.點E是AD的中點，

點尸是CD的中點，

是AADC的中位線，

，線段EF和AC的數量關系為：EF=-AC,

2

位置關系為：EF//AC.

【點評】本題考查了作圖-復雜作圖、線段垂直平分線的性質，解決本題的關鍵是掌握線段

垂直平分線的性質.

2.1.(2020溫州T20,8分)如圖，在6x4的方格紙ABCD中，請按要求畫格點線段(端

點在格點上)，且線段的端點均不與點A,B,C,。重合.

(1)在圖1中畫格點線段及1,GH各一條,使點E,F,G,"分別落在邊BC,

CD,D4上，且EF=GH,EF不平行GH.

(2)在圖2中畫格點線段MN,P。各一條，使點〃，N,P,。分別落在邊AB,BC,

CD,ZM上，且PQ=WN.

AD

I--------1----------r--------1--------1---------T--------1

I__L--」___?__J__1__I

iiiiiii

iiiiiii

iiiiiii

BC

【考點】N4：作圖-應用與設計作圖；KQ-.勾股定理

【專題】69：應用意識；13：作圖題

【分析】(1)根據題意畫出線段即可；

(2)根據題意畫出線段即可.

【解答】解：(1)如圖1,線段即和線段G8即為所求;

(2)如圖2,線段MN和線段PQ即為所求.

【點評】本題考查了作圖-應用與設計作圖，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

L（2020浙江嘉興，T20,8分）經過實驗獲得兩個變量x（x＞0）,y（y＞。）的一組對應值如

下表.

X123456

y62.921.51.21

（1）請畫出相應函數的圖象，并求出函數表達式.

（2）點A（x/M），B（X2,%）在此函數圖象上.若玉＜々，則以，為有怎樣的大小關系？

請說明理由.

_?r?rr?!>

01234567x

【考點】E6：函數的圖象；E3：函數關系式

【專題】69：應用意識；534：反比例函數及其應用

【分析】（1）利用描點法即可畫出函數圖象，再利用待定系數法即可得出函數表達式.

（2）根據反比例函數的性質解答即可.

【解答】解：（1）函數圖象如圖所示，設函數表達式為＞

寸巴％=1,y=6代入,得左=6,

函數表達式為y=—（x>0）；

在第一象限，y隨x的增大而減小,

0<玉<%時，則%