第3講二次函數的區間最值第3講二次函數的區間最值知識梳理與應用主要考察：二次函數的區間最值一元二次函數在給定區間上的值域（以為例）：設，1．當時，的值域為；2.當時,，；此時根據二次函數的軸對稱性，兩個區間端點，距離對稱軸較遠的那一個端點函數值更大，即： （1）當時，； （2）當時，；3.當時，的值域為.基本思路：判斷二次函數的對稱軸與給定區間的位置關系；判斷二次函數在給定區間上的單調性；確定二次函數在給定區間的最值；基礎類型：不含參二次函數的區間最值【例1】（2021·上海市延安中學高一期末）★★☆☆☆函數在區間上的值域為____________.【答案】【詳解】函數的對稱軸為，所以可知函數在上是減函數，在上是增函數，所以函數最小值為，又因為時，；時，，所以函數最大值為，所以值域為.故答案為：.【練習】（2020·上海高一專題練習）★★☆☆☆求函數的值域______________．【答案】【詳解】由題意，知：且，∴，所以函數值域為.進階類型一：含參情況下二次函數的的區間最值當含有參數的時候，二次函數的對稱軸與區間的位置關系無法確定，此時需要分類討論對稱軸與區間的位置關系：（1）軸動區間定【例2】（2017·上海市七寶中學高一期中）★★★☆☆設二次函數在區間上的最大值、最小值分別為，集合.（1）若，且，求；（2）若，且，記，求的最小值.【答案】（1）；（2）【詳解】（1），，，有兩根為1，2．由韋達定理得（2）若，方程有兩相等實根，根據韋達定理得到，，所以，，，，其對稱軸方程為，則（）又（）在區間，上為單調遞增的，當時，（）（2）軸定區間動【例3】（2017·上海曹楊二中）★★★☆☆設，函數的最小值為.（1）求的解析式（2）畫出函數的大致圖形（3）求函數的最值【答案】（1）；（2）作圖見詳解；（3）最小值為，無最大值【詳解】（1）由于函數對稱軸為，當時，函數在閉區間上單調遞增，故函數的最小值為；當，即時，故函數的最小值；當，即時，函數在閉區間上單調遞減，故函數的最小值為；綜上所述，，（2）作出的圖像，如圖所示：（3）由（2）的圖像，函數的最小值為，無最大值.綜上所述，函數的最小值為，無最大值.（3）已知區間最值求參數【例4】（2016·上海華師大二附中高一期中）★★★★☆已知函數；（1）若函數在區間上的最小值為，求實數的取值范圍；（2）是否存在整數，，使得關于的不等式的解集恰好為，若存在，求出，的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在整數，，，或，，使得關于的不等式的解集恰好為【詳解】解：（1）函數的對稱軸為，①當，即時，，不滿足，②當，即時，符合題意.③，即時，.綜上：實數的取值范圍：.（2）假設存在整數，，使得關于的不等式的解集恰好為，即的解集為.可得，.即的兩個實數根為，.即可得出.，.，當時，不存在，舍去，當時，，或，.故存在整數，，且，或，，使得關于的不等式的解集恰好為.【練習】1、（2021·上海市大同中學高一期末）★★★☆☆已知，，，.（1）當時，求函數的最小值；（2）當時，求函數的最大值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）當時，，其中.①當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，此時，；②當時，函數在區間上單調遞增，此時，.綜上所述，；（2）當時，，其中.①當時，函數在區間上單調遞增，；②當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以，；③當時，函數在區間上單調遞減，所以，.綜上所述，.【練習】2、（2020·上海市行知中學高一月考）★★★☆☆已知函數．（1）若，求函數在區間上的值域；（2）若函數在區間上有最小值，求的值．【答案】（1）值域為；（2）或或．【詳解】（1）當時，，其對稱軸為所以，所以函數在區間上的值域為（2）函數圖象的對稱軸為當，即時，在區間上單調遞增，解得或（舍）當，即時，在區間上單調遞減，區間上單調遞增解得當，即時，在區間上單調遞減，解得或（舍）綜上：或或進階類型二：復合二次形式函數最值【例5】（2018·上海市羅店中學高一期末）★★★☆☆已知函數（1）若，求的值域；（2）當時，求的最小值.【答案】（1）（2）【詳解】解：（1）當時,則因為,所以,.（2）令,因為,故,函數可化為,當時,；當時,；當時,；綜上,.【練習】（2021·上海高三三模）★★★★☆已知函數.（1）設是圖像上的兩點，直線斜率存在，求證：；（2）求函數在區間上的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）當時，；當時，.【詳解】（1）∵單調遞增，單調遞減，∴在定義域上是單調增函數，而，∴恒成立，結論得證.（2）由題意，有且，令，則，開口向上且對稱軸為，∴當，即時，，即；當，即時，，即；

1、（2020·上海市嘉定區第二中學高一月考）★★★★☆已知函數.（1）若時，函數的最大值也是，求的值.（2）若函數，求函數的最小值.（提示，或）（3）若函數，，求函數的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）時，函數的最大值為；時，函數的最大值為.【詳解】（1）在上遞增，的最大值為，