滬教版（上海）高中數學2019-2020學年度高三數學二輪復習解析幾何專題之直線與圓錐曲線①教學目標直線與橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的位置關系都有相交、相切、相離三種情況，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點。對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切．直線和橢圓、雙曲線、拋物線中每一個曲線的公共點問題，可以轉化為它們的方程所組成的方程組求解的問題，從而用代數方法判斷直線與曲線的位置關系。知識梳理一、解決直線和圓錐曲線的位置關系的解題步驟是：（1）直線的斜率不存在，直線的斜率存，（2）聯立直線和曲線的方程組；（3）討論類一元二次方程（4）一元二次方程的判別式（5）韋達定理，同類坐標變換（6）同點縱橫坐標變換（7）x，y，k(斜率)的取值范圍（8）目標：弦長，中點，垂直，角度，向量，面積，范圍等等二、運用的知識：（1）中點坐標公式：，其中是點的中點坐標。（2）弦長公式：若點在直線上，則，這是同點縱橫坐標變換，是兩大坐標變換技巧之一，或者。（3）兩條直線垂直：則（4）韋達定理：若一元二次方程有兩個不同的根，則。典例精講例1.（★★★★）已知的三個頂點在拋物線:上運動，（1）求的焦點坐標；（2）若點在坐標原點，且，點在上，且，求點的軌跡方程；（3）試研究:是否存在一條邊所在直線的斜率為的正三角形，若存在，求出這個正三角形的邊長，若不存在，說明理由.解：(1)由得所以,焦點坐標為(2)設點的坐標為,邊所在的方程為(顯然存在的),與拋物線交于則得,又點在拋物線上,故有,或(舍)-------①又的斜率為,則有,既代入①故點軌跡為(注:沒寫扣1分)另解:由上式①過定點,,所以,,既【解2】設點的坐標為,方程為,由得方程為,則得,同理可得方程為恒過定點,,所以,,既(3)【解1】若存在邊所在直線的斜率為的正三角形,設,(其中不妨設),則,------①令,則,即將①代入得,,-----------②線段的中點為,由①,②得的橫坐標為,的縱坐標為又設由得點在拋物線上,則,即,又因為,【解2】設,的三邊所在直線的斜率分別是------①若邊所在直線的斜率為,邊所在直線和軸的正方向所成角為,則,所以即-----②；又------③所以,將②,③代入上式得邊長例2.（★★★★）設，常數，定義運算“”：，定義運算“”：；對于兩點、，定義.(1)若，求動點的軌跡；(2)已知直線與(1)中軌跡交于、兩點，若，試求的值；(3)在(2)中條件下，若直線不過原點且與軸交于點S，與軸交于點T，并且與(1)中軌跡交于不同兩點P、Q,試求的取值范圍．解：(1)設,則又由≥0可得P(,)的軌跡方程為，軌跡C為頂點在原點，焦點為的拋物線在軸上及第一象限的內的部分(2)由已知可得,整理得,由,得．∵，∴∴解得或(舍)；(3)∵∴OxyPSTQQ1P1OxyPSTQQ1P1分別過P、Q作PP1⊥y軸，QQ1⊥y軸，垂足分別為P1、Q1，則．由消去y得∴≥．∵、取不相等的正數，∴取等的條件不成立∴的取值范圍是（2，+）；例3.（★★★★）給定橢圓：，稱圓心在坐標原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”．（1）若橢圓過點，且焦距為，求“伴隨圓”的方程；（2）如果直線與橢圓的“伴隨圓”有且只有一個交點，那么請你畫出動點軌跡的大致圖形；（3）已知橢圓的兩個焦點分別是，橢圓上一動點滿足．設點是橢圓的“伴隨圓”上的動點，過點作直線使得與橢圓都各只有一個交點，且分別交其“伴隨圓”于點．研究：線段的長度是否為定值，并證明你的結論．【解析】：（1）由題意得：，則；又由焦距為，所以焦距為故所求的“伴隨圓”的方程為（2）由于橢圓的“伴隨圓”與直線有且只有一個交點，則圓心到直線的距離等于半徑，即故動點軌跡方程為即動點的軌跡是：以原點為圓心半徑為３的圓上八分之一弧（除去兩端點）如圖（3）由題意得：得，半焦距則橢圓的方程為“伴隨圓”的方程為①當，中有一條無斜率時，不妨設無斜率，因為與橢圓只有一個交點，則其方程為或，當方程為時，此時與“伴隨圓”交于點，，此時經過點（或）且與橢圓只有一個公點的直線（或），即為（或）顯然直線，垂直；同理可證方程為時，直線，垂直，所以②當，都有斜時，設點，其中。設經過點與橢圓為只有一共點的直線為，則消去，得即經過化簡得到：因為，所以有設，的斜率分為，因為，與橢圓都有只有一個交點，所以滿足方程。所以，即，垂直．綜合①②知：因為，經過點，又分別交其“伴隨圓”于點，且，垂直，所以線段為“伴隨圓”的直徑，所以回顧